成都理工大学复变函数模拟考试题一及参考答案

成都理工大学

《复变函数》模拟考试试题（一）附参考答案

大 题 一 二 三 四 总 分 得 分 一 填空题(每题4分，共5题20分) 1 z?1?i2，则z2010? i 。

2 三角形三个顶点复数为z11,z2,z3，则重心处的复数是3(z1?z2?z3)。3 函数w?|z|2的奇点是 全体复数（任意复数） 。 4

e1??i= -e 。

5 |z|=1，化简z?1z= 0 。 二 计算题(每题6分，共4题24分)

6 求Ln(1+3i) 的全体值。

解：原式=ln2?iArg(1?3i)···················3分 =ln2?i(2k???3)·····················3分

7 求(1?i)i的全体值。

解：原式=eiLn(1?i)

i(ln2?i(2k???=

e4))····························3分

1

=e?(2k???4)eiln2

=

e?(2k???4)[cosln2?isinln2]·············3分

8 计算

??0zsinzdz。

解：原式=????0zdcosz ············3分

=?zcosz|0???0coszdz

=? ·············3分

9 计算?Cdz， C：z?a?a的正向。 22z?a111(?)dz，C内只包围奇点a, ····3分 2a?z?az?aC解： 原式=

==

11()dz ?2aCz?a2?i?i =··········································3分

a2a

三 解答题(每题6分，共4题24分)

10 u(x,y)=y3?3x2y，求函数v(x,y)，使u(x,y)+iv(x,y)是解析函数。

解：由C-R方程，ux?vy??6xy，?uy?vx?3x2?3y2····3分 由vx?3x2?3y2，得v?x3?3y2x??(y) 由vy??6xy， vy??6xy??'(y)

2

?'(y）=0，所以?'(y）=C。

····································3分 v?x3?3y2x?C·

11 求级数

nn(1?i)(z?i)的收敛域。 ?n?0?解： limcn?12?|1?i|?2，半径R=.·············3分

n??c2n圆心为?i。 收敛域 |z?i|?

12 求映射w?z2 在z=i处的伸缩率和转动角。

解：w'z?2z, w'z(i)?2i·························3分

|2i|?2, arg(2i)??。 伸缩率为2，转动角

2·······························3分 2?。·······3分 2

13 在映射w=(1+i)z 下，z平面上的图形 |z-i|<1被映射成w平面上的什么图形。

解：共轭表示以实轴为对称轴上下翻，映射为|z+i|<1·····3分

1?i?2e的圆。

圆心是

i?4?，乘以(1+i)表示旋转4，再以原点为基准向外膨胀为2倍

22?i，膨胀到1-i。半径从1膨胀到2。 22最后图形是|w- (1-i)|<

····························3分 2。

3

四 计算题(每题8分，共4题32分)

14 计算?zdz，L是连接(0,0)与(?，0)的曲线y?sinx，(0,0)为起点。

L解：原式=?(x?iy)d(x?iy)··············定义2分

L=?xdx?L??0ydy?i?ydx?i?xdy)·····展开2分

sinxdx?i??=

?22?0?i?0xdsinx·············代路径2分

?2=·······································分部积分2分 2

15 把函数f(z)?解：原式=

1在区域 1<|z|<2 展开成洛朗级数。

(z2?1)(z?2)?1?2i1?1?2i111??····拆项2分

10z?i10z?i5z?211?其中

z?iz1?i??(?)n·····················2分 izn?0z1?z111?z?iz1?in??()···························2分 izn?0z1?z11?zn???()························2分 z2n?021?2111??z?22

z?116 判断函数2的所有有限奇点与无穷远奇点?的类型，并计算

z?2z每个奇点的留数。

4

解：有限奇点有z=0, z=2, 分别是一级极点。··············2分

因为limz??z?1?0，所以z=?是可去奇点。······2分 2z?2zz?1z?11,0]?lim??

z?0z?22z2?2zz?1z?13Res[2,2]?lim?`········两个有限奇点的留数2分

z?2z2z?2z留数定理2：

z?1z?1z?1Res[2,?]??Res[2,0]?Res[2,2]??1·····2分

z?2zz?2zz?2z

17 求将下半平面 Im(z)<0 映射成单位圆 |w-i|<2的分式线性映射。 Res[?)?0。 解：下半平面取任一复数?,Im(?映射到0， ?映射到?。

z??w?k， ·········································2分

z??当z=1,|w|=1,所以|k|=1.k?ei?

下半平面映射到单位圆内

z??w?ei?，··········································2分

z??扩大为半径为2的圆内

z??w?2ei?··········································2分

z??往上平移至圆心为i.

z??w?2ei?+i·········································2分

z??

5

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