小样本情况下的游程检验

二维

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摘要：于二项分布，传统的参数统计中，们可以对在我检验其分布特性，涉及到数据的随机性、立性问题时 .但独

H: 该数据列出现顺序随机 H:数据列 m现顺序不随机 .该假设这 n个数中有 n个 0和 n个 1 I I:。 0 ,o I n由二项分 l l+

常常束手无策。在非参数统计中，对二项分布问题 .针尤其是分布，们可以利用游程检验判断其随机性，文将对小我本

样本情况下的游程检验进行分析和证明 .并指出其在实际生产、究过程中的应用。游程检验主要可以用于对属性数研

布性可，列能情有： ()。的质知该可的况 (:种数。。 R为游程个数，≤R≤ 1 0。R的条件概率为：P R:2。。 :。+:

据的分析 .断一些事件的发生是不是独立的 .可用于对判也事件发生概率的推断 .在此我们主要针对数据的随机性检验介绍游程检验

三lJ n

关键词：程：设检验：件概率游假条在实际分析中 .我们经常要检验两种事件的发生是否独立 .本的现是不是随机的，为这关系到数据是否独样因P R:2。+:: +。。

_— ) _掣 ( ;\0』 n

立。用传统的参数统计方法，们一般只会得到数据的总体我特征，想研究具体数据问的天系，一定的困难，证明要有要数据的独立同分布则更难在非参数统计巾，果数据有上升或下降的趋势，有如或

以下是对上述 R的条件概率的证明： 根据数列中。和 1的位置， n个 0和 n个 1别进对。。分行编号：01《…,和 1)∞…, (0, 0 1, o1, 1,

呈周期性变化的规律等特征时，均可能表示数据不是随机 m现的要确定某一数据列的随机性我们可以采用游程检验的方法，这种方法在非参数统计巾是比较基础的，要通主过将两种属性数据转化为分布 (— )形式，种数字化的 0 1的这方法有利于进行统计计算。一

将 n个 0和 n个 1为 n个不同的数。。 .视 设由 0构成的游

程为 A, 1成的游程为 B。游程 A .由构 的第一个数为 0游程 B的第一个数为 1㈨ ㈨,

。

由游程的定义可知 .数列中 .程 A与游程 B必定交在游

、

随机游程的引入

替出现，具体每个游程的长度互不影响，故 A与 B是独立的。

为了证明样本观测值的随机性，我们引入随机游程检验。很多实际问题中的随机性或者规律性都可以化为一个

R作为游程个数，计算概率时需要分奇、两种情况存偶讨论。 ( ) R为偶数时， R 2,在数列中有 k A和一当令= k即个 k个 B交替出现，程排列有两种情况：游Al A22 Akk Bl B A… BA B1 B… B及 Al2 2 k

=元 0 1列出现顺序的随机性问题。在此我们主要分析—序小样本情况下的游程检验。

首先，入游程的概念：个二元 0 1列当中 .段引一—序一全由 0或者全由 1成的串成为一个游程。游程中数据的构个数称为游程长度，列中游程的个数记为 R一个序列的序。 R较大表示该序列 0和 1交替轮换的比较频繁 .均游程长平度较小。因此， R表示了 0和 1交替轮换的频繁程度。

这两种情况中的 A. B是相对应的，此在计算两者与 因的概率时方法和结果是相同的。

数列中游程 A与 B的排列已经确定，们可以将其分 我别分析，必考虑 A与 B的顺序问题。不 i 由前提假设可知， .第一个数是 0 ( B的第一个数 A的“,,是 1,在只要确定 A, k B, k第一个数， (现” 2 A 和 2 A B 的 B即 0 0,,和 1。 1, 1,可以确定 AI, … 0 …, 就，…Ak, A2, Bl,

在样本量一定的前提下，我们可以通过游程个数来判断一个序列是否具有随机性。存一个二元序列 l, f 0和 1 1交替 m现，果 0和 l的出现都不是很集中也不是很分散，如那么这个序列可以看作是随机的，确定随机性 .们在下文要我巾将有具体方法进行检验。用来解释就是，果一个序列的如 R较大，说明 0和 1替特征明显；较小，说明 0和 1

则交 R则 的分布相对比较集中，两种情况都不符合随机性的要求这

B, z…Bk这个 2, k游程。

对于 n个 00。,已定，需从 (一 )。中找 (一 )还 n 1。个 k1个作为 0 0,‘,…

我们可以借助 R来设定假设检验的拒绝域。

0 1 l,

。

0的顺序已由编号确定，只需从( 1故 ),

二、的条件分布及假设检验 R对于由 0和 1组成的一列数 X。, X.从二项分，…X,服 X

个 0 f任意取 I(一 )。0O, 0确定后，得 A为 0 1 f Jk 1 j个 ( 0…, a 可 ,

0

,,… 0

。 0,, 0‘…

布， X~ (,,中 P为 1现的概率。提出假设：即、 nP其 B )出

,

,

0的同法 n 1 不取有f种。 Ol

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同样，于 n个 1需从 (,1 1中任意取￣(-对一， n )一个 k1为 1,㈨ 1,

2 09, 5, 02, 20 2 201, 93, 98, 9 2 1 1 1 7, 02, 04, 0 2 2 2 6, 05, 8, 20 1 5, 96, 07, 6, 7, 08, 5。 9 1 2 20 20 2 20

1。 1 1 ㈦㈨…

…

1确定后，得 B为 1 可 i㈣, .

,

,

,

判断这台包装机装多装少是否随机？…

,

1。 1,,的取有f 1 1,…1不同法\/ ㈨“ l种。 k -1则 R 2时的条件概率为：=k

首先，出假设：提 H:。包装机装多装少是随机的 H,包装机装多装少不是随机的：采用中位数法，算样本中位数为 2 3令：计 0,

…

…

2慨 )

Y[2:0相的样为 i￣3 x, 本：=>} X∞应 Y 0f: 3 X: {≤ 0 2.

( ) R为奇数时， R= k, R= k的情况类似，二当令 2+1与 2

1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1,

数列的游程排列有两种情况：Al l2 z" B及 BAl A2 BAk k BA B - Ak k l B2… k B

则 n=1 n= R 5, l 2,29,=

由于 mi(,, 9该数列最多有 1

nn n), o= 9个游程，据概率依公式计算，=— 9的概率。 R21可得到：

其中 0: ( 1’ 11‘ 0、 : (已知。对第一种排列， I 1,只需确定 0,

,

0】, a和1,, 1『…0 1’,根：k方可 】 '电…。据R2时的法，从

(o1 0中任取 k个， (,1个 1中任取 (一 ),同的 n ) -个从 n一 ) k 1个不

∑P=+ ( r0 3 ( r∑P=:. 8 R) R) 0∑P=+ ( r0 6 ( r∑P==. 4 R) R) 0∑P=+ ( r0 8 ( r∑P==. 2 R) R)0在 00 . 5的显著性水平要求下 .将以上三个概率之和与00 . 5相比， . 8与 00 0 3 0 . 5最接近，其置信水平较高 .且于是我

取为 ) 法( ( 。 0对第二种排列，需确定 0 0…,只，, 0和 1 1…,,,, 1 即从 (『1个 0中任取 (一 ), (广1 1中任取 k个， r ) l k 1个从 n )个不

同的取法为f,lI l/一\一\ n I / n I。

、 k

/\ k-1/

则 R: k 2+】时的条件概率为：

们选择 e 6C 1,为该项检测的上下临界值。也可以说， l,= 6作：:当6R 1<< 6时，我们以 c 00 8的显著性水平接受原假设， t .3=即包装机装多装少是随机的。

PR 2+ o n: ) (= k 1+ ln= I n

该次抽样检测中，=<,不能接受随机性的原假设。 R 5 6故 当然，实际生产过程中不需要如此繁琐的计算过程，我们可以利用前人已给出的游程检验表 .接得到所需的上下直临界值，游程数与其上下临界值相比较，其是否在拒绝将看

证毕。

在进行假设检验的时候 .们可以根据游程个数的条件我概率对原数据的随机性进行判断。根据以上公式，以计算可出 PR≥r PR≤r ( 1 (和 )的值，要求的置信度相比较，事件与对发生的随机性做出检验。 在小样本的情况下， n和 n值不大时，以计算得出即 o,可 P值。由此，计算小样本情况下的多种组合，每种组合下的将 P值列出，可以通过与一定的显著性水平相比较，算出就

计 相应的上下临界值，到游程检验表。这一过程前人已经做得

域中，进而判断其随机性。在该例中，对于显著性水平 d =00,过查游程检验表可得 r 6 r 1,为 5 6则拒绝原 .5通 t,= 6因= .<,假设，为该台包装机装多装少不是随机的。认 在实际应用中，—分布可以代表很多属性数据的分 0 1布，如性别、值的正负、件发生与否等等，而可以将具差事进体的数据简化，利于我们做随机性判断。有因此，随机性检验

也常用于判断某种存货近期价格的变化是不是随机的、产生过程是否处于随机的控制状态、奖券的购买是否也是随机的等等。 在进行随机性检验中 .机游程检验是一种比较简单而随有效的方法 .不仅能表示总体发生的概率 .可以表示相它还

过，我们现在可以直接利用游程检验表做判断。在实际应用中 .一般可以通过查游程检验表直接得到在显著性水平 d 下的上下临界值 CC,单边检验中， PR≤c≤d或 P b:在当 (, ) (≥c) R 2≤d时，绝 H原假设；双边检验中， PR≤c)P拒 0在当 ( 1 + f≥c) t,绝},数据出现顺序不随机。 R 2≤o时拒{即 o

邻样本的发生有无相关性。这比经典统计中，二项式的性用质求得的参数及分布的性质等要精确的多。经典统计不能且

三、机游程检验的应用及分析随随机游程检验在实际生产和生活中有较为广泛的应用， 我们可以将理论上对数据独立性、机性等的判别转化到实随际的问题中 .检验产品质量、察变化规律、别差异等来观性等。如在一些生产企业的质检部门，以使用随机游程检验可来进行产品质量的检查。 例：食品加工厂质检部门对该厂某食品每包净含量进某行检测，求每包平均 2 0克。现从流水线上的某台包装机要 0上随机抽取 2包，得其净含量分别为： 1测

判断原数据列的随机性，能反应总体发生的状况，果不只结够精确。在非参数统计中，程检验方法简便，适用面广游且泛，尤其是在涉及到属性数

据或是遇到二元分布的问题时， 有较好的检验效果。如果将 0 1列中的“”“”替“”—数 0、l代+、“一

”,

可以将游程检验扩展到符号检验、号秩检验等方法符

上，到更多随机性检验的方法。得

作者单位：中南财经政法大学信息学院 (任编辑：责金明)

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