8.9 曲线与方程- 生

2014年高考一轮复习“自主·互动”探究学案 内容：§8.9 曲线与方程 课时：4 编号：S3143 编写：孟凡志 王安拓 使用日期：2013-12-18 二、定义法求轨迹方程

aa

－，0?，C?，0?(a?0)，且满足条件sin C－sin B4、在△ABC中，A为动点，B、C为定点，B??2??2?1

＝sin A，则动点A的轨迹方程是_________________. 2

5、如图所示，已知C为圆(x＋2)2＋y2＝4的圆心，点A(2，0)，P是圆上的动→→→→

点，点Q在圆的半径CP上，且MQ·AP＝0，AP＝2AM.当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹方程是___________．

6、已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．

三、相关点法（代入法）求轨迹方程

→

7、已知长为1＋2的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点，且AP＝2→

PB.则点P的轨迹C的方程是____________． 2

8、如图所示，从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程．

四、参数法求轨迹方程

9、过定点A(a，b)任作互相垂直的两直线l1与l2，且l1与x轴交于点M，l2与y轴交于点N，如图所示，求线段MN的中点P的轨迹方程．

【基础练习】 1．(2011·湛江月考)已知动点P在曲线2x－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线中点的轨迹方程是( )

A．y＝2x2 B．y＝8x2 C．2y＝8x2－1 D．2y＝8x2＋1

2．一动圆与圆O：x2＋y2＝1外切，而与圆C：x2＋y2－6x＋8＝0内切，那么动圆的圆心P的轨迹是( )

A．双曲线的一支 B．椭圆 C．抛物线 D．圆

3．已知直线l的方程是f(x，y)＝0，点M(x0，y0)不在l上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的曲线是( )

A．直线l B．与l垂直的一条直线 C．与l平行的一条直线 D．与l平行的两条直线

→→

4．若M、N为两个定点且|MN|＝6，动点P满足PM·PN＝0，则P点的轨迹是( )

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

22

5．若曲线C1：x＋y－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是( )

3333

A．(－，) B．(－，0)∪(0，) 33333333

C．[－，] D．(－∞，－)∪(，＋∞)

3333

2

【典例剖析】

一、直接法求轨迹方程

→→→→

1、已知两点M(－2,0)、N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN||MP|＋MN·NP＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为______________．

2、如图所示，已知F(1，0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过点P作l的→→→→

垂线，垂足为点Q，且QP·QF＝FP·FQ.则动点P的轨迹C的方程是_____________． 3、动点P与两定点A(a,0)，B(－a,0)连线的斜率的乘积为k，试求点P的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线．

8.9 曲线与方程 1 / 3

【针对训练】

????1????2????????1．已知| AB|＝3，A、B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，OP＝OA＋OB，则动点P的

33

轨迹方程是 ( )

xyxy

A.＋y2＝1 B．x2＋＝1 C.＋y2＝1 D．x2＋＝1 44992．(2012·沈阳模拟)已知两个定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )

A．π B．4π C．8π D．9π

2

2

2

2

点．求动点P的轨迹C的方程．

11．已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. (1)求椭圆C的方程；

|OP|

(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，＝λ，求点M的轨迹方程，

|OM|并说明轨迹是什么曲线．

????????????3．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足 OC＝λ1 OA＋λ2 OB (O为原

点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是 ( )

A．直线 B．椭圆 C．圆 D．双曲线

4．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是 ( )

x2x2y2y2222

A．y－＝1(y≤－1) B．y－＝1(y≥1) C．x－＝1(x≤－1) D．x－＝1(x≥1)

48484848

2

5．给出以下方程：①2x＋y2＝0；②3x2＋5y2＝1；③3x2－5y2＝1；④|x|＋|y|＝2；⑤|x－y|＝2，则其对应的曲线可以放进一个足够大的圆内的方程的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

6．圆O：x2＋y2＝16，A(－2,0)，B(2,0)为两个定点．直线l是圆O的一条切线，若经过A、B两点的抛物线以直线l为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是 ( )

A．双曲线 B．椭圆 C．抛物线 D．圆 xy

7．直线＋＝1与x、y轴交点的中点的轨迹方程是____________．

a2－a

8．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是____． 9．(2011·北京高考)曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在1

曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.其中，所有正确结论的序号是____．

210．已知A、B分别是直线y＝

33

x和y＝－x上的两个动点，线段AB的长为23，P是AB的中33

x2y212．在平面直角坐标系xOy中，点P(a,b)(a?b?0)为动点，F1,F2分别为椭圆2?2?1的左

ab右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形． （1）求椭圆的离心率e；

（2）设直线PF2与椭圆相交于A,B两点，M是直线PF2上的点，满足AM?BM??2，求点M的轨迹方程．

??????????8.9 曲线与方程 2 / 3

【针对训练】（选做）

1、（2011湖北）平面内与两定点A1(?a,0)，A2(a,0)(a?0)连续的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线． （Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值得关系；

（Ⅱ）当m??1时，对应的曲线为C1；对给定的m?(?1,0)?(0,??)，对应的曲线为C2，设F1、

2、（2012江西）已知三点O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲线C上任意一点M（x，y）满足

MA?MB?OM?(OA?OB)?2.

（1）求曲线C的方程；

（2）动点Q（x0，y0）（-2＜x0＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l.问：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都相交，交点分别为D,E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值；若不存在，说明理由。

F2是C2的两个焦点。试问：在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面积S?|m|a2。若存在，

求tanF1NF2的值；若不存在，请说明理由。

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