中考真题练习之 二次函数应用题

中考真题练习之 二次函数的应用题以及详细解答 1．甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．

2．某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：

（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？

3．如图，李师傅想用长为80米的棚栏，再借助教学楼的外墙围成一个矩形的活动区ABCD．已知教学楼外墙长50米，设矩形ABCD的边长AB为x（米），面积为S（平方米）．

（1）请写出活动区面积S与x之间的关系式，并指出x的取值范围； （2）当AB为多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？

4．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．

（1）求平均每天销售量y箱与销售价x（x＞50）元/箱之间的函数关系式． （2）在（1）的基础上，求该批发商平均每天的销售利润w元与销售价x之间

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的函数关系式；

（3）在（1）的基础上当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

5．某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．

（1）当每件商品的售价是多少元时，每个月的利润刚好是2250元？

（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

6．随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：千米），乘坐地铁的时间y1（单位：分钟）是关于x的一次函数，其关系如下表： 地铁站 x（千米） y1（分钟） A 8 18 B 9 20 C 10 22 D 11.5 25 E 13 28 （1）求y1关于x的函数表达式；

（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受x的影响，其关系可以用y2=x2﹣11x+78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．

7．某商场对某种商品进行销售，第x天的销售单价为m元/件，日销售量为n件，其中m，n分别是x（1≤x≤30，且x为整数）的一次函数，销售情况如表：

销售第x天 销售单价m（元/件） 日销售量n（件） 45 50 55 60 … 190 第1天 49 第2天 48 第3天 47 第4天 46 … … 第30天 20 （1）观察表中数据，分别直接写出m与x，n与x的函数关系式： ， ； （2）求商场销售该商品第几天时该商品的日销售额恰好为3600元？

（3）销售商品的第15天为儿童节，请问：在儿童节前（不包括儿童节当天）销

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售该商品第几天时该商品的日销售额最多？商场决定将这天该商品的日销售额捐献给儿童福利院，试求出商场可捐款多少元？

8．某厂按用户的月需求量x（件）完成一种产品的生产，其中x＞0，每件的售价为18万元，每件的成本y（万元）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x（件）成反比，经市场调研发现，月需求量x与月份n（n为整数，1≤n≤12），符合关系式x=2n2﹣2kn+9（k+3）（k为常数），且得到了表中的数据． 月份n（月） 1 2 12 100 成本y（万元/件） 11 需求量x（件/月） 120 （1）求y与x满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元； （2）求k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；

（3）在这一年12个月中，若第m个月和第（m+1）个月的利润相差最大，求m． 9．某商场试销A、B两种型号的台灯，下表是两次进货情况统计：

进货情况 进货次数 第一次 第二次 进货数量（台） A 5 10 B 3 4 230 440 进货资金（元） （1）求A、B两种型号台灯的进价各为多少元？

（2）经试销发现，A型号台灯售价（x元）与销售数量（y台）满足关系式2x+y=140，此商场决定两种型号台灯共进货100台，并一周内全部售出，若B型号台灯售价定为20元，求A型号台灯售价定为多少时，商场可获得最大利润？并通过计算说明商场获得最大利润时的进货方案．

10．某网络经销商销售一款夏季时装，进价每件60元，售价每件130元，每天销售30件，每销售一件需缴纳网络平台管理费4元．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，通过市场调查发现，该时装单价每降1元，每天销售量增加5件，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销量为y件． （1）直接写出y与x的函数关系式；

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（2）在这30天内，哪一天的利润是6300元？

（3）设第x天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少．

11．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y=a（x﹣4）2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m． （1）当a=﹣

时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．

（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为

m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．

12．我市雷雷服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实体商店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了为期30天的跟踪调查，其中实体商店的日销售量y1（百件）与时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如表所示，网上商店的日销售量y2（百件）与时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如图所示． 时间（天）t 日销售量 y1（百件） （1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数能反映y1与t的变化规律，并求出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围； （2）求y2与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

（3）在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y（百件），求y与t的函数关系式；当t为何值时，日销售总量y达到最大，并求出此时的最大值．

0 0 5 25 10 40 15 45 20 40 25 25 30 0 第4页（共80页）

13．荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：

，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间

的函数关系如图所示：

（1）求日销售量y与时间t的函数关系式？ （2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ （3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？

（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m（m＜7）元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．

14．今年是“精准扶贫”攻坚关键年，某扶贫工作队为对口扶贫村引进建立了一村集体企业，并无偿提供一笔无息贷款作为启动资金，双方约定：①企业生产出的产品全部由扶贫工作队及时联系商家收购；②企业从生产销售的利润中，要保证按时发放工人每月最低工资32000元．已知该企业生产的产品成本为20元/件，

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月生产量y（千件）与出厂价x（元）（25≤x≤50）的函数关系可用图中的线段AB和BC表示，其中AB的解析式为y=﹣

x+m（m为常数）．

（1）求该企业月生产量y（千件）与出厂价x（元）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

（2）当该企业生产出的产品出厂价定为多少元时，月利润W（元）最大？最大利润是多少？[月利润=（出厂价﹣成本）×月生产量﹣工人月最低工资]．

15．交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征．其中流量q（辆/小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度v（千米/小时）指通过道路指定断面的车辆速度；密度k（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．

为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间关系的部分数据如下表： 速度v（千米/小时） … 流量q（辆/小时） … 5 550 10 1000 20 1600 32 1792 40 48 … … 1601150 2 （1）根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q，v关系最准确的是 （只填上正确答案的序号） ①q=90v+100；②q=

；③q=﹣2v2+120v．

（2）请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？

（3）已知q，v，k满足q=vk，请结合（1）中选取的函数关系式继续解决下列问题．

①市交通运行监控平台显示，当12≤v＜18时道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度k在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵；

②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d（米）均相等，求流量q最大

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时d的值．

16．青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨．下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：

未入住房间数 日总收入（元） 淡季 10 24000 旺季 0 40000 （1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？

（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？

17．铁岭“荷花节”举办了为期15天的“荷花美食”厨艺秀．小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元，由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第x天（1≤x≤15且x为整数）时每盒成本为p元，已知p与x之间满足一次函数关系；第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，每天的销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示：

第x天 1≤x≤6 每天的销售量y/盒 （1）求p与x的函数关系式；

（2）若每天的销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时当天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？

（3）在“荷花美食”厨艺秀期间，共有多少天小张每天的销售利润不低于325元？请直接写出结果．

18．怡然美食店的A、B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元． （1）该店每天卖出这两种菜品共多少份？

（2）该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，

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6＜x≤15 10 x+6

售卖时发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少？

19．近年来随着人们生活方式的改变，租车出行成为一种新选择，本溪某租车公司根据去年运营经验得出：每天租车的车辆数y（辆）与每辆车每天的租金x（元）满足关系式y=﹣

x+36（500≤x≤1800，且x为50的整数倍），公司需要为每

辆租出的车每天支出各种费用共200元，设租车公司每天的利润为w元． （1）求w与x的函数关系式．（利润=租金﹣支出）

（2）公司在“十一黄金周”的前3天每天都获得了最大利润，但是后4天执行了物价局的新规定：每辆车每天的租金不超过800元．请确定这7天公司获得的总利润最多为多少元？

20．宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系：y=

．

（1）工人甲第几天生产的产品数量为70件？

（2）设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数图象如图．工人甲第x天创造的利润为W元，求W与x的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？

21．2016年12月29日至31日，黔南州第十届旅游产业发展大会在“中国长寿之乡”﹣﹣罗甸县举行，从中寻找到商机的人不断涌现，促成了罗甸农民工返乡创业热潮．某“火龙果”经营户有A、B两种“火龙果”促销，若买2件A种“火龙果”和1件B种“火龙果”，共需120元；若买3件A种“火龙果”和2件B种“火龙果”，共需205元．

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（1）设A，B两种“火龙果”每件售价分别为a元、b元，求a、b的值； （2）B种“火龙果”每件的成本是40元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该“火龙果”经营户每天销售B种“火龙果”100件；若销售单价每上涨1元，B种“火龙果”每天的销售量就减少5件．

①求每天B种“火龙果”的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系？ ②求销售单价为多少元时，B种“火龙果”每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 22．小明同学在一次社会实践活动中，通过对某种蔬菜在1月份至7月份的市场行情进行统计分析后得出如下规律：

①该蔬菜的销售单价P（单位：元/千克）与时间x（单位：月份）满足关系：P=9﹣x；

②该蔬菜的平均成本y（单位：元/千克）与时间x（单位：月份）满足二次函数关系y=ax2+bx+10．

已知4月份的平均成本为2元/千克，6月份的平均成本为1元/千克． （1）求该二次函数的解析式；

（2）请运用小明统计的结论，求出该蔬菜在第几月份的平均利润L（单位：元/千克）最大？最大平均利润是多少？（注：平均利润=销售单价﹣平均成本） 23．为解决消费者停车难的问题，某商场新建一小型轿车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用（包括设施维修费、管理人员工资等）为600元，为制定合理的收费标准，该商场对每天轿车停放辆次（每辆轿车每停放一次简称为“辆次”）与每辆轿车的收费情况进行调查，发现每辆次轿车的停车费定价不超过10元时，每天来此停放的轿车都为300辆次；若每辆次轿车的停车费定价超过10元，则每超过1元，每天来此停放的轿车就减少12辆次，设每辆次轿车的停车费x元（为便于结算，停车费x只取整数），此停车场的日净收入为y元（日净收入=每天共收停车费﹣每天固定的支出）回答下列问题： （1）①当x≤10时，y与x的关系式为： ； ②当x＞10时，y与x的关系式为： ；

（2）停车场能否实现3000元的日净收入？如能实现，求出每辆次轿车的停车费定价，如不能实现，请说明理由；

（3）该商场要求此停车场既要吸引顾客，使每天轿车停放的辆次较多，又要有

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最大的日净收入，按此要求，每辆次轿车的停车费定价应定为多少元？此时最大日净收入是多少元？

24．工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）

（1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？

（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？

25．某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y=﹣x+60（30≤x≤60）． 设这种双肩包每天的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数解析式；

（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？

26．鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售量为y个． （1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；

（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？

（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成

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40．为备战2016年里约奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）的函数关系式．（不要求写自变量x的取值范围）．

（2）在（1）的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．

（3）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）

41．某公司研发了一款成本为60元的保温饭盒，投放市场进行试销售，按物价部门规定，其销售单价不低于成本，但销售利润不高于65%，市场调研发现，保温饭盒每天的销售数量y（个）与销售单价x（元）满足一次函数关系；当销售单价为70元时，销售数量为160个；当销售单价为80元时，销售数量为140个（利润率=

）

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当销售单价定为多少元时，公司每天获得利润最大，最大利润为多少元？ 42．天水市某企业接到一批粽子生产任务，按要求在19天内完成，约定这批粽

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子的出厂价为每只4元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李红第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：y=（1）李红第几天生产的粽子数量为260只？

（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画，若李红第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）

43．旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．

（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费） （2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？

44．小明的爸爸和妈妈分别驾车从家同时出发去上班，爸爸行驶到甲处时，看到前面路口时红灯，他立即刹车减速并在乙处停车等待，爸爸驾车从家到乙处的过程中，速度v（m/s）与时间t（s）的关系如图1中的实线所示，行驶路程s（m）与时间t（s）的关系如图2所示，在加速过程中，s与t满足表达式s=at2 （1）根据图中的信息，写出小明家到乙处的路程，并求a的值； （2）求图2中A点的纵坐标h，并说明它的实际意义；

（3）爸爸在乙处等待7秒后绿灯亮起继续前行，为了节约能源，减少刹车，妈妈驾车从家出发的行驶过程中，速度v（m/s）与时间t（s）的关系如图1中的折线O﹣B﹣C所示，加速过程中行驶路程s（m）与时间（ts）的关系也满足s=at2，当她行驶到甲处时，前方的绿灯刚好亮起，求此时妈妈驾车的行驶速度．

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45．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件． （1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？ （3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？

46．某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表： 产品 甲 乙 每件售价（万元） 6 20 每件成本（万元） a 10 每年其他费用（万元） 20 40+0.05x2 每年最大产销量（件） 200 80 其中a为常数，且3≤a≤5

（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；

（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；

（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由． 47．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）请直接写出y与x的函数关系式；

（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单

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价是多少元？

（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 48．某地的特色农产品在市场上颇具竞争力，其中香菇远销全国各地，上市时，外商王经理安市场价格10元/千克在该市收购了1800千克香菇存放入冷库中，据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计240元，而且香菇在冷库中最多保存90天，同时，平均每天有6千克的香菇损耗不能出售．

（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式．

（2）王经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？

（3）王经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 49．九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表： 售价（元/件） 月销量（件） 100 200 110 180 120 160 130 140 … … 已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．

（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是 （ ）元；②月销量是 （ ）件；（直接写出结果）

（2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？

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参考答案与试题解析

1．甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．

【分析】首先利用函数对称轴以及图象上点的坐标，进而求出解析式，进而得出答案．

【解答】解：由题意得：C（0，1），D（6，1.5），抛物线的对称轴为直线x=4， 设抛物线的表达式为：y=ax2+bx+1（a≠0）， 则据题意得：

，

解得：，

∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为：y=﹣∵y=﹣

（x﹣4）2+，

x2+x+1，

∴飞行的最高高度为：米．

【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．

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2．某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：

（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？

【分析】（1）根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，由“确保盈利”可得x的取值范围．

（2）将所得函数解析式配方成顶点式可得最大值．

【解答】解：（1）根据题意得y=（70﹣x﹣50）（300+20x）=﹣20x2+100x+6000， ∵70﹣x﹣50＞0，且x≥0， ∴0≤x＜20；

（2）∵y=﹣20x2+100x+6000=﹣20（x﹣）2+6125， ∴当x=时，y取得最大值，最大值为6125，

答：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元．

【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意确定相等关系，并据此列出函数解析式．

3．如图，李师傅想用长为80米的棚栏，再借助教学楼的外墙围成一个矩形的活动区ABCD．已知教学楼外墙长50米，设矩形ABCD的边长AB为x（米），面积为S（平方米）．

（1）请写出活动区面积S与x之间的关系式，并指出x的取值范围； （2）当AB为多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？

【分析】（1）设矩形的边AB为x米，则边BC为80﹣2x米，根据矩形面积公式“面积=长×宽”列出函数的关系式．

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（2）将所得函数解析式配方成顶点式即可得． 【解答】解：（1）根据题意知AB=x，BC=80﹣2x， ∴S=x（80﹣2x）=﹣2x2+80x， 又∵x＞0，0＜80﹣2x≤50， 解得15≤x＜40，

∴S=﹣2x2+80x （15≤x＜40）；

（2）∵S=﹣2x2+80x =﹣2（x﹣20）2+800，

∴当x=20时，S最大值为800，

答：当AB为20米时，活动区的面积最大，最大面积是800平方米．

【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数，学会利用二次函数的性质解决问题．

4．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．

（1）求平均每天销售量y箱与销售价x（x＞50）元/箱之间的函数关系式． （2）在（1）的基础上，求该批发商平均每天的销售利润w元与销售价x之间的函数关系式；

（3）在（1）的基础上当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

【分析】（1）根据平均每天销售量=90﹣超过50元的价格×3，即可得到结论； （2）根据该批发商平均每天的销售利润w（元）=每箱的销售利润×每天的销售量，可得函数解析式；

（3）根据题中所给的自变量的取值得到二次的最值问题即可． 【解答】解：（1）由题意得售价为x元/箱时，

每天的销售量y=90﹣3（x﹣50）=﹣3x+240（50≤x≤55）；

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（2）根据题意，得：W=（x﹣40）（﹣3x+240）=﹣3x2+360x﹣9600；

（3）由（2）得：∵y=﹣3x2+360x﹣9600，a＜0， ∴抛物线开口向下． 当x=﹣

=60时，y有最大值．

又∵x＜60，y随x的增大而增大． ∴当x=55元时，y的最大值为1125元．

∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润．

【点评】此题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=﹣

5．某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．

（1）当每件商品的售价是多少元时，每个月的利润刚好是2250元？

（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

【分析】（1）如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件，可得销售量为100﹣2（x﹣60），销售量乘以利润即可得到等式[100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）=2250，解答即可；

（2）将（1）中的2250换成y即可解答．

【解答】解：（1）[100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）=2250， 解得：x1=65，x2=85．

（2）由题意：y=[100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）=﹣2x2+300x﹣8800； y=﹣2（x﹣75）2+2450，当x=75时，y有最大值为2450元．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．

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时取得．

6．随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：千米），乘坐地铁的时间y1（单位：分钟）是关于x的一次函数，其关系如下表： 地铁站 x（千米） y1（分钟） A 8 18 B 9 20 C 10 22 D 11.5 25 E 13 28 （1）求y1关于x的函数表达式；

（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受x的影响，其关系可以用y2=x2﹣11x+78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．

【分析】（1）根据表格中的数据，运用待定系数法，即可求得y1关于x的函数表达式；

（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则y=y1+y2=x2﹣9x+80，根据二次函数的性质，即可得出最短时间．

【解答】解：（1）设y1=kx+b，将（8，18），（9，20），代入得：

，

解得：

，

故y1关于x的函数表达式为：y1=2x+2；

（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则 y=y1+y2=2x+2+x2﹣11x+78=x2﹣9x+80，

∴当x=9时，y有最小值，ymin==39.5，

答：李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5分钟．

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【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值最小值，在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．

7．某商场对某种商品进行销售，第x天的销售单价为m元/件，日销售量为n件，其中m，n分别是x（1≤x≤30，且x为整数）的一次函数，销售情况如表：

销售第x天 销售单价m（元/件） 日销售量n（件） 45 50 55 60 … 190 第1天 49 第2天 48 第3天 47 第4天 46 … … 第30天 20 （1）观察表中数据，分别直接写出m与x，n与x的函数关系式： m=﹣x+50 ， n=5x+40 ；

（2）求商场销售该商品第几天时该商品的日销售额恰好为3600元？

（3）销售商品的第15天为儿童节，请问：在儿童节前（不包括儿童节当天）销售该商品第几天时该商品的日销售额最多？商场决定将这天该商品的日销售额捐献给儿童福利院，试求出商场可捐款多少元？

【分析】（1）由表格中数据的变化，用含x的代数式表示出m、n即可； （2）根据总价=单价×数量即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，由1≤x≤30可确定x的值；

（3）设日销售额为w元，根据总价=单价×数量即可找出w关于x的函数关系式，根据二次函数的性质即可解决最值问题．

【解答】解：（1）观察表中数据可知：每过一天，销售单价降低1元/件、销量增加5件，

∴m=49﹣（x﹣1）=﹣x+50，n=45+5（x﹣1）=5x+40． 故答案为：m=﹣x+50；n=5x+40．

（2）根据题意得：（﹣x+50）（5x+40）=3600， 整理得：x2﹣42x+320=0， 解得：x1=10，x2=32． ∵32＞30，

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∴x=32舍去．

答：第10天的日销售额为3600元． （3）设日销售额为w元，

根据题意得：w=（﹣x+50）（5x+40）=﹣5x2+210x+2000=﹣5（x﹣21）2+4205． ∵a=﹣5＜0， ∴抛物线开口向下． 又∵对称轴为直线x=21，

∴当1≤x≤14时，w随x的增大而增大， ∴当x=14时，w取最大值，最大值为3960．

答：在儿童节前（不包括儿童节当天）销售该商品第14天时该商品的日销售额最多，商场可捐款3960元．

【点评】本题考查了二次函数的应用、二次函数的性质以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据表中数据的变化找出m、n与x的函数关系式；（2）根据总价=单价×数量列出关于x的一元二次方程；（3）根据总价=单价×数量找出w关于x的函数关系式．

8．某厂按用户的月需求量x（件）完成一种产品的生产，其中x＞0，每件的售价为18万元，每件的成本y（万元）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x（件）成反比，经市场调研发现，月需求量x与月份n（n为整数，1≤n≤12），符合关系式x=2n2﹣2kn+9（k+3）（k为常数），且得到了表中的数据． 月份n（月） 1 2 12 100 成本y（万元/件） 11 需求量x（件/月） 120 （1）求y与x满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元； （2）求k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；

（3）在这一年12个月中，若第m个月和第（m+1）个月的利润相差最大，求m． 【分析】（1）设y=a+，将表中相关数据代入可求得a、b，根据12=18﹣（6+则

），

=0可作出判断；

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（2）将n=1、x=120代入x=2n2﹣2kn+9（k+3）可求得k的值，先由18=6+得x=50，根据50=2n2﹣26n+144可判断； （3）第m个月的利润W=x（18﹣y）=18x﹣x（6+

求

）=24（m2﹣13m+47），第

（m+1）个月的利润为W′=24[（m+1）2﹣13（m+1）+47]=24（m2﹣11m+35），分情况作差结合m的范围，由一次函数性质可得． 【解答】解：（1）由题意，设y=a+，

由表中数据可得：，

解得：∴y=6+

，

，

由题意，若12=18﹣（6+∵x＞0， ∴

＞0，

），则=0，

∴不可能；

（2）将n=1、x=120代入x=2n2﹣2kn+9（k+3），得：120=2﹣2k+9k+27， 解得：k=13， ∴x=2n2﹣26n+144，

将n=2、x=100代入x=2n2﹣26n+144也符合， ∴k=13；

由题意，得：18=6+解得：x=50，

∴50=2n2﹣26n+144，即n2﹣13n+47=0， ∵△=（﹣13）2﹣4×1×47＜0， ∴方程无实数根， ∴不存在；

第27页（共80页）

，

（3）第m个月的利润为W， W=x（18﹣y）=18x﹣x（6+=12（x﹣50） =24（m2﹣13m+47），

2∴第（m+1）个月的利润为W′=24[（m+1）﹣13（m+1）+47]=24（m2﹣11m+35），

）

若W≥W′，W﹣W′=48（6﹣m），m取最小1，W﹣W′取得最大值240； 若W＜W′，W′﹣W=48（m﹣6），由m+1≤12知m取最大11，W′﹣W取得最大值240； ∴m=1或11．

【点评】本题主要考查二次函数的应用，理解题意准确梳理所涉变量，并熟练掌握待定系数法求函数解析式、利润的相等关系列出解析式是解题的关键．

9．某商场试销A、B两种型号的台灯，下表是两次进货情况统计：

进货情况 进货次数 第一次 第二次 进货数量（台） A 5 10 B 3 4 230 440 进货资金（元） （1）求A、B两种型号台灯的进价各为多少元？

（2）经试销发现，A型号台灯售价（x元）与销售数量（y台）满足关系式2x+y=140，此商场决定两种型号台灯共进货100台，并一周内全部售出，若B型号台灯售价定为20元，求A型号台灯售价定为多少时，商场可获得最大利润？并通过计算说明商场获得最大利润时的进货方案． 【分析】（1）根据题意列方程解答即可；

（2）根据题意求得函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）设A、B两种型号台灯的进价分别为x元，y元， 由题意得，解得：

，

，

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答：A、B两种型号台灯的进价分别为40元，10元；

（2）∵A型号台灯售价x（元）与销售数量y（台）满足关系式2x+y=140，此商场决定两种型号台灯共进货100台，即y=﹣2x+140，则B型号台灯共进货（100﹣y）台=（2x﹣40）台，

设商场可获得利润为w，则w=（x﹣40）（﹣2x+140）+（20﹣10）（2x﹣40）=﹣2x2+240x﹣6000=﹣2（x﹣60）2+1200， ∵﹣2＜0，

∴A型号台灯售价定为60元时，商场可获得最大利润为1200元． 此时A种进20台，B种进80台．

【点评】本题主要考查了方程的应用和二次函数的实际应用，根据题意列出函数表达式，熟练掌握函数性质根据自变量取值范围确定售价在多少元时，总利润最大是解决问题的关键．

10．某网络经销商销售一款夏季时装，进价每件60元，售价每件130元，每天销售30件，每销售一件需缴纳网络平台管理费4元．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，通过市场调查发现，该时装单价每降1元，每天销售量增加5件，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销量为y件． （1）直接写出y与x的函数关系式；

（2）在这30天内，哪一天的利润是6300元？

（3）设第x天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少．

【分析】（1）根据销量=原价的销量+增加的销量即可得到y与x的函数关系式； （2）表示出网络经销商所获得的利润=6300，解方程即可求出x的值； （3）根据每天售出的件数×每件盈利=利润即可得到的W与x之间的函数关系式，由函数的性质即可求出其最大利润以及其哪一天所获得的． 【解答】解：（1）由题意可知y=5x+30；

（2）根据题意可得（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30）=6300， 即x2﹣60x+864=0，

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解得：x=24或36（舍）

∴在这30天内，第24天的利润是6300元．

（3）根据题意可得：w=（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30）， =﹣5x2+300x+1980， =﹣5（x﹣30）2+6480， ∵a=﹣5＜0， ∴函数有最大值，

∴当x=30时，w有最大值为6480元， ∴第30天的利润最大，最大利润是6480元．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．

11．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y=a（x﹣4）2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m． （1）当a=﹣

时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．

（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为

m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．

【分析】（1）①将点P（0，1）代入y=﹣时，y的值，与1.55比较即可得出判断； （2）将（0，1）、（7，

（x﹣4）2+h即可求得h；②求出x=5

）代入y=a（x﹣4）2+h代入即可求得a、h．

时，y=﹣

（x﹣4）2+h，

【解答】解：（1）①当a=﹣

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14．今年是“精准扶贫”攻坚关键年，某扶贫工作队为对口扶贫村引进建立了一村集体企业，并无偿提供一笔无息贷款作为启动资金，双方约定：①企业生产出的产品全部由扶贫工作队及时联系商家收购；②企业从生产销售的利润中，要保证按时发放工人每月最低工资32000元．已知该企业生产的产品成本为20元/件，月生产量y（千件）与出厂价x（元）（25≤x≤50）的函数关系可用图中的线段AB和BC表示，其中AB的解析式为y=﹣

x+m（m为常数）．

（1）求该企业月生产量y（千件）与出厂价x（元）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

（2）当该企业生产出的产品出厂价定为多少元时，月利润W（元）最大？最大利润是多少？[月利润=（出厂价﹣成本）×月生产量﹣工人月最低工资]．

【分析】（1）把（40，3）代入y=﹣x+m得3=﹣×40+m，求得y=﹣x+5

（25≤x≤40），设BC的解析式为：y=kx+b，把（40，3），（50，2）代入y=kx+b得到y=﹣

x+7（40＜x≤50）；

（2）设该企业生产出的产品出厂价定为x元时，根据题意列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）把（40，3）代入y=﹣∴m=5， ∴y=﹣

x+5（25≤x≤40），

x+m得3=﹣

×40+m，

设BC的解析式为：y=kx+b，

把（40，3），（50，2）代入y=kx+b得解得∴y=﹣

，

x+7（40＜x≤50）．

，

第36页（共80页）

综上所述：y=；

（2）设该企业生产出的产品出厂价定为x元时，月利润W（元）最大， 根据题意得W=1000[（﹣（x﹣60）2+48000；

当25≤x≤40时，W=1000[（﹣值28000元；

当40≤x≤50时，W=1000[（﹣值30500元．

【点评】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．

15．交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征．其中流量q（辆/小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度v（千米/小时）指通过道路指定断面的车辆速度；密度k（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．

为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间关系的部分数据如下表： 速度v（千米/小时） … 流量q（辆/小时） … 5 550 10 1000 20 1600 32 1792 40 48 … … x+7）（x﹣20）﹣32]，当x=45时，W有最大x+5）（x﹣20）﹣32]，当x=40时，W有最大x+5）（x﹣20）﹣32]=1000[﹣

x2+6x﹣132]=﹣50

1601150 2 （1）根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q，v关系最准确的是 ③ （只填上正确答案的序号） ①q=90v+100；②q=

；③q=﹣2v2+120v．

（2）请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？

（3）已知q，v，k满足q=vk，请结合（1）中选取的函数关系式继续解决下列问题．

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①市交通运行监控平台显示，当12≤v＜18时道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度k在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵；

②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d（米）均相等，求流量q最大时d的值．

【分析】（1）利用函数的增减性即可判断；

（2）利用配方法，根据二次函数的性质即可解决问题； （3）①求出v=12或18时，定义的k的值即可解决问题； ②由题意流量q最大时d的值=流量q最大时k的值；

【解答】解：（1）函数①q=90v+100，q随v的增大而增大，显然不符合题意． 函数②q=

q随v的增大而减小，显然不符合题意．

故刻画q，v关系最准确的是③． 故答案为③．

（2）∵q=﹣2v2+120v=﹣2（v﹣30）2+1800， ∵﹣2＜0，

∴v=30时，q达到最大值，q的最大值为1800．

（3）①当v=12时，q=1152，此时k=96， 当v=18时，q=1512，此时k=84， ∴84＜k≤96．

②当v=30时，q=1800，此时k=60，

∵在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d（米）均相等， ∴流量q最大时d的值为

=

m．

【点评】本题考查二次函数的应用、最值问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

16．青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨．下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：

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未入住房间数 日总收入（元） 淡季 10 24000 旺季 0 40000 （1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？

（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？

【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，进而求得该酒店豪华间的间数和旺季每间的价格；

（2）根据题意可以求得总收入和上涨价格之间的函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题．

【解答】解：（1）设淡季每间的价格为x元，酒店豪华间有y间，

，

解得，∴x+x=600+

，

=800，

答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元； （2）设该酒店豪华间的价格上涨x元，日总收入为y元， y=（800+x）（50﹣

）=

42025，

∴当x=225时，y取得最大值，此时y=42025，

答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是42025元．

【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．

17．铁岭“荷花节”举办了为期15天的“荷花美食”厨艺秀．小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元，由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，

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第x天（1≤x≤15且x为整数）时每盒成本为p元，已知p与x之间满足一次函数关系；第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，每天的销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示：

第x天 1≤x≤6 每天的销售量y/盒 （1）求p与x的函数关系式；

（2）若每天的销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时当天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？

（3）在“荷花美食”厨艺秀期间，共有多少天小张每天的销售利润不低于325元？请直接写出结果．

【分析】（1）设p=kx+b（k≠0），然后根据第3天和第7天的成本利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；

（2）根据销售利润=每盒的利润×盒数列出函数关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的最值问题求解；

（3）根据（2）的计算以及二次函数与一元二次方程的关系求解． 【解答】解：（1）设p=kx+b（k≠0），

∵第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元， ∴解得

， ，

10 x+6 6＜x≤15 所以，p=x+18；

（2）1≤x≤6时，w=10[50﹣（x+18）]=﹣10x+320， 6＜x≤15时，w=[50﹣（x+18）]（x+6）=﹣x2+26x+192， 所以，w与x的函数关系式为w=1≤x≤6时，∵﹣10＜0， ∴w随x的增大而减小，

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