北大附中2013届高三数学一轮复习单元综合测试：函数的应用

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北大附中2013届高三数学一轮复习单元综合测试：函数的应用

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

x

1．若函数f(x)的零点与g(x)＝4＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是( )

A．f(x)＝4x－1

2

B．f(x)＝(x－1)

x

C．f(x)＝e－1

1

D．f(x)＝ln?x－?

?2?

【答案】A

2．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为( ) A．2 800元 B．3 000元 C．3 800元 D．3 818元 【答案】C

3． 某同学在期中考试中，数学与英语成绩一好一差，为了提高英语成绩，他决定把大部分自主学习时间用于加强英语的学习，结果在后来的月考和期末考试中，英语成绩每次都比上次提高了10%，但数学成绩每次都比上次降低了10%，期末考试恰好两门功课的分值均为m分，则这名学生这两科的期末总成绩比期中 ( ) A． 降低了 B． 提高了 C． 不提不降 D． 是否提高与m的值有关 【答案】A

4．已知Ａ，Ｂ两地相距１５０千米，某人开汽车以６０千米／小时的速度从A地到达B地,在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地,把汽车离开A地的距离表示为时间t的函数,表达式是( ) A．ｘ＝６０ｔ

B．ｘ＝６０ｔ＋５０ｔ

?60t(0?t?2.5)?ｃ．ｘ＝?150(2.5?t?3.5)

?150?50(t?3.5)(3.5?t?6.5)??60t(0?t?2.5)?D．ｘ＝??150?50t(t?3.5)?【答案】Ｃ

5．如果二次函数y?x?mx?(m?3)有两个不同的零点，则m的取值范围是（ ）

A．??2,6? C．??2,6?

B．??2,6?

2D． ???,?2???6,???

【答案】D

6．函数f(x)＝lnx＋x－2的零点所在区间是( )

A．(0,1) B．(1,2)

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C．(2,3) 【答案】B

7．今有一组实验数据如表所示：

D．(3,4)

则最佳体现这些数据关系的函数模型是( )

t

A．u＝log2t B．u＝2－2

2

t－1

C．u＝ D．u＝2t－2

2

【答案】C

2

8．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝0.1x－11x＋3000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x等于( ) A．55台 B．120台 C．150台 D．180台 【答案】D

9．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林（ ）

A．14400亩

B．172800亩

C． 17280亩

D．20736亩

【答案】C

10．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那

么水瓶的形状是( )

【答案】B

11．下列函数零点不宜用二分法的是( ) 3A．f(x)＝x－8 B．f(x)＝lnx＋3 C．f(x)＝x＋22x＋2 D．f(x)＝－x＋4x＋1 【答案】C

12．函数f(x)＝2－x－2的一个零点所在区间是( )

A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 【答案】B

x22 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网

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第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”．碳14的“半衰期”是5 730年，即碳14大约每经过5 730年就衰变为原来的一半．科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14.动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变．死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14就按其确定的规律衰变．经探测，一块鱼化石中碳14的残留量约为原始含量的46.5%.设这群鱼是距探测时t年前死亡的，则t满足的等式为________，将t用自然对数式子中可．．．．的运算式子可以表示为______(只写出运算式子不需要计算出结果，以出现自然对数、实数之间的四则运算)．

1t5 730×ln 0.465

【答案】()＝0.465，t＝

25 730ln 0.5

14．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(x)＝1.06×(0.50×[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数，若通话费为10.6元，则通话时间m∈________. 【答案】(17,18]

32

15．若函数f(x)＝x＋x－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：

那么方程x＋x－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为________． 【答案】1.437 5 16．某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是________． 【答案】

117－1

32

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三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

2

17．已知二次函数f(x)=ax+bx+c

(1)若a>b>c，且f(1)=0，试证明f(x)必有两个零点； (2)若对x1,x2∈R,且x1

【答案】(1)∵f(1)=0，∴a+b+c=0, 又∵a>b>c,∴a>0,c<0,即ac<0.

又∵Δ=b-4ac≥-4ac>0，∴方程ax+bx+c=0有两个不等实根，所以函数f(x)有两个零点. (2)令g(x)=f(x)-

2

2

12［f(x1)+f(x2)］有两个不等实根，证明

12［f(x1)+f(x2)］,

则g(x1)=f(x1)-

12［f(x1)+f(x2)］=

f?x1??f?x2?2,

g(x2)=f(x2)-

12［f(x1)+f(x2)］=

f?x2??f?x1?2,

∴g(x1)·g(x2)= f?x1??f?x2?f?x2??f?x1?12???［f?x1??f?x2?］,?f?x1??f?x2?,

224∴g(x1)·g(x2)<0,∴g(x)=0在(x1，x2)内必有一实根， 即f(x)=

［f(x1)+f(x2)］在(x1,x2)内必有一实根. 218．某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：进入21世纪以来，前8年在正常情况下，该产品产量将平衡增长．已知2000年为第一年，头4年年产量f(x)(万件)如表所示：

1 (1)画出2000～2003年该企业年产量的散点图； (2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量发展变化的函数模型，并求之． (3)2006年(即x＝7)因受到某外国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2006年的年产量应该约为多少？ 【答案】(1)散点图如图： (2)设f(x)＝ax＋b.由已知得?

?a＋b＝4

?3a＋b＝7

，

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35

解得a＝，b＝，

2235

∴f(x)＝x＋．

22

检验：f(2)＝5.5，|5.58－5.5|＝0.08<0.1； f(4)＝8.5，|8.44－8.5|＝0.06<0.1.

35

∴模型f(x)＝x＋能基本反映产量变化．

2235

(3)f(7)＝×7＋＝13，

22

由题意知，2006年的年产量约为13×70%＝9.1(万件)，即2006年的年产量应约为9.1万件． 19．某厂生产某种零件，每个零件的成本为４０元，出厂单价６０元，该厂为鼓励销售商订购。决定当一次订购超过１００个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低０．０２元，但实际出厂价不低于５１元．

(１）当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价降为５１元？

(２）当一次订购量为ｘ个，零件的实际出厂单价为ｐ元，写出函数ｐ＝ｆ（ｘ）的表达式． (３）当销售商一次订购５００个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购１０００个，利润又是多少？

【答案】（１）设每个零件的实际出厂价恰好降为５１元时，一次定购量为００＋

x0个，则

x0＝１

60?510.02＝５５０个 因此，当一次定购量为５５０个，每个零件的实际出厂价恰好降为５１元． (２）当０＜ｘ?１００时，ｐ＝６０， 当１００＜ｘ＜５５０时，ｐ＝６０－０．０２（ｘ－１００）＝６２－当ｘ?５５０时，ｐ＝５１． x50

?60(0?x?100)?x?(100?x?550)(x?N) ?ｐ＝ｆ（ｘ）＝?62?50???51(x?550)(３）设销售商的一次定购量为ｘ个时，工厂获得利润为Ｌ元，

?20x(0?x?100)?2?则ｌ＝（ｐ－４０）ｘ＝?22?x(100?x?550)(x?N)

50??11x?x?550??当Ｘ＝５５０时，Ｌ＝６０００；当Ｘ＝１０００时，Ｌ＝１１０００．

因此，当销售商的一次定购５００个零件时，该厂获得的利润是６０００元；如果订购１０００个，利润是１１０００元．

20．某公司拟投资100万元，有两种获利的可能可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5

年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息，哪一种投资更有利？5年后，这种投资比另一种投资可多得利息多少元？(注：单利是指当年的本金转为下一年初的本金，复利是指当年的本金和利息转为下一年初的本金)． 5

(1.09≈1.538 6)

【答案】∵本金为100万元，按单利计算时，

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年利率为10%， 5年后的本利和为

100(1＋10%×5)＝150(万元)，

按复利计算，年利率为9%,5年后的本利和为

55

100(1＋9%)＝100×1.09≈153.86(万元)． 由此可见，按年利率9%的复利计算投资要比年利率10%的单利计算更有利，5年后多得利息3.86万元．

21．某地西红柿从2月1号起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(距2月1日的天数，单位：天)的数据如下表：

(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at＋bt＋c，Q＝a·b，Q＝a·logb t；

(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本Q最低时的上市天数及最低种植成本．

【答案】(1)根据表中数据，表述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数决不是单调函数，这与函数Q＝at＋b，Q＝a·b，Q＝a·logb t均具有单调性不符，所以，在a≠0的前提下，可选取二次函数Q＝at＋bt＋c进行描述． 把表格提供的三对数据代入该解析式得到：

2

t

2

t

解得a＝1200，b＝－32，c＝120042522．

324252所以，西红柿种植成本Q与上市时间t的函数关系是Q＝－32120032t－t＋．

(2)当t＝－

2?＝150天时，西红柿种植成本Q最低为 Q＝

1200×150－2×150＋4252＝100(元/100 kg)． 22．如图,建立平面直角坐标系xoy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y?kx?120(1?k)x(k?0)表示的曲线上,其中

22k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

(1)求炮的最大射程;

(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,

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炮弹可以击中它?请说明理由. 【答案】(1)在y?kx?120(1?k)x(k?0)中,令y?0,得kx?22120(1?k)x=0.

22由实际意义和题设条件知x>0，k>0. ∴x=20k1?k2=201k?k?202=10,当且仅当k=1时取等号.

∴炮的最大射程是10千米.

(2)∵a>0,∴炮弹可以击中目标等价于存在k?0,使ka?即关于k的方程a2k2?20ak?a2?64=0有正根. 由?=??20a??4a2a2?64?0得a?6.

20a?2120(1?k)a=3.2成立,

22??此时,k=??20a?2?4a22?a2?64?2a>0(不考虑另一根).

∴当a不超过6千米时,炮弹可以击中目标.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1awr.html