2011-2012高数(1.2)期中试卷及其答案

2011-2012学年第二学期本科试卷答案

课程名称:高等数学(一、二）（期中考试） ―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线―――――――――――――― 题号 得分 判卷人 复核人 得分 一 二 三 四 五 六 七 八 总成绩 学 院: 专 业: 学号: 姓名: 一、单项选择题（每小题3分,共15分） 241. 微分方程Fx,(y???),y?0的通解中含有（ B ）个独立的任意常数. ??(A) 4； (B) 3； (C) 2； (D) 1. 2. 满足与三个坐标轴夹角都相等且模为3的向量是（ C ）. (A) (1,1,1)； (B) (?1,?1,?1)； (C) ?(1,1,1)； (D) ?13(1,1,1). 3.下列方程中，（ D ）是椭圆抛物面方程. (A) x?y?z?0； (B) x?y?z?1； (C) z?x?y； (D) z?x?y. 22222222224. 函数z?f(x,y)的两个偏导数fx?(x，y)及fy?(x，y)在点P0(x0,y0)处连续，是函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)可微的（ A ）条件. （A）充分； （B）必要； （C）充分且必要； （D）即非充分又非必要. 2225.球面x?y?z?4在点M(1,1,?2)处指向内侧的单位法向量n?（ D ）. ?（A）(,, 112112112112?(,,)；(?,?,). （B） （C） （D）)；(,,?)；222222222222 第 1 页 （共 6 页）

年级：2012 专业：工科各专业 课程号：1101030610

得分 二、填空题（每小题3分,共15分） 1. 通解为y?Cex?x的微分方程是 . 答:y??y?x?1（说明：此题如果得到一个二阶微分方程，则不得分） 2. 已知y1?ex,y2?e2x是二阶常系数线性微分方程的两个解，则该微分方程的通解是 y? .

答: y?C1ex+C2e2x（说明：满足题设条件的微分方程必为齐次方程）

3. 由xOy面上抛物线y?1?x2绕y轴旋转所形成的旋转面方程是 . 答：y?1?x2?z2

4. 函数f(x,y)?4(x?y)?x2?y2的极大值点是 . 答：(2,?2)

?5. 函数z?ln(e?e)在原点O处沿l?OP（其中P点的坐标是(3,?4)）方向

xy上的方向导数答：?

?z? . ?l1 10 得分 三、空间解析几何题（每小题6分,共12分）

1. 求过两点A(1,1,1)、B(2,2,2)，且与平面x?y?z?0垂直的平面方程. 解：取法向量n?n1?AB?(1,1?1)?(1,1,1)?2(1,?1,0)，(3分) 平面方程为(x?1)?(y?1)?0(z?1)?0，即x?y?0. (6分)

2.过点M(1,2,3)，求垂直于直线x?y?z且与z轴相交的直线方程.

??解：设所求直线方程为

x?1y?2z?3??，(1分) 由与已知直线垂直，有mnp第 2 页 （共 6 页）

2011-2012学年第二学期本科试卷答案

课程名称:高等数学(一、二）（期中考试） ―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线―――――――――――――― m?n?p?0①；又设与z轴交点为(0,0,z0)，有?1?2z0?3②，??mnp学 院: 专 业: 学号: 姓名: (3分)由①、②两式得n?2m、p??3m，所求直线方程是x?1y?2z?3??.(6分) 12?3 得分 四. 一阶微分方程计算题（每小题6分,共12分） 1．求微分方程dyyy?ln的通解. dxxx解：原方程是齐次方程， 令u?ydydu?u?x，则y?xu，，(1分)代入原方程得 xdxdxu?xdudxdu?ulnu，分离变量，(3分)两端同时积分，有 ?dxu(lnu?1)x dudx??u(lnu?1)?x，即lnlnu?1?lnx?lnC1，于是 lnu?1?Cx，即u?eCx?1(C??C1)，通解为y?xeCx?1.(6分) ２．若曲线y?y(x)过点(1,2),且在曲线上任一点(x,y)处的切线在y轴上截距都等于x，求该曲线方程. 解：设切线上任意点坐标（X,Y)，切线方程为Y?y?y?(X?x)，(1分) 由题意得微分方程y?xy??x，即y??1y?1，(2分) x?则y?e1??dxx?dx?(??exdx?C) 1 ?Cx?xlnx.(4分) 将初始条件y(1)?2代入上式，有C?2.故所求曲线为y?2x?xlnx.(6分) 第 3 页 （共 6 页）

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得分 五. 二阶微分方程计算题（每小题6分,共12分）

1．求微分方程(1?x2)y???xy??0(|x|?1)的通解.

解：设y??p，则y???p?，原方程变为

(1?x2)p??xp?0，(2分)分离变量后积分得

p?C11?x2，即y??C1dy(4分) ?2dx1?x通解为y?C1arcsinx?C2.(6分)

2．求微分方程y???y?4xex满足初始条件y(0)?0,y?(0)?1的特解.

2解：特征方程r?1?0，特征根r1,2??1，(1分)

对应齐次方程的通解为Y?c1e?c2e，(2分) 设非齐次方程的一个特解为y?x(Ax?B)e，(3分) 代入原方程可以求得A?1,B??1，(4分) 故原方程的通解为y?c1e?c2ex?x*xx?x?x(x?1)ex，(5分)

将初始条件y(0)?0,y?(0)?1代入上式，可以得到c1?1,c2??1， 故原方程的特解为y?e?e

x?x?x(x?1)ex.(6分)

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课程名称:高等数学(一、二）（期中考试） ―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线―――――――――――――― 得分 四、定积分应用题（10分）已知由曲线y?x2，x?1和x轴所学 院: 专 业: 学号: 姓名: 围成图形的面积为A, 并且该图形绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积为Vy,试求出A和Vy的值. 解: A?12112xdx?[x]0?; (4分) ?0331121Vy??(???x)dy???(1?y)dy?00?2. (10分) 得分 1. 设函数z?六．多元函数微分学计算题（每小题6分,共12分） xsiny?z?z，求及. x?x?y 解：?z1yyy1yyy?sin?xcos?(?2)?sin?cos；(3分) ?x2xxxxxxxx2x?zy11y?xcos?()?cos.(6分) ?yxxxx2. 设函数z?z(x,y)由方程ez?xyz确定，求dz. 解：方程两边对x求导, 得ez?z?z?zyz?yz?xy, 故?z,(2分) ?x?x?xe?xy同理, ?zxz?z.(4分) ?ye?xyz(ydx?xdy).(6分) ez?xy从而, dz? 第 5 页 （共 6 页）

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得分 七、多元函数微分学证明题（每小题6分,共12分）

1. 设z?xy?xF(u)，而u?y?z?z，其中F(u)可导, 证明x?y?z?xy. x?x?y证明：

?z?uy?y?F(u)?xF?(u)?y?F(u)?F?(u),(2分) ?x?xx?z?u?x?xF?(u)?x?F?(u),(4分) ?y?y化简得x

?z?z?y?2xy?xF(u)?z?xy.(6分) ?x?y?x2?y222,x?y?0,?xy222. 设f(x,y)?? 证明：在原点O(0,0)处的两个二x?y?0,x2?y2?0.?阶偏导数fxy(0,0)和fyx(0,0)都存在，但fxy(0,0)?fyx(0,0).

x2?y2xy2?0f(x,y)?f(0,y)x?y2?lim??y,(1证明：当y?0时，fx(0,y)?limx?0x?0xx分) 又，fx(0,0)?limx?0f(x,0)?f(0,0)?0， (2分)

x从而fxy(0,0)?limy?0fx(0,y)?fx(0,0)?y?0?lim??1.(4分) y?0yy同理, 有fyx(0,0)?1.(5分)

因此fxy(0,0)和fyx(0,0)都存在,但fxy(0,0)?fyx(0,0).(6分)

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