第四部分 控制测量练习（7 椭球面计算）

第七章 椭球面上的测量计算

1．试写出椭球的基本元素及其基本关系式。

2．在控制测量的椭球解算中，常引用下列符号：t、?、W、V，试问它们之间函数关系的一个基本共同特点是什么？

3．我国解放后主要采用哪两种参考椭球?其主要参数是什么? 4．绘图并说明表示椭球面上点位的三种常用坐标系统。

5．在报纸上经常看到X X号轮船在东经XXX度，北纬X X度遇险一类的报导，试问这是指的什么坐标系，为什么?

6．写出参考椭球体的五个基本元素及相互间的关系。 7．什么叫子午圈？什么叫平行圈？

8．参考椭球体扁率的变化，椭球体的形状发生怎样的变形？

9．简要说明并图示地面某一点的大地高、正常高以及大地水准面差距的几何意义。

10．什么是大地测量的基本坐标系？有何优点？

11．画图表示地心纬度坐标系和归化纬度坐标系，这两种坐标系在大地测量中有何意义？ 12．用公式表示空间直角坐标系和大地坐标系之间的关系。 13．何为大地纬度、归化纬度、地心纬度？三者间有何关系？ 14．简要叙述M、N、R三种曲率半径之间的关系。

15．大地坐标系和天文坐标系各以什么作基准面和基准线？ 16．试推证卯酉圈、子午圈曲率半径的计算公式。 17．B≠00的平行圈是否有可能是法截线？为什么？

18．卯酉圈曲率半径N与子午圈曲率半径M何时有最大值？何时有最小值？

19，为什么说任意方向法截线曲率半径RA随A的变化是以900为周期的？这一结论对椭球问题的解算有什么意义？

20．什么是法线？什么是法截面？它们对椭球解算有什么意义？

21．当椭球元素确定之后，椭球面上任意方向法截线曲率半径的计算值取决于哪两个变量？为什么？ 22．已知欧拉公式：

111?cos2A?sin2A RAMN试由椭球基本元素及公式出发，用两种方法导出计算任意方向法截线曲率半径RA的公式和平均曲率半径R的公式。

23．研究平均曲率半径R对椭球解算有何意义？在我国中纬度地区R与RA的最大差异是多少？试将它对距离化算（用R代替RA）的影响作一定量分析。

24．在推导计算子午线弧长公式时，为什么要从赤道起算？若欲求纬度B1和B2间的子午线弧长(B1?B2≠00)，如何计算？

25．当子午线弧长不超过45km时，则可将其视为圆弧，试论证其计算精度的可靠性。

26．何谓椭球面上的相对法截线和大地线？试鉴别下列各线是否为大地线并简要说明理由： (1)任意方向法截线， (2)子午圈， (3)卯酉圈， (4)平行圈。

27．试证明椭球面上过任一点P(B、L，B≠0)的任一方向的法截线只有子午线是大地线，而平行圈为什么不是大地线？若为球面，情况又如何？

28．研究相对法截线有何意义？画出某方向在不同象限时正反法截线的关系图。

29．什么叫大地线？为什么可以用大地线代替法截线？大地线具有什么性质？ 30．大地线微分方程表达了什么之间的关系？有何意义？试述其推导思路。 31．怎样理解克莱洛定理中大地线常数C的含义？

32．试述三差改正的几何意义。为什么有时在三角测量工作中可以不考虑三差改正？ 33．三差改正的改正数大小，各与什么有关？

34．解释下列名词：

大地水准面，参考椭球，大地线，法截线，大地经纬度 35．已知椭球(a,e)面上一点P的空间直角坐标X、Y、Z。试求：

(1)该点的大地坐标(B、L)；

(2)该点的平行圈半径r，主曲率半径M与N；

(3)该点上大地方位角为A的方向上的法截弧曲率半径。

36．在边长大致相等的三角网中，各方向的方向改正值是否也大致相等？为什么？ 37．什么是拉普拉斯方程式？在大地测量中有何意义？

38．为什么说通过比较一点的天文经纬度和大地经纬度，可以求出该点的垂线偏差?试绘图导出垂线偏差的计算公式?

39．图示垂线偏差对观测天顶距的影响。

40．试定量分析距离改正公式在何种情况下需用下列或更精密的计算公式：

2?ym?y2? ?s?D?s???2R2?24R2??s

??241．将地面实测长度归化到国家统一的椭球面上，其改正数应用下式求得： ?H??HsH RA式中H应为边长所在高程面相对于椭球面的高差，而实际作业中通常用什么数值替代？这对?H的计算精度是否有影响？为什么？

42．根据垂直角将导线测量中的斜距化为平距时，有化算至测站高程面以及化算至测站点与照准点平均高程面上两种公式，两公式之间有何差异？试导出其差异的来源。 43．导出由电磁波测距仪测得的斜距化算为大地线长度的计算公式。

44．什么是球面角超？为什么应用球面角超可以检核方向改正值计算的正确性？

45．在北纬22°00′地区三角网中有一三角形ABC，已知归化到椭球面上的三个内角为A=56°40′07.50″，B=83°13′49.00″，C=40°06′04.23\。并已知三角形三顶点的近似坐标分别为xA?2435.28km，

yA?250.50km；xB?2411.30km，yB?250.99km；xC?2414.10km，yC?281.38km。试用两种

不同方法求出该三角形闭合差（在球面上计算时略去长度改化；注：B?2200'处

0?\2R2。 ?0.0025）

46．什么叫大地主题解算？为什么要研究大地主题解算？其解析意义是什么？

47．在推导正算公式和反算公式过程中主要运用的是什么数学方法和原理？运用的根据是什么？反算公式中的Bf起什么作用？试根据正反算公式画图说明子午线和平行圈投影至平面后的形状。

48．用电磁波测距仪测得地面倾斜距离为D，已知数据列于表7-1中。试求D归化到椭球面上的大地线长度S。

表7-1

符号 B1 A12 H1 H2 D 已知数据 30°16′ 80°36′ 2780.51m 2373.43m 1794.106m 符号 H2-H1 N1 RA S 计算数值(m) 49．某椭球面三角形ABC（见图7-1），其平均纬度Bm=33°50′，起算边长AC=b=47652.597m，三角形的三个内角观测值为

?=70°46′03.49″

?=65°05′15.01″

?=44°08′45.68″

试解算椭球面三角形ABC（计算表格参考表7-2和表7-3）。

附：1. 电磁波测距边归化到椭球面上的计算

示例： 计算公式

?H?H1?1??2?D?? S?D?H1??H2??1?R????1?RA??A?2D3 ?224R?A???式中 D——地面倾斜距离；

S——椭球面大地线长度； H1，H2——大地高；

RA——沿观测方向的曲率半径。 RA?N1aN? 1221?e?2?cos2B1?cos2A121?esinB1已知数值：

D=34884.181m， B1=30°33′， A12=129°35′，H1=3930.35m， H2=3879.54m。 常数值：

a=6378245m e2=0.00669342 e′2=0.00673852

RA=6371440m S=34862.821m

2．按勒让德尔定理解算球面三角形

示例：图7-1中ABC为球面三角形，其球面角用?，?，?表示，边长按长度为单位用a，b，c表示之；A′B′C′为以球面边长a，b，c为边的平面三角形，其中?′，?′，?′称为平面归化角。设平均纬度Bm=34°50′，起算边长BC=a=14862.821m，球面三角形的三个内角观测值?，?，?列于表7-2，试求b、c边长？

?'??0?? ?'??0?? ?'??0??

131313abc?? sin??sin??sin??上式中?0、?0、?0为平差后的球面角，ε为球面角超，分别按下列公式计算：

??fbcsin??facsin??fabsin? (当边长小于90km时)

?0???其中f?www ?0??? ?0??? 3330??2R2；w为三角形闭合差，即w?(?????)?(180???)

计算步骤：

（1）三角形概算和球面角超的计算（见表7-2）

f=0.002541三角形编号 顶点名称 A 1 B C W 角度值 （°）（′）（″） 35 54 47 69 05 36 74 59 35 179 59 58 表7-2 边 长 （KM） 14.863 23.671 24.475 0.863 球面角超ε″ （2）椭球面三角形的解算（见表7-3）

顶点 名称 A B C ∑ 闭合差 球面上的角度观测 （°）（′）（″） 角度平差改正数 （″） 平差后的球面角值 （°）（′）（″） ???3平 面 归化角 （″） 球面边长 （m） 球面角超 ε″ 35 54 47.18 69 05 36.31 74 59 35.43 179 59 58.92 —1.943 +0.647 +0.648 +0.648 35 54 47.827 69 05 36.958 74 59 36.078 -0.287 -0.288 -0.288 47.540 36.670 35.790 14862.821 23670.787 24474.827 0.863

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