《实变函数》作业参考答案

实变函数

《实变函数》作业参考答案

一．判断题

1．对； 2．错； 3．对；4．对； 5．错； 6．对； 7．错； 8．对； 9．对； 10.对； 11.对； 12.错。 二．

1．证明：(??I?A?)?B??(A??B).

??I证明：直接的用定义，证明左边包含右边，右边包含左边。 2．试找出使(0,1)和[0,1]之间一一对应的一种方法。 证明：令{x1,x2,x3,...}?(0,1)，做f(x)，使得

?1?f(x)??0?x?n?2其它处，f(x)?x. 三．证明题

x?x1x?x2， x?xn,n?21. 设fn(x)是E上几乎处处有限的可测函数列，mE??，而fn(x)几乎处处收敛于有限函数f(x)，则对任意的??0，存在常数c与可测集E0?E，m(E\\E0)??，使在E0上，对一切n，有|f(x)|?c。 证明：直接利用鲁津定理。

2. 证明：证明CG?{x|f(x)?a}是开集，事实上，对任意x?CG，则f(x)?a，由连续函数的局部保号性，存在??0，使得对一切的t?B(x,?)，有f(t)?a，即B(x,?)?CG，所以x是内点，从而

CG?{x|f(x)?a}是开集。

3. 设f(x)在E?[a,b]可积，则对任何??0，必存在E上的连续函数g(x)，使得

?证明：教材第121页例1。

ba|f(x)?g(x)|dx??

4. 设在E上fn(x)?f(x)，且fn(x)?g(x)几乎处处于E上成立，n?1,2,..., 试证f(x)?g(x)在E上几乎处处成立。

证明：利用黎次定理，由在E上fn(x)?f(x)，得到存在子列fni(x)使得limfni(x)?f(x)几乎处处

i成立，在利用控制性fn(x)?g(x)，所以f(x)?g(x)在E上几乎处处成立。

第 1 页 共 3 页

实变函数

5. 设E1,E2,...,En是[0,1]的n可测子集，假定[0,1]中的任一点至少属于这n个集合中的q个，证明：必有

q一个集，它的测度不小于

n证明：令f(x)?。

11??i?1nEi，则

?0f(x)dx?q，同时q??0f(x)dx?mE1?mE2?...?mEn,在利用反证

法，若对所有i?1,2,...,n，有mEi?q，则q?mE1?mE2?...?mEn?q，矛盾。 n1的构成区间上定义3n6.设在Cantor集P0上定义函数f(x)?0，而在P0的余集中长为

f(x)?n,(n?1,2,...)。试证f(x)在[0,1]上可积，并求出积分值。

证明：先说明函数的可积性（简单函数的极限），

?102nf(x)dx??nn?3.

3n?1?7.设在E上fn(x)?f(x)，且fn(x)?fn?1(x)几乎处处成立，n?1,2,..., 则几乎处处有fn(x)收敛于

f(x)。

证明：利用黎次定理，由在E上fn(x)?f(x)，得到存在子列fni(x)使得limfni(x)?f(x)几乎处处成

i立，在利用单调性fn(x)?fn?1(x)，所以几乎处处有fn(x)收敛于f(x)。

111123ln2?1????.... ?(1?x)?(x?x)?...，0?x?1，证明8. 试从

2341?x证明：先验证逐项积分的条件成立，所以

?11?dx2n2n?1ln2?????(x?x)dx???(x2n?x2n?1)dx01?x00n?0n?0111111??(?)?1????...2n234n?02n?1

?

dtlim?1.19.证明：n???(0,??) tnn(1?)tn证明：验证Lebesgue控制定理的条件成立，所以limn?dxdx??1. 1x??tnn0e(0,?)(1?n)t10．设mE?0，f(x)在E上可积。如果对于任何有界可测函数?(x)，都有

第 2 页 共 3 页

实变函数

???1证明：取?(x)????1Ef(x)?(x)dx?0,

证明：f(x)?0在E上几乎处处成立。

f(x)?0，则有?|f(x)|dx?0,所以|f(x)|?0在E上几乎处处成立，从而

Ef(x)?0f(x)?0在E上几乎处处成立。

11. 设{fn}为E上非负可积函数列，若

lim?fn(x)dx?0,

n??E证明：fn(x)?0。

证明：反证法，先写出fn(x)?0的否定定义，再证明结论成立。 12. 证明：

EExp1ln?01?xxdx?11,?2n?1(p?n)?(p??1)。

证明：利用

1?1?x?x2?...，验证逐项积分的条件成立，所以 1?xxp1ln?01?xxdx?1?10?xn?pnn?1??1dxx???n?1?10xn?pln1dx?x1?2n?1(p?n)

13．设E是直线上的一个有界集合，m*E?0，则对任意小于m*E的正数?，存在E的子集E1，使得

m*E1?c.

证明：令f(x)?m*(E?[a,x])，则f(x)连续单调，且f(a)?0.f(b)?m*E，由连续函数的介值性，存在x?[a,b]，使得对任意小于m*E的正数c，存在E的子集E1，使得f(x)?m*E1?c.

第 3 页 共 3 页

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/19pv.html