课时达标检测（三十一） 不等式的性质及一元二次不等式

第 1 页 共 6 页

课时达标检测（三十一） 不等式的性质及一元二次不等式

[小题对点练——点点落实]

对点练(一) 不等式的性质

a＋macc1

1．(2018·安徽合肥质检)下列三个不等式：①x＋x≥2(x≠0)；②ab>c>0)；③>

b＋mb(a，b，m>0且a

A．3 C．1

B．2 D．0

cc11

解析：选B 当x<0时，①不成立；由a>b>c>0得a

－＝，由a，b，m>0且a0恒成立，故③恒成立，所以选B. b＋mbb?b＋m?b＋mb

2．若a>b>0，cbd C．ad

B．acbc

解析：选B 根据c－d>0，由于a>b>0，故－ac>－bd，ac

A．若a<1，b<，则a>b

21

B．若a<1，b<，则a

21C．若a>1，b>，则a>b

21

D．若a>1，b>，则a

2

13

b－?2＋，对于A，取a＝－1，b＝0，a>b解析：选D 由题意知，a2＝b2－b＋1＝??2?4不成立；对于B，取a＝

571

，b＝，ab不成立；88

1

对于D，若a>1，则b2－b>0，又b>，得b>1,1－b<0，所以a2＝b2－b＋1

2选D.

14．若0

2A．a C．2ab

1B． 2D．a2＋b2

第 2 页 共 6 页

2

1212?a＋b?解析：选D 因为0＝，2ab＝2a(1－a)222

1111

a－?2＋<，所以a，，2ab，a2＋b2中最大的数为a2＋b2. ＝－2??2?222

5．(2018·山西康杰中学月考)设a>b>1，则下列不等式成立的是( ) A．aln b>bln a C．aeb

B．aln bbea

ln bln aln x解析：选C 观察A，B两项，实际上是在比较和的大小，引入函数y＝，

bax1－ln xln x

x>1.则y′＝，可见函数y＝在(1，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．函数2xxln x

y＝在(1，＋∞)上不单调，所以函数在x＝a和x＝b处的函数值无法比较大小．对于C，

xxex－ex?x－1?exexex

D两项，引入函数f(x)＝，x>1，则f′(x)＝＝>0，所以函数f(x)＝在(1，

xxx2x2eaeb

＋∞)上单调递增，又因为a>b>1，所以f(a)>f(b)，即a>b，所以aeb

6．已知函数f(x)＝ax＋b,0

??m－n＝2，1

解析：设2a－b＝mf(1)＋nf(－1)＝(m－n)·a＋(m＋n)b，则?解得m＝，

2?m＋n＝－1，?

313133

n＝－，∴2a－b＝f(1)－f(－1)，∵0

2222223351)<，则－<2a－b<. 222

35

－，? 答案：??22?

7．若a>b>0，给出以下几个不等式： a＋blg a＋lg bbb＋5

①a<；②lg<；

22a＋511

③a＋>b＋；④a－b>a－b.

ba

其中正确的是________．(请填写所有正确的序号)

b＋5b5?a－b?lg a＋lg ba＋b解析：因为a>b>0，所以－a＝>0，①正确；＝lg ab

b＋a?＝a－b＋②不正确；因为a＋b－?>0，所以③正确；(b＋a－b)＝a＋??ab2b?a－b?>a，所以④不正确．

答案：①③

对点练(二) 一元二次不等式

第 3 页 共 6 页

1．(2018·信阳一模)已知关于x的不等式x2－ax－6a2>0(a<0)的解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，且x2－x1＝52，则a＝( )

A．－5 C．－2

3

B．－

2D．－

5 2

解析：选C 关于x的不等式x2－ax－6a2>0(a<0)可化简为(x＋2a)(x－3a)>0，因为a<0，所以－2a>3a，所以解不等式得x>－2a或x<3a，所以x1＝3a，x2＝－2a.又x2－x1＝52，所以－5a＝52，所以a＝－2.

2．设实数a∈(1,2)，关于x的一元二次不等式x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0的解集为( )

A．(3a，a2＋2) C．(3,4)

B．(a2＋2,3a) D．(3,6)

解析：选B 由x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0，得(x－3a)·(x－a2－2)<0，∵a∈(1,2)，∴3a>a2＋2，∴关于x的一元二次不等式x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0的解集为(a2＋2,3a)．故选B.

3．(2018·河北石家庄二中月考)在R上定义运算☆：a☆b＝ab＋2a＋b，则满足x☆(x－2)<0的实数x的取值范围为( )

A．(0,2) B．(－2,1)

C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)

解析：选B 根据定义得x☆(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2<0，解得－2

4．(2018·河南洛阳诊断)若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5] 上有解，则a的取值范围是( )

23

－，＋∞? A.??5?C．(1，＋∞)

23

－，1? B．??5?23－∞，－? D．?5??

解析：选A 由Δ＝a2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x1x2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图象的示意图如图．所23

以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0，解得a>－，故选A.

5

5．(2018·重庆凤鸣山中学月考)若不存在整数x满足不等式(kx－k2－4)(x－4)<0，则实

第 4 页 共 6 页

数k的取值范围是________．

k＋4?

解析：容易判断k＝0或k<0时，均不符合题意，所以k>0.所以原不等式即为k?x－

k??k＋4k＋4?(x－4)<0，等价于?x－(x－4)<0，依题意应有3≤k≤5且k>0，所以1≤k≤4.

k??

答案：[1,4]

6．(2018·辽宁沈阳模拟)若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意x均成立，则实数m的取值范围是________．

解析：不等式等价于(m－2)x2＋2(m－2)x－4<0，

①当m＝2时，上式为－4<0，对任意的x，不等式都成立； ②当m－2<0时，Δ＝4(m－2)2＋16(m－2)<0，∴－2

[大题综合练——迁移贯通]

1．(2018·黑龙江虎林一中期中)已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)． (1)求f(x)的解析式；

(2)若对于任意的x∈[－1,1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范围． 解：(1)∵f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，

bc

∴0和5是方程2x2＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系知，－＝5，＝0，

22∴b＝－10，c＝0，f(x)＝2x2－10x.

(2)f(x)＋t≤2恒成立等价于2x2－10x＋t－2≤0恒成立， ∴2x2－10x＋t－2的最大值小于或等于0. 设g(x)＝2x2－10x＋t－2，

则由二次函数的图象可知g(x)＝2x2－10x＋t－2在区间[－1,1]上为减函数， ∴g(x)max＝g(－1)＝10＋t， ∴10＋t≤0，即t≤－10. ∴t的取值范围为(－∞，－10]．

2．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1的定义域为R. (1)求a的取值范围； (2)若函数f(x)的最小值为

2

，解关于x的不等式x2－x－a2－a＜0. 2

2

2

2

解：(1)∵函数f(x)＝ax2＋2ax＋1的定义域为R，

第 5 页 共 6 页

∴ ax2＋2ax＋1≥0恒成立， 当a＝0时，1≥0恒成立． 当a≠0时，需满足题意，

??a＞0，则需?解得0＜a≤1， 2

?Δ＝?2a?－4a≤0，?

综上可知，a的取值范围是[0,1]．

(2)f(x)＝ax2＋2ax＋1＝a?x＋1?2＋1－a， 由题意及(1)可知0＜a≤1， ∴当x＝－1时，f(x)min＝1－a， 由题意得，1－a＝

21

，∴a＝， 22

3

∴不等式x2－x－a2－a＜0可化为x2－x－＜0.

413

解得－＜x＜，

22

13

－，?. ∴不等式的解集为??22?

3．(2018·江西八校联考)已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R. f?x?

(1)若a＝2，试求函数y＝x(x>0)的最小值；

(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．

2

f?x?x－4x＋11

解：(1)依题意得y＝x＝＝x＋xx－4.

1因为x>0，所以x＋≥2.

x1

当且仅当x＝x时， 即x＝1时，等号成立． 所以y≥－2. 所以当x＝1时，y＝

f?x?

的最小值为－2. x

(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，

所以要使得“?x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”， 只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]恒成立”． 不妨设g(x)＝x2－2ax－1，

则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可．

第 6 页 共 6 页

???g?0?≤0，?0－0－1≤0，3?所以即?解得a≥.

4?g?2?≤0，???4－4a－1≤0，

3?则a的取值范围为??4，＋∞?.