中考总复习：开放探索题新编（答案已编好）

一、专题论述：

近几年在各省、市的中考题中，出现了一批符合学生年龄特点和新课标要求的开放探索题。开放探索题打破传统模式，构思新颖，被认为是当前培养创新意识、创造能力的最富有价值的数学问题。而且，开放探索题与其它题型呈现融合的形势。加大数学开放题在中考命题中的力度，是应试教育向素质教育转轨的重要体现，对发挥学生主体性方面具有得天独厚的优势，是培养学生主体意识的极好材料。

在2011年安徽中考题中，第9，10，14，22，23题都带有开放探索性质，分值39分，约占24%.

在2012年安徽中考题中，第9，10，14，17，23题是开放探索题，分值35分，约占23%.

在2013年安徽中考题中，第9，10，14，18，23题都是开放探索题，分值35分，约占23%.

开放探究题的特点是：（1）条件多余或不足；（2）答案不固定；（3）问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的结论或条件或方法.

开放探索性问题可分为条件开放与探索问题、结论开放与探索问题、条件与结论开放与探索问题。

在解决开放探题的时候，需要解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.这类题主要考查我们分析问题和解决问题的能力和创新意识.

二、典例分析：

考点一 条件开放探索问题

条件开放探索问题的特征是缺少确定的条件，并给出结论。要求根据结论补充所需的条件，而满足结论的条件往往是不唯一的．

典例1 （2012湖南郴州）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，连接DE，要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件 （只需写一个）．

【解题指导】本题考查相似三角形的判定。

∵∠A是公共角，

∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B时，△ADE∽△ACB（有两角对应相等的三角形相似）； 当AD：AC=AE：AB或AD?AB=AE?AC时，△ADE∽△ACB（两组对应边的比相等且夹

角对应相等的两个三角形相似）。

∴要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件：答案不唯一，如∠ADE=∠C或∠AED=∠B

或AD：AC=AE：AB或AD?AB=AE?AC等。 【答案】∠ADE=∠C（答案不唯一）。

【变题速递】1.如图，已知AC⊥BD于点P，AP＝CP，请增加一个条件：使△ABP≌△CDP(不能添加辅助线)，你增加的条件是__________．

2. （2012湖南湘潭）如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为 ．

3. （2012四川绵阳）如图，BC=EC，∠1=∠2，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为 （答案不唯一，只需填一个）。

考点二 结论开放问题

给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，然后经过论证作出取舍．

【典例2】 (2011广东河源)如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点(P不与A，B重合)，分别以AP，PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．

(1)当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP＝__________.(直接写结果) (2)连接AD，BC，相交于点Q，设∠AQC＝α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由．

(3)如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转(旋转角小于180°)，此时α的大小是否发生变化？(只需直接写出你的猜想，不必证明)

图1

图2

33

x，则面积为x2，则等边△BDP边24

【解题指导】：(1)设等边△APC边长为x，高为长为2a－x，高为

33

(2a－x)，则面积为(2a－x)2， 24

面积之和为S＝

3233

x＋(2a－x)2＝x2－3ax＋3a2，这是一个二次函数的最值问题． 442

32

a. 2

当x＝a时，S最小＝

(2)判别α的大小是否会随点P的移动而变化，只需计算∠AQC． (3)根据(2)证明过程或直观可得结论．

将等边三角形的面积用二次函数表示出来是解答本题的难点．解答结论开放性问题常常

需要借助直观或特殊化方法探求．

【规范解题】：(1)a

(2)α的大小不会随点P的移动而变化． 理由：∵△APC是等边三角形， ∴PA＝PC，∠APC＝60°. ∵△BDP是等边三角形，

∴PB＝PD，∠BPD＝60°，∴∠APC＝∠BPD， ∴∠APD＝∠CPB，∴△APD≌△CPB， ∴∠PAD＝∠PCB．

∵∠QAP＋∠QAC＋∠ACP＝120°， ∴∠QCP＋∠QAC＋∠ACP＝120°， ∴∠AQC＝180°－120°＝60°.

(3)此时α的大小不会发生改变，始终等于60°. 【变题速递】

4.（2011天津）已知一次函数的图象经过点（0，1），且满足y随x的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为 ．

5. （2012山东淄博）一个三位数，其各位上的三个数字的平方和等于其中两个数字乘积的2倍，请写出符合上述条件的一个三位数 .

6.（2012吉林省）如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，∠ACB=40°，点P在边BC上，则∠PAB的度数可能为_ ____（写出一个符合条件的度数即可）．

考点三 条件与结论开放问题

条件、结论开放探索问题是指条件和结论都不唯一，此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有开放性，它要求学生通过自己的观察和思考，

将已知的信息集中进行分析，通过这一思维活动揭示事物的内在联系．

【典例3】 (1)如图1，在正方形ABCD中，M是BC边(不含端点B，C)上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN＝90°，求证：AM＝MN.

下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．

证明：在边AB上截取AE＝MC，连接ME.正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC．

∴∠NMC＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠MAB＝∠MAE.

(下面请你完成余下的证明过程)

图1

图2

(2)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”(如图2)，N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN＝60°时，结论AM＝MN是否还成立？请说明理由．

(3)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD?X”，请你作出猜想：当∠AMN＝__________时，结论AM＝MN仍然成立．(直接写出答案，不需要证明)

【解题指导】证两条线段相等，最常用的方法是证明两条线段所在三角形全

等．(1)中给出了线段EM，即想提示考生证明△AEM≌△MCN.由题目中的条件知，只需再找一角即可．(2)中解法同(1)，在AB上构造出线段AE＝MC，连接ME.进一步证明△AEM≌△MCN.(3)是将(1)(2)中特殊问题推广到一般情况，应抓住本质：∠AMN与正多边形的内角度数相等．解答本题的关键是结合已给出的材料借助类比思想进行．

【规范解题】(1)∵AE＝MC，∴BE＝BM， ∴∠BEM＝∠EMB＝45°，∴∠AEM＝135°.

∵CN平分∠DCP，∴∠PCN＝45°，∴∠AEM＝∠MCN＝135°.

∠AEM＝∠MCN，??

在△AEM和△MCN中，?AE＝MC，

??∠EAM＝∠CMN，∴△AEM≌△MCN，∴AM＝MN. (2)仍然成立．

在边AB上截取AE＝MC，连接ME.

∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°， ∴∠ACP＝120°.

∵AE＝MC，∴BE＝BM， ∴∠BEM＝∠EMB＝60°， ∴∠AEM＝120°.

∵CN平分∠ACP，∴∠PCN＝60°， ∴∠AEM＝∠MCN＝120°.

∵∠CMN＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠BAM，∴△AEM≌△MCN，∴AM＝MN.

(n－2)180°

(3). n【变题速递】

7． 抛物线y＝-x2＋bx＋c的部分图象如图所示，请你写出与其关系式、图象相关的2个正确结论：__________，__________(对称轴方程，图象与x轴正半轴、y轴交点除外)．

8. 如图，点A、B、D、E在圆上，弦AE的延长线与弦BD的延长线相交于点C．给出下列三个条件：（1）AB是圆的直径；（2）D是BC的中点；（3）AB=AC．

请在上述条件中选择两个作为已知条件，第三个作为结论，写出一个你认为正确的命题，并加以证明．

9.（2012山西省）问题情境：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由． 探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法： 解：OM=ON，证明如下： 连接CO，则CO是AB边上中线，

∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线．（依据1） ∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依据2） 反思交流：

（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：

依据1： 依据2： （2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程． 拓展延伸：

（3）将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．

专题训练

1.（2013湘潭）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（ ）

BD=CE A．AD=AE B． DA=DE C． BE=CD D． 2.（安徽2013）图1所示矩形ABCD中，BC=x，CD=y，y与x满足的反比例函数关系如图2所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，则下列结论正确的是( )

A、当x=3时，EC＜EM B、当y=9时，EC＞EM

C、当x增大时，EC2CF的值增大。 D、当y增大时，BE2DF的值不变。

3. （安徽2013）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断

中，不正确的是（ ）

A、当弦PB最长时，ΔAPC是等腰三角形。

B、ΔAPC是等腰三角形时，PO⊥AC。 C、当PO⊥AC时，∠ACP=300. D、当∠ACP=300，ΔPBC是直角三角形。

(第3题) （第4题）

4. （2012安徽）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（ ）

A.10 B.45 C. 10或45 D.10或217

5. 根据图1所示的程序，得到了y与x的函数图象(如图2)，过点M作PQ∥x轴交图象于点P，Q，连接OP，OQ.则以下结论

2

①x＜0时，y＝，

x②△OPQ的面积为定值， ③x＞0时，y随x的增大而增大， ④MQ＝2PM， ⑤∠POQ可以等于90°.

图1

其中正确的结论是( ) A．①②④

B．②④⑤

图2

C．③④⑤ D．②③⑤

6.（2012贵州安顺）如图，∠1=∠2，添加一个条件 使得△ADE∽△ACB．

7.（北京市东城区中考题）有一个二次函数的图象，三位学生分别说出它们的一些特点：

甲：对称轴是x?4；

乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以三个交点为顶点的三角形面积为3。 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数的解析式：___________________。 8.如上右图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有_________（把你认为正确的序号都填上）。

9. （2012安徽）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论： ①S1+S2=S3+S4 ② S2+S4= S1+ S3

③若S3=2 S1，则S4=2 S2 ④若S1= S2，则P点在矩形的对角线上

其中正确的结论的序号是_________________（把所有正确结论的序号都填在横线上）.

10. （2012山东东营）在平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，?和B1，B2，B3，分别在直线y?kx?b和x轴上．△OA1B1，△B1 A2B2，△B2 A3B3，?都是等腰直角三角形，如果A1

（1，1），A2（

y 73,），那么点An的纵坐标是 ． 22A1 O A2 B 1 B2 A3 B 3 y=kx+b x 第10题图

11．请设计三种不同的分法，将直角三角形（如图所示）分割成四个小三角形，使得每个小三角形与原直角三角形都相似。

12．（2012湖南衡阳）如图，AF=DC，BC∥EF，请只补充一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由．

13.（2010玉溪）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，请添加适当条件后，构造出一对全等的三角形，并说明理由．

14. （2012四川宜宾）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点． （1）求证：△ABE∽△ECM；

（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；

（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．

15.（2012江苏盐城）如图①所示，已知A、B为直线?上两点，点C为直线?上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥?于点D1，过点E作EE1⊥?于点E1．

（1）如图②，当点E恰好在直线?上时（此时E1与E重合），试说明DD1=AB

（2）在图①中，当D、E两点都在直线?的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由．

(3)如图③,当点E在直线l的下方时,请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系.(不需要证明)

F D D1 A

B

图①

G C D E E1

l

D1 A

F

D

C G

D1 A

F

C E1 B 图③

E l B (E1)

图②

G l

E 16.（2012黑龙江牡丹江）如图①，△ABC中,AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，

CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：

（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并加以证明：

（2）填空：若∠A=30，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH= ．点P到AB边的距离PE=

0

17. （2012四川成都）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K． （1）求证：KE=GE；

（2）若KG=KD2GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由； （3） 在（2）的条件下，若sinE=

23，AK=25，求FG的长． 5

18.(2013山东省临沂市）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转1200至OB位置， （1）求点B的坐标；

（2）求经过点A、O、B的抛物线解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由。

19.如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90o．

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ．

②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果AB≠AC，∠BAC≠90o，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）

（3）若AC＝42，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．

20.在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF。

（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE=EF(不需证明)；

（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变， 如图2、图3，线段BE、

EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明。

答案解析：变题速递1解析：要证明△ABP≌△CDP，已经给出了两个条件：AP＝CP，AC⊥BD(即∠APB＝∠CPD＝90°)，根据证明两个三角形全等的判断方法，可以添加一个条件角或者边．

故添加的条件是：∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB∥CD，BP＝DP，AB＝CD．(任选其中一个) 变题速递2解析：根据切线的判定方法知，能使BC成为切线的条件就是能使AB垂直于BC的条件，从而得出答案：

当△ABC为直角三角形时，即∠ABC=90°时，BC与圆相切。 故添加的条件可以是∠ABC=90°，或AB⊥BC等，答案不唯一。

变量速递3解析：由∠1=∠2，求出∠BCA=∠ECD，又BC=EC，根据SAS可添加的条件为AC=DC；根据ASA可添加的条件为∠B=∠E；根据AAS可添加的条件为∠A=∠D。只需填一个即可。

变题速递4解析：设一次函数的解析式为：y=kx+b（k≠0），

∵一次函数的图象经过点（0，1），∴b=1，∵y随x的增大而增大，∴k＞0， 故答案为y=x+1（答案不唯一，可以是形如y=kx+1，k＞0的一次函数）．

变题速递5解析：设三位数各位上的数字为x，y，z，则根据题意，得x?y?z?2xy，即(x?y)?z?0∴根据非负数的性质，得x=y且z=0。

∴符合上述条件的三位数可以是101，110，202，220，??。

变题速递6解析：∵AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，∴AB⊥BC。∴∠ABC=90°。

∵∠ACB=40°，∴∠CAB=50°.

又∵点P在边BC上，∴0＜∠PAB＜∠CAB。

∴0＜∠PAB＜50°，故只要写出在0?到50?间的一个角即可。

变题速递7解析：由函数解析式y＝-x2＋bx＋c可以知a＝－1；由图象可知对称轴x＝-1，b

则－＝－1，解得b＝－2；由函数图象与y轴的交点，得到c＝3；由图象与x轴的一个交

2a点的横坐标为x＝1，而函数图象的对称轴是x＝－1，可得函数图象与x轴的另一个交点的横坐标为x＝－3，所以方程－x2＋bx＋c＝0的两根分别为1，－3等．

因此，本题答案不唯一．如：①c＝3;②b＋c＝1;③c－3b＝9;④b＝－2;⑤抛物线的顶点

0

22222为(－1,4)或二次函数的最大值为4;⑥方程－x2＋bx＋c＝0的两根分别为1，－3;⑦当－3＜x＜1时，y＞0;当x＜－3或x＞1时，y＜0;⑧当x＞－1时，y随x的增大而减小，或当x＜－1时，y随x的增大而增大等．

变题速递8解析：若（1）（2）为已知条件，（3）为结论．证明：连接AD，∵AB是圆的直径，∴AD⊥BC，∵D是BC的中点，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC；

若（1）（3）作为条件，（2）作为结论，证明：连接AD，∵AB是圆的直径，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴D是BC的中点（等腰三角形三线合一）；

若（2）（3）作为条件，（1）作为结论．连接AD，∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴AB是圆的直径．

变题速递9解析：（1）等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、

底边上的高互相重合）；角平分线上的点到角的两边距离相等。

（2）证明：∵CA=CB，∴∠A=∠B。∵O是AB的中点，∴OA=OB。

∵DF⊥AC，DE⊥BC，∴∠AMO=∠BNO=90°。

∵在△OMA和△ONB中，∠A=∠B，OA=OB，∠AMO=∠BNO， ∴△OMA≌△ONB（AAS）。∴OM=ON。

（3）解：OM=ON，OM⊥ON。理由如下：

连接CO，则CO是AB边上的中线。 ∵∠ACB=90°，∴OC=又∵CA=CB，

∴∠CAB=∠B=45，∠1=∠2=45°，∠AOC=∠BOC=90°。∴∠2=∠B。 ∵BN⊥DE，∴∠BND=90°。

又∵∠B=45°，∴∠3=45°。∴∠3=∠B。∴DN=NB。 ∵∠ACB=90°，∴∠NCM=90°。

1AB=OB。 2又∵BN⊥DE，∴∠DNC=90°。∴四边形DMCN是矩形。∴DN=MC。∴MC=NB。 ∴△MOC≌△NOB（SAS）。∴OM=ON，∠MOC=∠NOB。 ∴∠MOC﹣∠CON=∠NOB﹣∠CON，即∠MON=∠BOC=90°。 ∴OM⊥ON。

专题训练解析：

1.答案：C.

添加BD=CE，利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC；添加AD=AE，根据等边对等角可得∠ADE=∠AED，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB=∠EAC；添加DA=DE无法求出∠DAB=∠EAC；添加BE=CD，利用“边角边”证明△ABE和△ACD全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC．故选C．

2.答案：D.

等腰直角△AEF的斜边EF过C点，所以△BEC和△DCF都是直角三角形；由反比例函数图象得x=3，y=3，所以反比例解析式为y=；当x=3时，y=3，即BC=CD=3，所以CE=

BC=3

，CF=

CD=3

，C点与M点重合，则EC=EM，所以A选项错误；

，而EM=3

2

当y=9时，x=1，即BC=1，CD=9，所以EC=因为EC?CF=

x（6

﹣

，所以B选项错误；

x）=﹣2（x﹣3）+18，所以当0＜x＜3时，EC?CF的值随x

的增大而增大，所以C选项错误； BE?DF=BC?CD=xy=9，即BE?DF的值不变，所以D选项正确．故选D． 3．答案：C.

如图1，当弦PB最长时，PB为⊙O的直径，又∵△ABC是等边三角形，∴BP⊥AC，∴

??PC?，∴AP=CP，∴△APC是等腰三角形； AP当△APC是等腰三角形时，分三种情况：

①如果PA=PC，那么点P在AC的垂直平分线上，则点P或者在图1中的位置，或者与点B重合（如图2），所以PO⊥AC；②如果AP=AC，那么点P与点B重合，所以PO⊥AC； ③如果CP=CA，那么点P与点B重合，所以PO⊥AC；

当PO⊥AC时，则PO平分AC，PO是AC的垂直平分线，点P或者在图1中的位置，或者与点B重合．如果点P在图1中的位置，∠ACP=30°；如果点P在B点的位置，∠ACP=60°； 当∠ACP=30°时，点P或者在P1的位置，或者在P2的位置，如图3．

如果点P在P1的位置，∠BCP1=∠BCA+∠ACP1=60°+30°=90°，△BP1C是直角三角形； 如果点P在P2的位置，∵∠ACP2=30°，∴∠ABP2=∠ACP2=30°，∴∠CBP2=∠ABC+∠ABP2=60°+30°=90°，△BP2C是直角三角形．故选C.

4.答案：C. .

考虑两种情况，利用三角形的中位线及勾股定理求得。

如下图，(2?2)?(4?4)?45，(2?3)?(4?4)45?10

2222

故选C

5.答案： B.

?

因为y与x的函数关系式为y＝?4

?x(x>0)，

2

－(x<0)，x

2

所以①错误；∵PQ∥x轴，点P在y＝－上，x

11

∴S△POM＝3OM3PM＝|k|＝1，同理可得S△QOM＝2，∴S△POQ＝S△POM＋S△QOM＝1＋2＝3，

22

4

所以②正确；当x＞0时，y＝，y随x的增大而减小，所以③错误；设OM＝a，当y＝a时，

x2424

P点的横坐标为－，Q点的横坐标为，则PM＝，MQ＝，则MQ＝2PM，所以④正确；

aaaa当点M在y轴的正半轴上由下向上运动时，∠POQ由180°逐渐变小至0°，∴∠POQ可以等于90°，所以⑤正确．

6.答案：∠D=∠C（答案不唯一）。

∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠CAB。 ∴当∠D=∠C或∠E=∠B或

7.答案：y?ADAE时，△ADE∽△ACB（答案不唯一）。 ?ACAB128x?x?3（答案不唯一） 55128x?x?355由二次函数图象的对称性及已知条件不难分析得出，若与x轴两个交点的坐标分别是（3，0），（5，0），则与y轴交点为（0，3）或（0，?3），此时二次函数的解析式为y?或y??128，（7，0），则与y轴交点x?x?3；若与x轴两个交点的坐标分别是（1，0）

55128128为（0，1）或（0，?1），此时二次函数的解析式为y?x?x?1或y??x?x?1。

7777

8.答案：（1）（2）（3）（5）.

易证△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB =∠ACB= 60°，再证△ACP≌△BCQ，所以AP=BQ，CP=CQ，又∠BCD=60°，∴∠CPQ=60°，∴∠CPQ=∠ACB，∴PQ∥AE。由△CEQ≌△CDP，得EQ=DP，如果DE=DP，则DE=DP=EQ，∴EQ=CE又∠DCE=60°，∴△CEQ为等边三角形，矛盾。故正确的有（1）（2）（3）（5）.

9.答案：②④．

过点P分别向AD、BC作垂线段，则S1?S3等于矩形面积的一半；过点P分别向AB、CD作垂线段，S2?S4等于矩形面积的一半. ∴S1?S3=S2?S4,所以②正确。若S1?S2，则

S2?S3=S1?S4?

1SABCD,所以④一定成立。 2

10.答案：

?3????2?n?1.

731414把A1（1，1），A2（,）分别代入y?kx?b，可求得k=,b=,,所以y?x?，与x轴

225555交点代坐标为（-4，0），设A3的纵坐标为m,则

14?1932?，解得m=?(),同理可得

42m4?2?3?mn?133?3?A4的纵坐标为()，??，An的纵坐标是??。

?2?2

11．如下图所示：

12.可补充条件EF=BC，利用SAS证明△ABC≌△DEF；补充条件∠A=∠D或∠B=∠E，利用AAS证明△ABC≌△DEF。还可补充条件AB∥ED等。 如：补充条件：EF=BC，可使得△ABC≌△DEF。理由如下：

∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即：AC=DF。 ∵BC∥EF，∴∠EFD=∠BCA。

在△EFD和△BCA中，∵ BC = EF，∠BCA=∠EFD，AC =DF， ∴△ABC≌△DEF（SAS）．

13.添加的条件是连接BE，过D作DF∥BE交BC于点F，构造的全等三角形是△ABE与△CDF．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠A=∠C，AD=BC. ∵DE∥BF，DF∥BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∴DE=BF， 又AD=BC，∴AD﹣DE=BC﹣BF，即AE=CF， ∴△ABE≌△CDF．（答案不唯一，也可增加其它条件）

14. （1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C。 ∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF=∠B。

又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠CEM=∠BAE。∴△ABE∽△ECM。 （2）解：能。

∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF。∴AE≠AM。 当AE=EM时，则△ABE≌△ECM（SAS）。∴CE=AB=5。 ∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1。当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA。 ∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，即∠CAB=∠CEA。

AC225CEAC又∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴，∴CE?。 ??CB6ACCB2511∴BE= BC﹣EC =6﹣=。

6611综上所述，当BE=1或时，重叠部分能构成等腰三角形。

6（3）解：设BE=x，则CE=6－x

CMCECM6?x16，即：，∴CM??x2+x。 ??BEABx555161216∴AM?5?CM?x2?x+5=?x?3?+。

5555161∴当x=3时，AM最短为。又∵当BE=x=3=BC时，点E为BC的中点，

25∵△ABE∽△ECM，∴

∴AE⊥BC。∴AE=AB2?BE2?52?32?4。此时，EF⊥AC，

12?16?∴EM=AE?AM?4????。

55??222211161296∴S?AEM=?AM?EM????。

22552596∴当线段AM最短时，重叠部分的面积为。

25

15.（1）∵四边形CADF和四边形CBEG都是正方形，且DD1⊥?，∴∠DAC=∠ABC=∠DD1A=90，又∵∠ADD1+∠DAD1=90，而∠DAD1+∠BAC=90，∴∠ADD1=∠BAC，在Rt△DD1A和在Rt△ABC中，∵∠ABC=∠DD1A，∠ADD1=∠BAC，AD=AC，∴△DD1A≌△ABC，∴DD1=AB．

(2)AB=DD1+EE1．理由如下：过C作CM⊥AB于M，易得：△DD1A≌△ACM，∴DD1=AM，同理： △BCM≌△EBE1，∴EE1=BM，∴AB=AM+BM= DD1+EE1．

(3)AB=DD1-EE1．

16.（1）PE=PF＋CH。证明如下：

0

0

0

∵PE⊥AB，PF⊥AC， CH⊥AB，

111AB?PE，S?ACP?AC?PF，S?ABC?AB?CH。 222111 ∵S?ABP?S?ACP+S?ABC，∴AB?PE?AC?PF+AB?CH。

222 ∴S?ABP? 又∵AB=AC，∴PE?PF+CH。 （2）∵∠A=30，∴AB=AC=2CH。

0

1 又∵△ABC的面积为49，∴49?2CH?CH，解得CH=7。

2 又∵PF=3，

∴ 当点P在底边BC上时，由例知PE+PF?CH，即P E+37?，解得PE?4。 当点P在BC延长线上时，由（1）知PE?PF+CH=3+7=10。

当点P在CB延长线上时，仿（1）可得PF?CH+PE，即3?7+PE，此时无解。因此填7；4或10。

17. （1）证明：如答图1，连接OG。

∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°。 ∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°。 又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG。 ∴∠KGE=∠AKH=∠GKE。∴KE=GE。 （2）AC∥EF，理由如下：

连接GD，如答图2所示。 ∵KG=KD?GE，∴

2

KGKD。 ?GEKG又∵∠KGE=∠GKE，∴△GKD∽△EGK。 ∴∠E=∠AGD。

又∵∠C=∠AGD，∴∠E=∠C。∴AC∥EF。 （3）连接OG，OC，如答图3所示。 由（2）∠E=∠ACH，∴sinE=sin∠ACH=

∴可设AH=3t，则AC=5t，CH=4t。

∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t。∴HK=CK﹣CH=t。 在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH+HK=AK，即（3t）+t=

2

2

2

2

2

3。 5（25），解得t=2。

设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t， 由勾股定理得：OH+CH=OC，即（r﹣3t）+（4t）=r，解得r=∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形。 在Rt△OGF中，OG=r=2

2

2

2

2

2

2

2525t= 2。6625CH42，tan∠OFG=tan∠CAH=?， 6AH3252OG256??2。 ∴FG=

4tan?OFG8318.（1）如图，过点B作BC⊥x轴，垂足为C ，∵OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转1200至OB位置，∴∠BOC=600，OB=4，∴BC=43sin600=43cos600=43

1=2,∵点B在第三象限，∴点B（-2，-23）； 23=23,OC=432（2）由函数图象得，抛物线通过（-2，-23），（0,0），（4,0）三点，设抛物线解析式为y=ax2+bx,

?3a?-???4a-2b?-23?6，∴此抛物线解析式为y=-3x2?23x. 由待定系数法得，?，解得?63??16a?4b?0?b?23?3?(3)存在。

理由：如图，抛物线的对称轴是x=-（2，y），

①若OP=OB,则22+|y|2=42,解得y=±23,即 P点坐标为（2，23）或（2，-23），又 点B（-2，-23），∴当P点为（2，23）时，

点P、O、B共线，不合题意，舍去，故点P坐标为（2，-23）； ②若BO=BP,则42+|y+23|2=42,解得y=-23,点P坐标为（2，-23）；

b,解得x?2，直线x?2与x轴的交点为D。设点P2a③若PO=PB,则22+|y|2=42+|y+23|2，解得y=-23,点P坐标为（2，-23）； 综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，-23）。 19.（1）①CF与BD位置关系是 垂直、数量关系是相等；

②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．

由正方形ADEF得 AD=AF ，∠DAF=90o．∵∠BAC=90o，∴∠DAF=∠BAC ， ∴∠DAB=∠FAC，又AB=AC ，∴△DAB≌△FAC ， ∴CF=BD , ∠ACF=∠ABD．

∵∠BAC=90o， AB=AC ，∴∠ABC=45o，∴∠ACF=45o， ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o．即 CF⊥BD （2）当∠BCA=45o时，CF⊥BC（如图丁）．

理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG.可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45o ,∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o． 即CF⊥BD

（3）当具备∠BCA=45o时，

过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，（如图戊）

∵DE与CF交于点P时， ∴此时点D位于线段CQ上，∵∠BCA=45o，可求出AQ= CQ=4．设CD=x ，∴ DQ=4—x，容易说明△AQD∽△DCP，∴CP?CD ， ∴

DQAQCPx?，4?x4x21?CP???x??(x?2)2?1．

44∵0＜x≤3 ∴当x=2时，CP有最大值1． 20.

（1）根据菱形的性质结合∠ABC=60°可得△ABC是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得∠CBE=

1∠ABC=30°，AE=CE，所以CE=CF，然后等边对等角的性质可得∠F=2∠CEF，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠F=30°，从而得到∠

CBE=∠F，根据等角对等边的性质即可证明。 （2）BE=EF。

图2证明如下：过点E作EG∥BC，交AB于点G，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC。 又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形。∴AB=AC，∠ACB=60°。 又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°。

又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形。∴AG=AE。∴BG=CE。

又∵CF=AE，∴GE=CF。又∵∠BGE=∠ECF=120°，∴△BGE≌△ECF（SAS）。∴BE=EF。 图3，证明思路与方法与图2完全相同， 证明如下：

过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC。 又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形。 ∴AB=AC∠ACB=60°。

又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°。

又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形。∴AG=AE。∴BG=CE。 又∵CF=AE，∴GE=CF。

又∵∠BGE=∠ECF=60°，∴△BGE≌△ECF（SAS）。∴BE=EF。

CBE=∠F，根据等角对等边的性质即可证明。 （2）BE=EF。

图2证明如下：过点E作EG∥BC，交AB于点G，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC。 又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形。∴AB=AC，∠ACB=60°。 又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°。

又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形。∴AG=AE。∴BG=CE。

又∵CF=AE，∴GE=CF。又∵∠BGE=∠ECF=120°，∴△BGE≌△ECF（SAS）。∴BE=EF。 图3，证明思路与方法与图2完全相同， 证明如下：

过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC。 又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形。 ∴AB=AC∠ACB=60°。

又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°。

又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形。∴AG=AE。∴BG=CE。 又∵CF=AE，∴GE=CF。

又∵∠BGE=∠ECF=60°，∴△BGE≌△ECF（SAS）。∴BE=EF。

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