高一数学必修四综合试题A组：于晓闻

高一数学必修(四)复习参考试题A

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．实体

kk

1．设集合M＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，那么( )

24 A．M＝N

B．N?M C．M?N

D．M∩N＝?

→→→→→

2．在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，则BC等于 ( ) A．(－2,7)

B．(－6,21) C．(2，－7)

D．(6，－21)

4

3．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为( )

5

31

C． D.

22π

4. 若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象如图所示， M，N分

2→→

别是这段图象的最高点和最低点，且OM·ON＝0(O为坐标原点)，则A等于( )

π777A. B.π C.π D.π 61263

1 A．－

2

B.?

5．已知|a|＝2|b|，|b|≠0且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是 ( )

πππ2π

A．－ B．－ C. D. 6333

1ππ3

6． 已知sin θ＝－，θ∈(－，)，则sin(θ－5π)sin(π－θ)的值是 ( )

322222 A.

9

1

B．

9

221

C．－ D. －

99

3 2→

7．已知点A(6,2)，B(1,14)，则与AB共线的单位向量为 ( )

512512512125125512

A．(－，)或(，－) B．(，－) C．(，－)或(－，) D．(－，)

131313131313131313131313

→→→→2

8．在△ABC中，(BC＋BA)·AC＝|AC|，则△ABC的形状一定是 ( ) B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形

??29．实数m?n且m2sin??mcos???0 , n2sin??ncos???0，则连接(m,m2),(n,n)两点的

33 直线与圆心在原点上的单位圆的位置关系是( )

A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定 10．已知函数f(x)＝3sin 2x＋cos 2x－m在[0, A．[1,2)

A．等边三角形

?]上有两个零点，则m的取值范围是 ( ) 2 B．(1,2) C．(1,2] D．[1,2]

→→→

11．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且OA＋OB＋2OC＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为 ( )

A．3 B．4 C．5 D．6

1

12．已知函数f (x)=f (??x),且当x?(?,)时，f (x)=x+sinx,设a=f (1),b=f (2),c=f (3),则（ ） A.a13．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝_______. 14．函数y?sinx???221?cosx的定义域是 . 2?2?cot15．下列说法：①第二象限角比第一象限角大；②设?是第二象限角，则tan?2；③三角形的

内角是第一象限角或第二象限角；④函数y?sin|x|是最小正周期为?的周期函数；⑤在△ABC 中，若sinA?sinB,则A>B.其中正确的是_________.（写出所有正确说法的序号） 16．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，

→→

则|PA＋3PB|的最小值为________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程

π

sin 2?－α?＋4cos2α

21

17．已知tan(π＋α)＝－，tan(α＋β)＝.

310cos2α－sin 2α

(1) 求tan(α＋β)的值； (2) 求tan β的值．

18．设函数f(x)?sin(?x?3?)(??0)的最小正周期为? 4?3?24??（Ⅰ）求?； （Ⅱ）若f(?，且??(?,)，求sin2?的值. )?282522（Ⅲ）画出函数y?f(x)在区间[0,?]上的图像（完成列表并作图）。 y

1120 ?123?87?8?x ?1 2

19．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线．

→→→→→

(1) 设PG＝λPQ，将OG用λ，OP，OQ表示；

11→→→→

(2) 设OP＝xOA，OQ＝yOB，证明：＋是定值．

xy

3

20．已知a＝(53cos x，cos x)，b＝(sin x,2cos x)，设函数f(x)＝a·b＋|b|2＋.

2

ππ

(1) 求函数f (x)的最小正周期和对称中心； (2) 当x∈[ ， ] 时，求函数f(x)的值域；

62(3) 该函数y＝f (x)的图象可由y?sinx,x?R的图象经过怎样的变换得到? ．

21.已知向量m=(2sin?, sin?+cos?)，n?(cos?,?2?m)，函数f(?)?m?n的最小值为 g(m)(m?R)

（1）当m?1时，求g(m)的值； （2）求g(m)；

（3）已知函数h(x)为定义在R上的增函数，且对任意的x1,x2都满足h(x1?x2)?h(x1)?h(x2)问：是否存在这样的实数m，使不等式h(f(?))?h(

恒成立，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由 .

4?)+h(3?2m)?0对所有??[0,]sin??cos?2

3

22．已知函数f?x??103sinxxxcos?10cos2． 222（Ⅰ）求函数f?x?的最小正周期； （Ⅱ）将函数f?x?的图象向右平移

?个单位长度，再向下平移a（a?0）个单位长度后得到函数g?x?6的图象，且函数g?x?的最大值为2．

（ⅰ）求函数g?x?的解析式； （ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g?x0??0．

4

高一数学必修(四)复习参考试题A参考答案

1——6 CBCBDC 7——12 ACBABD 13. 32 14.[2k??15．②⑤ 16．5

11

17．解 (1)∵tan(π＋α)＝－，∴tan α＝－.

33

π

sin 2?－α?＋4cos2α

2sin 2α＋4cos2α2sin αcos α＋4cos2α

∵tan(α＋β)＝＝＝

10cos2α－sin 2α10cos2α－sin 2α10cos2α－2sin αcos α1

－＋232cos α?sin α＋2cos α?sin α＋2cos αtan α＋25

＝＝＝＝＝.

1162cos α?5cos α－sin α?5cos α－sin α5－tan α

5－?－?351＋163tan?α＋β?－tan α31

(2)tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝. 51431＋tan?α＋β?tan α

1－×16318．解：（Ⅰ）函数f(x)?sin(?x?（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)?sin(2x??3,2k???](k?Z)

2?3??? ???2.…2分 )(??0)的最小正周期为? ??43?24?3?24) 由f(?)?得：sin??， ………………4分 4252825∵??2????2 ∴cos??7336 ∴sin2??． …… 8分（其他写法参照给分）

625253?)，于是有（1）列表 4 （Ⅲ）由（Ⅰ）知f(x)?sin(2x?x 0 ?83? 80 5? 81 7? 80 ? y ?2 2－1 ?2 2…………11分

[0,?]上图像如下 ……………12分 （2）描点，连线函数y?f(x)在区间

5

[来源:学。科

→→→→→→→→→→

19．(1)解 OG＝OP＋PG＝OP＋λPQ＝OP＋λ(OQ－OP)＝(1－λ)OP＋λOQ.

(2)证明 一方面，由(1)，得 →→→→→

OG＝(1－λ)OP＋λOQ＝(1－λ)xOA＋λyOB；①

→2→21→→1→1→

另一方面，∵G是△OAB的重心，∴OG＝OM＝×(OA＋OB)＝OA＋OB.②

3323311

?1－λ?x＝，＝3－3λ，

3x11→→

而OA，OB不共线，∴由①②，得解得∴＋＝3(定值)．

xy11

λy＝.＝3λ.

3y

33

20解 (1) f (x)＝a·b＋|b|2＋＝53sin xcos x＋2cos2x＋4cos2x＋sin2x＋ 22

1＋cos 2x5553π

＝53sin xcos x＋5cos2x＋＝sin 2x＋5×＋＝5sin(2x＋)＋5.

22226

???

???

T??, (??12?k?,5)k?Z 2πππππ7π1π

(2) f (x)＝5sin(2x＋)＋5. 由≤x≤，得≤2x＋≤，∴－≤sin(2x＋)≤1，

66226626

ππ5

∴当≤x≤时，函数f(x)的值域为[，10]．

622(3) 略

221.（1）f(?)?sin2??(2?m)(sin??cos?)令t?sin??cos?，t?[-2,2]，则sin2??t?1

当m?1时，g(m)=(t?3t?1)min?1?32 （2）f(?)?F(t)?t?(m?2)t?1，t?[-2,2]

22?(m?2)2?1,m??22?2??m2?4m?8 g(m)=??,?22?2?m?22?2

4??1?(m?2)2,m?22?2?（3）易证h(x)为R上的奇函数

4???h(3?2m)?0成立， ?sin??cos???4????h(3?2m)?h(?3?2m)， 只须h?sin2??(2?m)(sin??cos?)??sin??cos???4??3?2m， 又由f(x)为单调增函数有sin2??(2?m)(sin??cos?)?sin??cos?要使h?sin2??(2?m)(sin??cos?)? 6

2令t?sin??cos?，则sin2??t?1，

????[0,],?t?2sin(??)?[1,2]

242原命题等价于t?1?(m?2)t?4?3?2m?0对t?[1,2]恒成立； t2t(2?t)?(2?t)42t?(2?t)m?2t?t2??2，即m??t?. t2?tt由双勾函数知g(t)在[1,2]上为减函数，?m?3时，原命题成立

22解析：（I）因为f?x??103sinxxx???cos?10cos2?53sinx?5cosx?5?10sin?x???5． 2226??所以函数f?x?的最小正周期??2?． （II）（i）将f?x?的图象向右平移

?个单位长度后得到y?10sinx?5的图象，再向下平移a（a?0）6个单位长度后得到g?x??10sinx?5?a的图象．又已知函数g?x?的最大值为2，所以10?5?a?2，解得a?13．所以g?x??10sinx?8．

（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g?x0??0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得10sinx0?8?0，即sinx0?4． 5由

?443?知，存在0??0?，使得sin?0?．

35524． 5由正弦函数的性质可知，当x???0,???0?时，均有sinx?因为y?sinx的周期为2?，

所以当x??2k???0,2k?????0?（k??）时，均有sinx?因为对任意的整数k，?2k?????0???2k???0????2?0?4． 5?3?1，

4． 5所以对任意的正整数k，都存在正整数xk??2k???0,2k?????0?，使得sinxk?亦即存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g?x0??0．

7

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