高考数学 高考必会题型 专题7 解析几何 第34练 圆锥曲线中的探索

第34练 圆锥曲线中的探索性问题

题型一 定值、定点问题

x2y21

例1 已知椭圆C：a2＋b2＝1经过点(0，3)，离心率为2，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点． (1)求椭圆C的方程；

→→→→

(2)若直线l交y轴于点M，且MA＝λAF，MB＝μBF，当直线l的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，请说明理由． 破题切入点 (1)待定系数法．

(2)通过直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y后可得点A，B的横坐标的关系式，→→→→

然后根据向量关系式MA＝λAF，MB＝μBF.把λ，μ用点A，B的横坐标表示出来，只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k无关即证明了其为定值，否则就不是定值． c1

解 (1)依题意得b＝3，e＝a＝2，a2＝b2＋c2， x2y2

∴a＝2，c＝1，∴椭圆C的方程为4＋3＝1. (2)因直线l与y轴相交于点M，故斜率存在， 又F坐标为(1,0)，设直线l方程为

y＝k(x－1)，求得l与y轴交于M(0，－k)， 设l交椭圆A(x1，y1)，B(x2，y2)， y＝k?x－1?，??

由?x2y2

＋＝1，??43

消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 4k2－128k2∴x1＋x2＝，x1x2＝，

3＋4k23＋4k2

→→

又由MA＝λAF，∴(x1，y1＋k)＝λ(1－x1，－y1)， x1x2

∴λ＝，同理μ＝，

1－x11－x2

x1＋x2－2x1x2x1x2∴λ＋μ＝＋＝

1－x11－x21－?x1＋x2?＋x1x22?4k2－12?8k2－3＋4k23＋4k28＝＝－3.

4k2－128k2

1－＋

3＋4k23＋4k2

8

所以当直线l的倾斜角变化时，直线λ＋μ的值为定值－3.

- 1 -

题型二 定直线问题

例2 在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2＝2py(p>0)相交于A，B两点．

(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值； (2)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．

破题切入点 假设符合条件的直线存在，求出弦长，利用变量的系数恒为零求解． 解 方法一 (1)依题意，点N的坐标为N(0，－p)， 可设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线AB的方程为y＝kx＋p，

??x2＝2py，

与x2＝2py联立得?

?y＝kx＋p.?

消去y得x2－2pkx－2p2＝0.

由根与系数的关系得x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p2. 1

于是S△ABN＝S△BCN＋S△ACN＝2·2p|x1－x2|

＝p|x1－x2|＝p?x1＋x2?2－4x1x2 ＝p4p2k2＋8p2＝2p2k2＋2， ∴当k＝0时，(S△ABN)min＝22p2.

(2)假设满足条件的直线l存在，其方程为y＝a，

AC的中点为O′，l与以AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H， x1y1＋p

则O′H⊥PQ，Q′点的坐标为(2，2)． 111

∵O′P＝2AC＝2x21＋?y1－p?2＝2y21＋p2，

?y1＋p?＝1|2a－y1－p|， O′H＝a－2

??2

∴PH2＝O′P2－O′H2 11＝4(y21＋p2)－4(2a－y1－p)2 p

＝(a－2)y1＋a(p－a)，

p

∴PQ2＝(2PH)2＝4[(a－2)y1＋a(p－a)]． pp令a－2＝0，得a＝2，

此时PQ＝p为定值，故满足条件的直线l存在，

- 2 -

p

其方程为y＝2，即抛物线的通径所在的直线． 方法二 (1)前同方法一，再由弦长公式得

AB＝1＋k2|x1－x2|

＝1＋k2·?x1＋x2?2－4x1x2 ＝1＋k2·4p2k2＋8p2 ＝2p1＋k2·k2＋2， 又由点到直线的距离公式得d＝1

从而S△ABN＝2·d·AB 1＝2·2p1＋k2·k2＋2·

2p1＋k2

2p1＋k2

.

＝2p2k2＋2.

∴当k＝0时，(S△ABN)min＝22p2.

(2)假设满足条件的直线l存在，其方程为y＝a， 则以AC为直径的圆的方程为

(x－0)(x－x1)－(y－p)(y－y1)＝0，

将直线方程y＝a代入得x2－x1x＋(a－p)(a－y1)＝0， 则Δ＝x21－4(a－p)(a－y1) p

＝4[(a－2)y1＋a(p－a)]．

设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x3，y3)，Q(x4，y4)， 则有PQ＝|x3－x4|＝ ＝2

p

4[?a－2?y1＋a?p－a?]

p

?a－2?y1＋a?p－a?.

pp令a－2＝0，得a＝2，

此时PQ＝p为定值，故满足条件的直线l存在， p

其方程为y＝2，即抛物线的通径所在的直线． 题型三 定圆问题

3

例3 已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为2，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12，圆Ck：x2＋y2＋2kx－4y－21＝0(k∈R)的圆心为点Ak.

(1)求椭圆G的方程；

- 3 -

(2)求△AkF1F2的面积；

(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G？请说明理由． 破题切入点 (1)根据定义，待定系数法求方程． (2)直接求．

(3)关键看长轴两端点．

2a＝12，???a＝6，x2y2

解 (1)设椭圆G的方程为a2＋b2＝1(a>b>0)，半焦距为c，则?c解得? 3

c＝33，?＝，??a2

所以b2＝a2－c2＝36－27＝9. x2y2

所以所求椭圆G的方程为36＋9＝1. (2)点Ak的坐标为(－k,2)，

11

S△AkF1F2＝2×|F1F2|×2＝2×63×2＝63.

(3)若k≥0，由62＋02＋12k－0－21＝15＋12k>0，可知点(6,0)在圆Ck外； 若k<0，由(－6)2＋02－12k－0－21＝15－12k>0，可知点(－6,0)在圆Ck外． 所以不论k为何值，圆Ck都不能包围椭圆G. 即不存在圆Ck包围椭圆G.

总结提高 (1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的． (2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)． (3)定直线问题一般都为特殊直线x＝x0或y＝y0型．

x2

1．在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆2＋y2＝1有两个不同的交点P和Q. (1)求k的取值范围；

→→

(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量OP＋OQ与→

AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由． 解 (1)由已知条件，得直线l的方程为y＝kx＋2，

x2

代入椭圆方程得2＋(kx＋2)2＝1. 1

整理得(2＋k2)x2＋22kx＋1＝0.①

1

直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4(2＋k2)＝4k2－2>0， 22

解得k<－2或k>2. - 4 -

22

即k的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)． (2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， →→

则OP＋OQ＝(x1＋x2，y1＋y2)， 42k

由方程①，得x1＋x2＝－.②

1＋2k2又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋22.③ →

而A(2，0)，B(0,1)，AB＝(－2，1)．

→→→

所以OP＋OQ与AB共线等价于x1＋x2＝－2(y1＋y2)， 2

将②③代入上式，解得k＝2. 22

由(1)知k<－2或k>2， 故不存在符合题意的常数k.

y2

2．已知双曲线方程为x2－2＝1，问：是否存在过点M(1,1)的直线l，使得直线与双曲线交于P、Q两点，且M是线段PQ的中点？如果存在，求出直线的方程，如果不存在，请说明理由． 解 显然x＝1不满足条件，设l：y－1＝k(x－1)． y2

联立y－1＝k(x－1)和x2－2＝1，

消去y得(2－k2)x2＋(2k2－2k)x－k2＋2k－3＝0， 2?k－k2?3

由Δ>0，得k<2，x1＋x2＝，

2－k2

x1＋x2k－k2

由M(1,1)为PQ的中点，得2＝＝1，

2－k23

解得k＝2，这与k<2矛盾， 所以不存在满足条件的直线l.

x2y2

3．设椭圆E：a2＋b2＝1(a，b>0)过M(2，2)，N(6，1)两点，O为坐标原点． (1)求椭圆E的方程；

→

(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA⊥→

OB？若存在，写出该圆的方程，并求AB的取值范围；若不存在，请说明理由． x2y2

解 (1)因为椭圆E：a2＋b2＝1(a，b>0)过M(2，2)，N(6，1)两点，

- 5 -

?a2＋b2＝1，所以?61

?a2＋b2＝1，

42

?a2＝8，解得?11

?b2＝4，

11

??a2＝8，x2y2所以?椭圆E的方程为8＋4＝1.

??b2＝4，

→(2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA⊥y＝kx＋m，??→

OB，设该圆的切线方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，解方程组?x2y2得x2＋

＋＝1??842(kx＋m)2＝8，

即(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，

则Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝8(8k2－m2＋4)>0，即8k2－m2＋4>0.

??故?2m2－8

x1x2＝，??1＋2k2

＝＝

4kmx1＋x2＝－，

1＋2k2

y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2 k2?2m2－8?4k2m2

－＋m2

1＋2k21＋2k2m2－8k2

. 1＋2k2

→→

要使OA⊥OB，需使x1x2＋y1y2＝0， 即

2m2－8m2－8k2

＋＝0，

1＋2k21＋2k2

所以3m2－8k2－8＝0， 3m2－8所以k2＝8≥0.

??m2>2，8

又8k2－m2＋4>0，所以?所以m2≥3，

?3m2≥8，?

2626

即m≥3或m≤－3，

因为直线y＝kx＋m为圆心在原点的圆的一条切线，

|m|

所以圆的半径为r＝，

1＋k2

- 6 -

m2r2＝＝1＋k2

m2826

＝3，r＝3，

3m2－81＋8

8

所求的圆为x2＋y2＝3，

2626

此时圆的切线y＝kx＋m都满足m≥3或m≤－3，

26x2y22626

而当切线的斜率不存在时切线为x＝±3与椭圆8＋4＝1的两个交点为(3，±3)或(－26268→→

，±)满足OA⊥OB，综上，存在圆心在原点的圆x2＋y2＝333，使得该圆的任意一条切线→→与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB.

x2y2

4．(2014·重庆)如图，设椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点D在椭圆上，F1F22DF1⊥F1F2，DF1＝22，△DF1F2的面积为2.

(1)求该椭圆的标准方程．

(2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由． 解 (1)设F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2. F1F2F1F22由DF1＝22，得DF1＝＝2c，

22

122

从而S△DF1F2＝2DF1·F1F2＝2c2＝2，故c＝1， 2从而DF1＝2. 9

由DF1⊥F1F2，得DF22＝DF21＋F1F22＝2， 32因此DF2＝2. 所以2a＝DF1＋DF2＝22， 故a＝2，b2＝a2－c2＝1.

x2

因此，所求椭圆的标准方程为2＋y2＝1.

x2

(2)如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆2＋y2＝1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y1>0，y2>0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2.

- 7 -

由圆和椭圆的对称性，易知，x2＝－x1，y1＝y2. 由(1)知F1(－1,0)，F2(1,0)，

→→

所以F1P1＝(x1＋1，y1)，F2P2＝(－x1－1，y1)， 再由F1P1⊥F2P2，得－(x1＋1)2＋y21＝0.

x21

由椭圆方程得1－2＝(x1＋1)2，即3x21＋4x1＝0， 4

解得x1＝－3或x1＝0.

当x1＝0时，P1，P2重合，题设要求的圆不存在．

4

当x1＝－3时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C. 设C(0，y0)，

y1－y0y1

由CP1⊥F1P1，得x1·＝－1.

x1＋115

而求得y1＝3，故y0＝3. 圆C的半径CP1＝

41542?－3?2＋?3－3?2＝3.

综上，存在满足题设条件的圆， 532

其方程为x2＋(y－3)2＝9.

5．(2014·江西)如图，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)． (1)证明：动点D在定直线上；

(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：MN22－MN21为定值，并求此定值． (1)证明 依题意可设AB方程为y＝kx＋2， 代入x2＝4y，

得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8.

- 8 -

y1

直线AO的方程为y＝x1x； BD的方程为x＝x2.

x＝x2，??

解得交点D的坐标为?y1x2

y＝，?x1?注意到x1x2＝－8及x21＝4y1， y1x1x2－8y1

则有y＝x21＝4y1＝－2.

因此动点D在定直线y＝－2上(x≠0)．

(2)解 依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y得x2＝4(ax＋b)， 即x2－4ax－4b＝0.

由Δ＝0得(4a)2＋16b＝0，化简整理得b＝－a2. 故切线l的方程可写为y＝ax－a2.

分别令y＝2，y＝－2得N1，N2的坐标为 22

N1(a＋a,2)，N2(－a＋a，－2)，

22

则MN22－MN21＝(a－a)2＋42－(a＋a)2＝8，

即MN22－MN21为定值8. 6．(2014·福建)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y＝－3的距离小2. (1)求曲线Γ的方程．

(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y＝3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论． 解 方法一 (1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点， 依题意，点S到F(0,1)的距离与它到直线y＝－1的距离相等，所以曲线Γ是以点F(0,1)为焦点、直线y＝－1为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为x2＝4y. (2)当点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变．证明如下：

1

由(1)知抛物线Γ的方程为y＝4x2， 1

设P(x0，y0)(x0≠0)，则y0＝4x20， 1

由y′＝2x，得切线l的斜率 1

k＝y′|x＝x0＝2x0，

- 9 -

1

所以切线l的方程为y－y0＝2x0(x－x0)， 11即y＝2x0x－4x20.

11??y＝2x0x－4x20，1由?得A(2x0,0)． ??y＝0，11??y＝2x0x－4x20，16由?得M(2x0＋x0，3)． ??y＝3，13

又N(0,3)，所以圆心C(4x0＋x0，3)， 113

半径r＝2MN＝|4x0＋x0|， AB＝AC2－r2 ＝

11313

[2x0－?4x0＋x0?]2＋32－?4x0＋x0?2＝6.

所以点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变． 方法二 (1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，

则|y－(－3)|－?x－0?2＋?y－1?2＝2，

依题意，点S(x，y)只能在直线y＝－3的上方，所以y>－3，所以?x－0?2＋?y－1?2＝y＋1， 化简，得曲线Γ的方程为x2＝4y. (2)同方法一．

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