小升初数学培优讲义全46讲—第08讲 数论专题(二)

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第8讲数论专题（二）

因数、倍数与数的奇偶性

知识梳理

因数、倍数：如果数A能被数B整除（B不为零），A就叫做B的倍数，B就叫做A的约数（或因数、因子），倍数和约数是相互依存的.

公因数：几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，一个数的约数的个数是有限的，其中最小的是1，最大的是它本身，例如在2、4、6中，2就是2，4，6的最大公约数.

公倍数：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，一个数的倍数是无限的，几个数的公倍数也是无限的.

所有的整数被分成奇数和偶数，奇数偶数的一些性质是很明显的；

奇数+奇数=偶数偶数+偶数=偶数

奇数+偶数=奇数奇数×奇数=奇数

偶数×偶数=偶数奇数×偶数=偶数

如果整数a和b同为奇数或同为偶数，我们就说a和b有相同的奇偶性，巧妙地利用奇偶性，可以解决许多有趣的问题.

课前热身

1. 求下列各组数的最大公因数：

12，15，30 30，24，42

48，32，56 30，20.，27

2. 求下列各组数的最小公倍数：

2，4，6 12，15，30

3，7，13 16，24，56

3. 325×472×765×895末尾有多少个零？

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4. 一个长方形操场的长为60米，宽为42米，学校为了开运动会，要分配旗手站在操场的外围，要求4个角上要站有旗手且每个旗手之间的距离要相等，那么每个旗手之间的距离要取多长才能使需要的旗手最少？

5. 两个数的最大公约数是3，最小公倍数是30，其中的一个数是6，那么另外一个数是多少？

典例精析

类型一：最大公因数

【例1】有三根长绳，分别长24米、60米和42米，现在要把这些长绳截成尽可能长而又相等的小段，请问能截成多少段？

【变式1.1】新思潮学校初一（1）（2）（3）班分别有人数42，48，60人，年级组要求在各个班分学习小组，要求整个年级分得的每个小组人数要相同，请问每个学习小组最多能有多少个人？

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【变式1.2】有三根铁丝，分别长3米、4.44米和5.16米，把它们截成同样长且尽可能长的整厘米小段（不许剩余），每小段折成1个小正方形，然后将这些小正方形混放在一起拼成一个长方形（每拼一次都必须全部用上这些小正方形），这样可能拼成的长方形有几种？

类型二：最小公倍数

【例2】一个圆形球场的周长是60米，从圆周的某一点开始，沿着圆周每隔16米取一点，直到与原始点重合为止，圆周上共取了多少个点？

【变式2.1】甲每三个星期理发一次，乙每27天理发一次，已知4月1日甲理发，4月7日乙理发，那么他们以后在同一天理发的最近日期是几月几号？

【变式2.2】电力部门要在一条新开的马路一边安装电线杆，在432米的路边每隔24米挖了一个坑，后来又重新设计，改为每隔36米竖一根电线杆，请你算一算，有多少个坑可以保留，要重新挖多少个坑？

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类型三：末尾“0”模型

【例3】325×472×765×895×A的积的最后六位都是“0”，那么A最小是多少？

【变式3】1×2×3×4×…×50得到的数，末尾有几个零？

类型四：利用最大公因数和最小公倍数求自然数

【例4】两个自然数的最大公因数是6，最小公倍数是72，已知其中一个自然数是18，求另一个自然数.

【变式4.1】两个自然数的最大公因数是7，最小公倍数是210，这两个自然数的和是77，求这两个自然数.

【变式4.2】老师在黑板上写下三个数108，396，A，让同学们求他们的最小公倍数，小马虎误将108当作180进行计算，结果竟与正确答案一致，问A最小等于几？

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5 类型五：含分数的最大公约数

【例5】求5525,2,6

689的最大公约数.

【变式5.1】有甲乙丙三种溶液，分别重146千克，334千克，229

千克，现在要将它们全部分别装在小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同，请问每瓶最多装多少千克？

【变式5.2】狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳26

9米，黄鼠狼每次跳3610米，它们每次都只跳一次，比赛途中，从起点开始，每隔13

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米设有一个陷阱，它们之中谁先掉入陷阱？它掉入陷阱中另一个跳了多远？

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类型六：奇数与偶数

【例6】袋中放有51个白球和100个黑球，小明每次从中任意摸两个球放在外面，如果是同色球，小明就放一个黑球到袋中，如果是异色球则将白色球放回，小明从袋中摸了149次后，袋中还剩几个球？它们是什么颜色？

【变式6.1】一次数学考试共有30题，规定答对一题得5分，答错一题扣1分，未答题得一分，请说明：该班同学得分总和一定是偶数.

【变式6.2】A、B、C、D、E、F、G七盏灯各自装有一个拉线开关，开始B、D、F亮着，一个小朋友按从A到G，再从A到G的顺序依次拉开关，一共拉了2000次，这时亮着的灯是多少盏灯？

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课后练习

A. 夯实基础

1. （1）求下列各组数的最大公因数.

10，12，15 84，64，36 24，42，60

（2）求下列各组数的最小公倍数.

10，12，15 20，32，18 24，42，60

2. 环卫部门计划在路边隔6米栽一棵树，他们先在每个要栽树的位置做了一个记号，连两端共做了21个记号；后来发现两棵树之间的距离过大，要改成每隔4米栽1棵，还需要新做多少个记号？

3. 975×935×932×（），要使这个乘积的最后四位数字都是0，括号里最小应该填什么数？

4. 两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72，满足条件的自然数有哪几组？

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B. 能力拓展

5. 排练团体操时，要求队伍变成10行、15行、18行、24行时，队形都能成为长方形，问最少需要多少人参加团体操的排练？

6. 从运动场一端到另一端全长96米，每隔4米插一面红旗，现在改成每隔6米插一面红旗，问有多少面红旗不必拔出来？

7. 已知两个自然数的差为2，他们的最大公约数与最小公倍数之和为86，求这两个自然数.

8. 某班学生毕业后相约彼此通信，每两个人之间的通信量相等，即甲给乙写几封信，乙也要给甲写几封信，问：写了奇数封信的毕业生人数是奇数还是偶数.

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9 C. 综合创新

9. 4117b a =?，b a ,都是自然数，求a 的最小值.

10. 三条圆形跑道，圆心都在操场中心的旗杆处，甲、乙、丙三人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向开始跑步，开始时三个人都在旗杆的正东方向，里圈、中圈、外圈跑道分别长15千米、14

千米、38千米，甲、乙、丙三人的速度每小时分别为3千米、4千米、5千米，问三人同时出发后，经过几小时第一次同时回到出发点？

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