2011级第一学期期末试题

清华大学本科生考试试题专用纸 考试课程 微积分B（1） (期末考试) A卷 2012年 1月 6 日 8：00-10：00 班级 姓名 学号 一、填空题（每题4分，共40分） 直接将答案填写在横线上，写在其他地方无效！ 1．limx?0sinx?ex?11?1?x2? ． 2. ?x?1dx? ?C． x2?3x?2?(n?1)3?(n?2,3,?)的最小项的项数为n? ． 3．数列?2?(n?1)??4. 设f(x)?x2ex，则f(10)(x)? ． 5. 设数列{an}单调减少，且liman?0．又Sn?n???a(n?1,2,?)无界，则幂级数 kk?1n?a(x?1)nn?1?n的收敛域是 ． x???x?a?6．若lim???xe?xdx，则a? ． ?ax???x?a??11??17．lim??????? ． n??n?1n?2n?n??8. 函数f(x)???1,0?x?π,的以2π为周期的Fourier级数是 ． ?1,?π

二、解答题（第11-15题每题10分，第16题15分，共65分） ?f(x)exsinx???1． 11．已知函数f(x)在x?0处具有一阶导数，且满足条件 lim??2?x?0?xx??求f(x)在x?0处的带皮亚诺型余项的一阶泰勒公式． 212. 求幂级数π3π6?(?1)nn?0?n?2nx的收敛域及和函数． n?113．证明?ππ2cos2xsinxcos2x33dx??πdx，并计算定积分I??πdx． x(π?2x)6x(π?2x)6x(π?2x)14. 已知曲线段L：y?lnx(1≤x≤3)，有界区域D由L与x轴及直线x?3围成． （Ⅰ）求D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积； （Ⅱ）求曲线段L的长． 15．已知函数f(x)在区间[0,a](a?0)上可导，且点(0,0),(a,a)在曲线y?f(x)上． 证明：（Ⅰ）存在??(0,a)，使得f(?)?（Ⅱ）存在?1,?2?(0,a)，使得a； 211??2． f?(?1)f?(?2)ex?116. 已知函数f(x)?ln，x1?1，xn?1?f(xn)(n?1,2,?)． x（Ⅰ）求f(x)的单调区间； （Ⅱ）证明limxn?0． n??（Ⅲ）证明级数 ?xn?1?n收敛．

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