机械工程控制基础计算题

?2n三、设系统的闭环传递函数为Gc(s)=，试求最

大超调量σ％=9.6%、峰值时间tp=0.2秒时的闭环传递函数的参数ξ和ωn的值。

???解：∵∵tp=

六、某系统如下图所示，试求其无阻尼自然频率ωn，阻尼比ζ，超调量σ％，峰值时间，调整时间s(△=0.02)。

解： 对于上图所示系统，首先应求出其传递函数，化成标准形式，然后可用公式求出各项特征量及瞬态响应指标。

s2?2??ns??2ntpt?%?e?21??2?100%=9.6% ∴ξ

=0.6

＝0.2

?n1??∴ωn=

?tp1??2?314.0.21?0.62?19.6rad/s

四、设一系统的闭环传递函数为Gc(s)=

?2ns2?2??ns??2n100Xo?s?1002s?50s?4?

???2Xi?s?1?100?0.02s?50s?4??2s?0.08s?0.04s?50s?4?，试求最大

与标准形式对比，可知

2wn?0.042?wn?0.08 ，

超调量σ％=5%、调整时间ts=2秒(△=0.05)时的闭环传递函数的参数ξ

和ωn的值。

???解：∵

?%?e1??2?100%=5% ∴ξ

=0.69 ∵ts=

3?n??n?0.2?rad/s???0.2???1??2＝2 ∴ωn=2.17 rad/s

五、设单位负反馈系统的开环传递函数为

Gk(s)?25

s(s?6)?%?etp?ts????0.21?0.22?e2?52.7%

??n1??4??0.21?0.22?16.03?s?求（1）系统的阻尼比ζ和无阻尼自然频率ωn；

（2）系统的峰值时间tp、超调量σ％、 调整时间tS(△=0.02)； 解：系统闭环传递函数

252525s(s?6) GB(s)???225s(s?6)?25s?6s?251?s(s?6)与标准形式对比，可知 故 又

22??n?4?100?s?0.2?0.2

八、 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下：

2?25 2?wn?6 ，wnGK(s)?2

2s(s?0.1)(s?0.2)?5?2t?4t2时，系统的稳态误差。

wn?5 ， ??0.6

求：(1) 试确定系统的型次v和开环增益K； （2）试求输入为r(t)wd?wn1???5?1?0.6?100GK(s)?2?2????0.785 s(s?0.1)(s?0.2)s(10s?1)(5s?1) tp? wd4????0.6?解：（1）将传递函数化成标准形式

4 2可见，v＝2，这是一个II型系统 开环增益K＝100； （2）讨论输入信号，r(t)?%?e

1??2?100%?e1?0.62?100%?9.5%

?5?2t?4t2，即A＝5，B＝2, C=4

根据表3—4，误差

4ts??1.33?wn

七、已知单位负反馈系统的开环传递函数如下：

ess?ABC524??????0?0?0.04?0.041?KpKVKa1???100

九、 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下：

100 GK(s)?

s(s?2)求：(1) 试确定系统的型次v和开环增益K； （2）试求输入为r(t)GK(s)?20(0.2s?1)(0.1s?1)

求：(1) 试确定系统的型次v和开环增益K； （2）试求输入为r(t)?1?3t时，系统的稳态误差。

?2?5t?2t2时，系统的稳态误差。 ?2?5t?2t2，即A＝2，B＝5，C=2

解：（1）将传递函数化成标准形式

GK(s)?10050?

s(s?2)s(0.5s?1)解：（1）该传递函数已经为标准形式

可见，v＝0，这是一个0型系统 开环增益K＝20； （2）讨论输入信号，r(t)根据表3—4，误差

可见，v＝1，这是一个I型系统 开环增益K＝50； （2）讨论输入信号，r(t)根据表3—4，误差

?1?3t，即A＝1，B＝3

ess?

ABC2522????????????

1?KpKVKa1?200021ess?

AB13????0?0.06?0.06

1?KpKV1??501

十、设系统特征方程为 s4+2s3+3s2+4s+5=0，试用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别该系统的稳定性。

解：用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别，a4=1，a3=2，a2=3，a1=4，a0=5均大于零，且有

24001350?4?02400135G(s)?30

s(0.02s?1)?1?2?0 ?2?2?3?1?4?2?0

解：该系统开环增益K＝30；

有一个积分环节，即v＝1；低频渐近线通过（1，20lg30）这点，斜率为－20dB/dec；

有一个惯性环节，对应转折频率为w1?1?50，斜率增加－

0.02?3?2?3?4?2?2?5?4?1?4??12?0

?4?5?3?5?(?12)??60?0 所以，此系统是不稳定的。

432十一、设系统特征方程为，试用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别该系统的稳定性。

解：用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别，a4=1，a3=6，a2=12，a1=10，a0=3均大于零，且有

20dB/dec。

系统对数幅频特性曲线如下所示。

十五、设系统开环传递函数如下，试绘制系统的对数幅频特性曲线。

s?6s?12s?10s?3?0G(s)?100

s(0.1s?1)(0.01s?1)解：该系统开环增益K＝100；

有一个积分环节，即v＝1；低频渐近线通过（1，20lg100）这点，即通过（1，40）这点斜率为－20dB/dec； 有两个惯性环节，对应转折频率为w1610112?4?000300?1?6?0

?1?10，0.161001123w2??2?6?12?1?10?62?0

?3?6?12?10?6?6?3?10?1?10?512?0 ?4?3?3?3?512?1536?0

所以，此系统是稳定的。

十二、设系统特征方程为，试用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别该系统的稳定性。

解：用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别，a4=1，a3=5，a2=2，a1=4，a0=3均大于零，

s4?5s3?2s2?4s?3?040 分别增加－20dB/dec

-40 dB / dec 系统对数幅频特性曲线如下所

示。 0 1 (rad/s) 10 100 ?

-60 dB /

十六、设系统开环传递函数如下，试绘制系统的对数幅频特性稳态误差不变，响应速度降低曲线。

1斜率?100，

0.01 /dB L( ? )-20 dB / dec G(s)?0.1s?1

解：该系统开环增益K＝1；

无积分、微分环节，即v＝0，低频渐近线通过（1，20lg1）这点，即通过

L( ? )/d

0 1 -20 （1，0）这点斜率为0dB/dec；

有一个一阶微分环节，对应转折频

? -40 dB /

5400且有

1率为w1??10，斜率增

0.1L (? )/dB 20 dB / dec 1230 ?4?05400123?1?5?0

?2?5?2?1?4?6?0

?3?5?2?4?5?5?3?4?1?4??51?0 ?4?3?3?3?(?51)??153?0

所以，此系统是不稳定的。

十三、设系统特征方程为 ，试用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别该系统的稳定性。 解：（1）用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别，a3=2,a2=4,a1=6,a0=1均大于零，且有

加20dB/dec。

系统对数幅频特性曲线如下所示。 0 10 ? (rad/s)

二． 图1为利用加热器控制炉温的反馈系统（10分）

试求系统的输出量、输入量、被控对象和系统各部分的组成，且画出原理方框图，说明其工作原理。

解答：输出量：炉温。输入量：给定电压信号。被控对象：电炉。

系统包括：电位器、放大器、电机、减速器以及自藕调压器、热电偶。

原理方框图：

2s3?4s2?6s?1?0

410?3?260041

?1?4?0?2?4?6?2?1?22?0?3?4?6?1?4?4?0?1?2?1?6?0

三．如图2为电路。求输入电压ui与输出电压u0之间的微分方程，并

所以，此系统是稳定的。

十四、设系统开环传递函数如下，试绘制系统的对数幅频特性曲线。

2

求出该电路的传递函数。（10分）

uiRuiCRu0

解答：跟据电压定律得 (b)(a)1 u0dt?u0?ui RC 2d2ui1du00 uiLCduu??dt20RCdtdt2

RCs (c)G(s)?RCs?1

四、求拉氏变换与反变换

u0牛顿阶跃力后，记录仪上记录质量m物体的时间响应曲线如（b）图所示。试求：

1）该系统的微分方程数学模型和传递函数；(4分)

2）该系统的弹簧刚度质量m、阻尼系数C、弹簧刚度k；（3分）

3）时间响应性能指标：上升时间ts、调整时间tr、振荡频数N、稳态误差ess（5分）。

f(t)kcmt024x0(t)x00.0951.0? 图(a) 机械系统 图（b）响应曲线 解答：解：1）对于该系统有：

1． 求

[0.5?tet] 解答：

?111?2s(s?1)2

?0?t??cx?0?t??kx0?t??f?t? m?x2． 求

[t3s] 解答：=?3e?t?6te?2(s?1)(s?2)

1故 G?s??ms2?cs?k2）求k 由Laplace变换的终值定理可知：

t??s?0

10八、已知某系统是单位负反馈系统，其开环传递函数Gk?，

5s?1则该系统在单位脉冲、单位阶跃和单位恒速信号作用下的ess分别是多

少？（8分）

解答：该系统为单位负反馈且为0型系统，k=11, 所以该系统在单位阶跃

x0????limx0?t??lims?X0?s?s?0?lims 而

1和单位恒速信号作用下的ess分别是、?。

11在单位脉冲信号作用下的稳态误差为

x?t??x0???x0???=1.0，因此k=3.求m， 由M?0p?100%px0???Mp?0.095?100%?9.5% 1.0133? ?2ms?cs?ksk得：

1?1?0101?5s?1ess?lims?s?01?Xi(s)?lims?s?0H(s)[1?G(s)H(s)]??? 又由式Mp 将tp?e1??2?100%求得??d=0.6

九、设有如图所示的反馈控制系统，试求根据劳斯判据确定传递函数k值的取值范围

?2,??0.6代入t???p??n1??2中，得

Xi(s)×-?1sk(s?1)(s?5)X0(s)

解答：G(s)ks(s?1)(s?5)?k2

系统的特征方程：s(s?1)(s?5)?k可展开为：s?s列出劳斯数列：

3?0

?5s?k?0

s3s2s1s01630-k6k5k

?n=1.96。 再由求c 由2??n?c，求得c=1.83. Xkm(s?)?n2求得m=0.78。

m43Ts?13）?2.55 (取?=0.05时) ts??3.40 求ts ts???n??n(取?=0.02时)

1??2 求tr ??arctan?0.91

????tr??2.323

?d 求N 取

?=0.05时，N? =0.85

1.51??2??=0.64 取

?=0.02时，

k>0,30-k>0 <0k<30

七、图示机械系统由质量m、阻尼系数C、弹簧刚度K和外力f(t)组成的机械动力系统。图(a)中xo(t)是输出位移。当外力f(t)施加3

N?21??2??11?Kp 求ess 当输入为阶跃信号时，系统的稳态误差为：

ess?

对于0型系统

Kp?K?1，代入式中求得： ess=0.5

二．设有一个系统如图1所示，k1=1000N/m, k2=2000N/m, D=10N/(m/s)，

3

当系统受到输入信号出

xi(t)?5sint 的作用时，试求系统的稳态输

五．已知系统结构如图4所示, 试求：(15分) 1. 绘制系统的信号流图。(5分) 2. 求传递函数

xo(t)。(15分)

xiK1Xo(s)Xi(s)及

Xo(s)。(10分)

N(s)N(s)+-Xi(s)D+-G1(s)G2(s)H1(s)+ +Xo(s)xoK2解：

Xo?s?k1Ds0.01s ??Xi?s??k1?k2?Ds?k1k20.015s?1

H2(s)

然后通过频率特性求出

xo?t??0.025sint?89.14???

L1??G2H1,L2??G1G2H2 P1?G1G2?1?1

三．一个未知传递函数的被控系统，构成单位反馈闭环。经过测试，得知

闭环系统的单位阶跃响应如图2所示。(10分) 问：(1) 系统的开环低频增益K是多少？(5分)

(2) 如果用主导极点的概念用低阶系统近似该系统，试写出其近似闭环传递函数；(5分)

17/80.55Xo(s)G1G2?Xi(s)1?G2H1?G1G2H2P1?1?1?1?G2H1

Xo(s)1?G2H1?

N(s)1?G2H1?G1G2H2六．系统如图5所示，r(t)?1(t)为单位阶跃函数，试求：(10分) 1. 系统的阻尼比?和无阻尼自然频率?n。(5分)

tO25ms解：（1）

(2)

K07?，K0?7

1?K08Xo?s?7 ?Xi?s?0.025s?82. 动态性能指标：超调量Mp和调节时间ts(?

四．已知开环最小相位系统的对数幅频特性如图3所示。(10分) 1. 写出开环传递函数G(s)的表达式；(5分) 2. 概略绘制系统的Nyquist图。(5分) 1．G(s)??5%)。(5分)

Ks(ss?1)(?1)0.01100?100

s(s?0.01)(s?100)4?2n?1．?

S(S?2)s(s?2??n)K??20lg?80dB ????K?100? 2．

七．如图6所示系统，试确定使系统稳定且在单位斜坡输入下

??n?2??????0.5

??2??n?2???2．

Mp?e1??2?100%?16.5%

ess≤2.25时，K的数值。(10分)

ts?33??3(s) ??n0.5?2D(s)?s(s?3)2?K?s3?6s2?9s?K?0

s3 由劳斯判据： s2s1s01654?K6K9K 0八．已知单位反馈系统的闭环传递函数?(s)相位裕量

? 第一列系数大于零，则系统稳定得0?K?54 又有：

?。(10分)

?2，试求系统的

s?3ess? 可得：K≥4 ? 4≤K＜54

9≤2.25 K解：系统的开环传递函数为G(s)W(s)2?

1?W(s)s?1|G(j?c)|?22?c?1?1，解得?c?3

??180???(?c)?180??tg?1?c?180??60??120?

4

136.二阶系统的传递函数为，试在左图中标出系统的特征根

s2?s?1在S平面上的位置，在右图中标出单位阶跃曲线。 解：

?n?12??n?1??0.5

40.（7分）机械系统如图所示，其中，外力f(t)为系统的输入，位移x(t)为系统的输出，m为小车质量，k为弹簧的弹性系数，B为阻尼器的阻尼系数，试求系统的传递函数（忽略小车与地面的摩擦）。

解：系统的微分方程为

dxd2xf(t)?B?Kx(t)?m2

dtdt2dxdxm2?B?Kx(t)?f(t)

dtdt拉氏变换得：（零初始条件）

ms2X(s)?BsX(s)?KX(s)?F(s)

X(s)1 ??2F(s)ms?Bs?K41.（7分）已知系统结构如图，试求传递函数

C(s)C(s)及

R(s)N(s)解：.L1??G2H1,L2??G1G2H2

P1?G1G2?1?1 C(s)G1G2 ?R(s)1?G2H1?G1G2H2P1?1?1?1?G2H1 C(s)1?G2H1 ?N(s)1?G2H1?G1G2H245.（8分）已知单位反馈系统的闭环传递函数W(s)系统的相位裕量

??和幅值裕量kg

?2，试求

s?3解：系统的开环传递函数为G(s)W(s)2?

1?W(s)s?1|G(j?c)|?22?c?1?1，解得?c?3

??180???(?c)?180??tg?1?c?180??60??120?又??g

?? ?Kg??

5

42.（7分）系统如图所示，r(t)?1[t]为单位阶跃函数，试求：

1. 系统的阻尼比?和无阻尼自然频率?n

4?2n?1．?

S(S?2)s(s?2??n) ????n?2???0.5 ???2??n?22. 动态性能指标：超调量Mp和调节时间ts(?????5)

2．Mp

?e1??2?100%?16.5%

ts?33??3(s) ??n0.5?243.（8分）如图所示系统，试确定使系统稳定且在单位斜坡输入下

ess≤2.25时，K的数值。

.

D(s)?s(s?3)2?K?s3?6s2?9s?K?0

由劳斯判据：

s3s2

s1s01654?K6K9K0

第一列系数大于零，则系统稳定得0?K?54 又有：ess?9≤2.25 可得：K≥4 ? 4≤K＜54 KK100s(s?0.01)(s?100)44.（7分）已知开环最小相位系统的对数幅频特性如图所示。 1. 写出开环传递函数G(s)的表达式； 1．G(s)?sss(?1)(?1)0.01100?

K??20lg?80dB ?????K?1002. 概略绘制系统的乃奈斯特图。

6

42.（7分）系统如图所示，r(t)?1[t]为单位阶跃函数，试求：

1. 系统的阻尼比?和无阻尼自然频率?n

4?2n?1．?

S(S?2)s(s?2??n) ????n?2???0.5 ???2??n?22. 动态性能指标：超调量Mp和调节时间ts(?????5)

2．Mp

?e1??2?100%?16.5%

ts?33??3(s) ??n0.5?243.（8分）如图所示系统，试确定使系统稳定且在单位斜坡输入下

ess≤2.25时，K的数值。

.

D(s)?s(s?3)2?K?s3?6s2?9s?K?0

由劳斯判据：

s3s2

s1s01654?K6K9K0

第一列系数大于零，则系统稳定得0?K?54 又有：ess?9≤2.25 可得：K≥4 ? 4≤K＜54 KK100s(s?0.01)(s?100)44.（7分）已知开环最小相位系统的对数幅频特性如图所示。 1. 写出开环传递函数G(s)的表达式； 1．G(s)?sss(?1)(?1)0.01100?

K??20lg?80dB ?????K?1002. 概略绘制系统的乃奈斯特图。

6

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