数学建模某银行计划用一笔资金进行有价证券的投资

数学建模作业

1.问题重述

某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需要按50%的税率纳税。此外还有以下限制：

（1）政府以及代办机构的证券总共至少购进400万元；

（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）； （3）所购证券的平均到期年限不超过5年。 1.2需要解决的问题

（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？

（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元的资金，该经理应如何操作？

（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.3%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？

2模型分析

问题分析 这个优化问题的目标是有价证券回收的利息为最高,要做的决策是投资计划。即应购买的各种证券的数量的分配。综合考虑：特定证券购买、资金限制、平均信用等级、平均年限这些条件，按照题目所求，将决策变量、决策目标和约束条件构成的优化模型求解问题便得以解决。

3 模型假设 假设

1. 假设银行有能力实现5种证券仸意投资。 2.假设符号0表示没有投资。

3.假设在投资过程中，不会出现意外情况，以至不能正常投资。 4.假设各种投资的方案是确定的。

5. 假设证券种类是固定不变的，并且银行只能在这几种证券中投资。 6.假设各种证券的信用等级、到期年限、到期税前收益是固定不变的。 7.假设各种证券是一直存在的。

4模型建立

决策变量 用X1、X2、X3、X4、X5、分别表示购买A、B、C、D、E证券的数值， 单位：百万元

目标函数 以所给条件下银行经理获利最大为目标。则，由表可得： MAX Z=0.043X1+0.027X2+0.025X3+0.022X4+0.045X5 （1） 约束条件 为满足题给要求应有：

X2+X3+X4> = 4 (2)

X1+X2+X3+X4+X5<=10 (3)

6X1+6X2-4X3-4X4+36X5<=0 (4) 4X1+10X2-X3-2X4-3X5<=0 (5) 且 X1、X2、3X、X4、X5均非负。

5问题解答

（1）设投资证券A，B，C，D，E的金额分别为 （百万元），按照规定、限制和1000万元资金约束，列出模型

Max 0.043X1+0.027X2+0.025X3+0.022X4+0.045X5 s.t X2+X3+X4大于等于4

X1+X2+X3+X4+X5小于等于10

（2*X1+2*X2+X3+X4+5X5）除以（X1+X2+X3+X4+X5）小于等于1.4 即6X1+6X2-4X4+36X5小于等于0

（9X1+15X2+14X3+3X4+2X5）除以（X1+X2+X3+X4+X5）小于等于5 即4X1+10X2-1X3-2X4-3X5小于等于0 X1，X2，X3，X4，X5大于等于0

用LINDO求解并要求灵敏性分析，得到：

OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 0.2983637

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 2.181818 0.000000 X2 0.000000 0.030182 X3 7.363636 0.000000 X4 0.000000 0.000636 X5 0.454545 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 1) 3.818182 0.000000 2) 0.000000 0.029836 3) 0.000000 0.000618 4) 0.000000 0.002364 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 0.043000 0.003500 0.013000 X2 0.027000 0.027818 INFINITY X3 0.025000 0.017333 0.000560 X4 0.022000 0.000636 INFINITY X5 0.045000 0.052000 0.014000 RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

RHS INCREASE DECREASE 2 4.000000 3.818182 INFINITY 3 10.000000 INFINITY 4.883721 4 0.000000 231.428574 20.000000 5 0.000000 10.000000 12.000000

即证券A，C，E分别投资2 182百万元，7 364百万元，0 454百万元，最大税后收益为0 298百万元。

6模型的评价

兼于银行投资问题对银行的重要性，本题中我建立了相应的投资决策最优化模型，为银行在投资过程的决策提供了参考，我的模型有以下优点：

对问题一，兼于银行的1000万有不同的投资方法，我建立了线性规划模型，在建模的过程中，充分考虑了投资的情况，使约束变的清晰，使题目更加完整。

对于问题二，我根据银行可能借到的和银行本身有的钱，制定了算法，充分利用银行所借的钱来获得更大的收益，利用那些限制条件，建立了数学模型。本模型具有很强的参考价值。 对于问题三，于银行的1000万有不同的投资方法，我建立了线性规划模型，在建模的过程中，充分考虑了投资的情况，使约束变的清晰，使题目更加完整以确定银行是否改变投资方案。本模型具有很强的参考价值。

7模型的改进与推广

本文建立了一个线性规划模型，运用这相模型 ，我们可以解决很多的实际问题，例如在国民生产中的材料分配问题，在出口贸易中经常遇到配额的问题，我们可以根据这个模型确立一个最佳的配额分配方案。 8参考文件

[1] 姜启源，谢金星，数学建模案例选集，[M]，北京：高等教育出版社，2006 [2] 董瑧圃，数学建模方法与实践，[M]，北京：国防工业出版社，2006 [3] 陈伟忠，组合投资与投资基金管理，[M]，北京：中国金融出版社，2004 [4]王五英，投资项目社会评价方法[M] 北京：经济管理出版社，1993.8

[5] 导向科技编著，MATLAB 6.0程序设计与实例应用，[M]，北京：中国铁道出版社，2001 [6] 张宜华，精通MATLAB 5，[M]，北京：清华大学出版社，1999. [7] 姜启源 数学模型 高等教育出版社

[8] 萧树铁 大学数学实验 高等教育出版社

9.结论分析

由以上的结果中目标系数的允许范围可知,证券A的税前收益可增加0.35%，故证券A的税前收益增加4.5%，投资不应改变；证券C的税前收益了减0.112%（按50%纳税），故证券C的税前收益可减4.8%，故投资应改变。

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