线性规划经典例题

线性规划常见题型及解法

一、求线性目标函数的取值范围

?x?2?例1、 若x、y满足约束条件?y?2，则z=x+2y的取值范围是 （ ）

?x?y?2?A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5]

解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将

y 2 O 2 B y =2 x x + y =2 A l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值

2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A

x=2 二、求可行域的面积

?2x?y?6?0?例2、不等式组?x?y?3?0表示的平面区域的面积为 （ ）

?y?2? A、4 B、1 C、5 D、无穷大

解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC

的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B

y x＋y – 3 = 0 M A O B y =2 C x 2x + y – 6= 0 = 5 三、求可行域中整点个数

例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个

y ?x?y?2?x?y?2?解：|x|＋|y|≤2等价于???x?y?2???x?y?2(x?0,y?0)(x?0,y?0)(x?0,y?0)(x?0,y?0)1

O

x 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D

四、求线性目标函数中参数的取值范围

?x?y?5?例4、已知x、y满足以下约束条件?x?y?5?0，使z=x+ay(a>0)

?x?3?取得最小值的最优解有无数个，则a的值为 （ ） A、－3 B、3 C、－1 D、1

y x + y = 5 x – y + 5 = 0 O x=3 x 解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值

的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D

五、求非线性目标函数的最值

?2x?y?2?0?例5、已知x、y满足以下约束条件?x?2y?4?0 ，则z=x2+y2的最大值和最小值分别

?3x?y?3?0?是（ ）

A、13，1 B、13，2

y A C、13，

254 D、13， 55

解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的

O x – 2y + 4 = 0 3x – y – 3 = 0 x 2x + y - 2= 0 = 5 平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为

4，选C 5六、求约束条件中参数的取值范围

例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点

y （0,0）和（－1,1），则m的取值范围是 （ ） A、（-3,6） B、（0,6） C、（0,3） D、（-3,3）

2x – y + 3 = 0 2x – y = 0 2

O

?2x?y?m?3?0解：|2x－y＋m|＜3等价于?

2x?y?m?3?0?由右图可知??m?3?3 ,故0＜m＜3，选C

?m?3?0七·比值问题

当目标函数形如z?y?a时,可把z看作是动点P(x,y)与定点Q(b,a)连线的斜率，这样目标函数的x?b最值就转化为PQ连线斜率的最值。

?x－y＋2≤0，y例 已知变量x，y满足约束条件?x≥1，则 的取值范围是（ ）.

xx＋y－7≤0，?

99

（A）[，6] （B）（－∞，]∪[6，＋∞）

55（C）（－∞，3]∪[6，＋∞） （D）[3，6]

59y解析 是可行域内的点M（x，y）与原点O（0，0）连线的斜率，当直线OM过点（，）时，取得

x22x9y最小值；当直线OM过点（1，6）时，取得最大值6. 答案A

5xy3

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