湖南省郴州市2022届高三第四次质量检测数学试题(文)含答案

郴州市2017届高三第四次教学质量监测试卷

数学文科

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合{}|(1)(4)0A x Z x x =∈+-<，{}|B x x a =≤，若A B B = ，则a 的值可以是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2.已知复数3(2)(2)z i a i =++在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．(,1)-∞-

B ．(4,)+∞

C ．(1,4)-

D ．(4,1)--

3.为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如图四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（ ）

4.已知向量(,2)a m = ，(2,1)b =- ，且a b ⊥ ，则|2|()

a b a a b -?+ 等于（ ） A ．53- B ．1 C ．2 D ．54

5.已知23cos tan 3θθ=+，且k θπ≠（k Z ∈），则[]sin 2()πθ-等于（ ）

A ．13-

B ．13

C ．23

D ．23

- 6.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，

执行该程序框图，若输出的 1.5S =（单位：升），则输入k 的值为（ ）

A ．4.5

B ．6

C ．7.5

D ．9

7.已知双曲线C ：22

221x y a b

-=（0a >，0b >）过点，过点(0,2)-的直线l 与双曲线C 的一条渐进线平行，且这两条平行线间的距离为

23，则双曲线C 的实轴长为（ ）

A ．2

B ．

C ．4

D ．8.若()f x 为奇函数，且0x 是()x y f x e =-的一个零点，则下列函数中，0x -一定是其零点

的函数是（ ）

A ．()1x y f x e

-=-?- B ．()1x y f x e =?+ C ．()1x y f x e =?-

D ．()1x y f x e =-?+ 9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A ．103

B ．113

C ．4

D ．143

10.函数()sin()f x A x ω?=+（0ω>，||2π

?<）的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移724π个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间,3πθ??-????（3πθ>-）上的值域为[]1,2-，则θ等于（ ）

A ．6π

B ．4π

C ．23π

D ．712

π 11.已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的右焦点为2F ，O 为坐标原点，M 为y 轴上一点，点A 是直线2MF 与椭圆C 的一个交点，且2||||2||OA OF OM ==，则椭圆C 的离心率为（ ）

A ．13

B ．25

C

D 12.如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，

E 为边AB 的中点，将ADE ?沿直线DE 翻转成

1A DE ?（1A ?平面ABCD ）．若M 、O 分别为线段1AC 、DE 的中点，则在ADE ?翻转

过程中，下列说法错误的是（ ）

A ．与平面1A DE 垂直的直线必与直线

BM 垂直

B ．过E 作//EG BM ，G ∈平面1A D

C ，则1A EG ∠为定值

C ．一定存在某个位置，使DE MO ⊥

D ．三棱锥1A AD

E -外接球半径与棱

AD 的长之比为定值 第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.一个袋中装有1红、2白和2黑共5个小球，这5个球除颜色外其它都相同，现从袋中任取2个球，则至少取到1个白球的概率为 ．

14.已知实数x ，y 满足条件30,240,3,x y x y x -+≥??+-≥??≤?

则22(1)z x y =++的最小值为 ．

15.在ABC ?中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，ABC ?的面积为S ，

22

()tan 8a b C S +=，则222sin sin sin A B C += ． 16.若函数2()(1)x f x x ax a e =-++（a N ∈）在区间(1,3)只有一个极值点，则曲线()f x 在点(0,(0))f 处切线的方程为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知等差数列{}n a 的前n （*n N ∈）项和为n S ，33a =，且1n n n S a a λ+=，在等比数列{}n b 中，12b λ=，3151b a =+．

（Ⅰ）求数列{}n a 及{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）设数列{}n c 的前n （*n N ∈）项和为n T ，且()12n n n

S c +=，求n T ．

18.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：

[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[]90,100．

（Ⅰ）求图中a 的值；

（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；

（Ⅲ）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．

19.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，

90ADC ∠=?，//AD BC ，AB AC ⊥，AB AC ==点E 在AD 上，且2AE ED =．

（Ⅰ）已知点F 在BC 上，且2CF FB =，求证：平面PEF ⊥平面PAC ；

（Ⅱ）若PBC ?的面积是梯形ABCD 面积的

43，求点E 到平面PBC 的距离． 20.已知A 是抛物线24y x =上的一点，以点A 和点(2,0)B 为直径的圆C 交直线1x =于

M ，N 两点，直线l 与AB 平行，且直线l 交抛物线于P ，Q 两点．

（Ⅰ）求线段MN 的长；

（Ⅱ）若3OP OQ ?=- ，且直线PQ 与圆C 相交所得弦长与||MN 相等，求直线l 的方程．

21.已知函数()ln f x x a =-（a R ∈）与函数2()F x x x =+

有公共切线． （Ⅰ）求a 的取值范围；

（Ⅱ）若不等式()2xf x e a +>-对于0x >的一切值恒成立，求a 的取值范围． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos ,2sin x a t y t

=??=?（t 为参数，0a >）．以坐标原点

为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为

cos()4

πρθ+=- （Ⅰ）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值； （Ⅱ）若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围．

23.选修4-5：不等式选讲

已知函数()|1||3|f x x x =++-，()|2|g x a x =--．

（Ⅰ）若关于x 的不等式()()f x g x <有解，求实数a 的取值范围；

（Ⅱ）若关于x 的不等式()()f x g x <的解集为7(,)2b ，求a b +的值．

郴州市2017届高三第四次教学质量监测试卷数学文科答案

一、选择题

1-5:DCDBC 6-10:BABAB 11、12：DC

二、填空题 13.710

14.5 15.2 16.6y x =+ 三、解答题

17.解：（Ⅰ）∵1n n n S a a λ+=，33a =，∴112a a a λ=，且12232()3a a a a a λ+==， ∴2a λ=，1233a a a +==，①

∵数列{}n a 是等差数列，∴1322a a a +=，即2123a a -=，② 由①②得11a =，22a =，∴n a n =，2λ=，

∴14b =，316b =，则12n n b +=． （Ⅱ）∵(1)2n n n S +=，∴2(2)

n c n n =+， ∴22222132435(1)(1)(2)n T n n n n =+++++???-++…

111111111132435112n n n n =-+-+-++-+--++2323232

n n n +=-++． 18.解：（Ⅰ）由题意得2100.04100.03100.02101a ?+?+?+?=，解得0.005a =． （Ⅱ）由0.05550.4650.3750.2850.059573?+++?+?+?=．

（Ⅲ）由频率分布表可知，

数学成绩在[50,90)的人数为：145(0.050.40.30.2)10090234

+?+?+??=． 于是，数学成绩在[50,90)之外的人数为：1009010-=．

19.（Ⅰ）证明：∵AB AC ⊥，AB AC =，∴45ACB ∠=?，

∵底面ABCD 是直角梯形，90ADC ∠=?，//AD BC ，

∴45ACD ∠=?，即AD CD =，

∴2BC AD ==，

∵2AE ED =，2CF FB =，∴23

AE BF AD ==， ∴四边形ABFE 是平行四边形，则//AB EF ，

∴AC EF ⊥，

∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA EF ⊥，

∵PA AC A = ，

∴EF ⊥平面PAC ，∵EF ?平面PEF ，

∴平面PEF ⊥平面PAC ．

（Ⅱ）解：∵PA ⊥底面ABCD ，且AB AC =，∴PB PC =，

取BC 的中点为G ，连接AG ，则AG BC ⊥，1AG CD ==

设PA x =，连接PG ，则PG =

∵侧面PBC 的面积是底面ABCD 的

43倍，

∴1412(12)232

PG ??=??+，即2PG =，求得x = ∵//AD BC ，∴E 到平面PBC 的距离即时A 到平面PBC 的距离，

∵A PBC P ABC V V --=，2PBC ABC S S ??=，

∴E 到平面PBC 的距离为12PA =．

20.解：（Ⅰ）设200(,)4y A y ，圆C 方程为200(2)()()04

y x x y y y --+-=， 令1x =，得22

00104y y y y -+-=，∴0M N y y y +=，2014M N y y y =-，

||||2M N MN y y =-==． （Ⅱ）设直线l 的方程为x my n =+，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则 由2,

4,x my n y x =+??=?消去x ，得2440y my n --=，

124y y m +=，124y y n =-，

∵3OP OQ ?=- ，∴12123x x y y +=-，则2

1212()316

y y y y +=-， ∴2430n n -+=，解得1n =或3n =，

当1n =或3n =时，当(2,0)B 到直线l

的距离d =

∵圆心C 到直线l 的距离等于直线1x =

的距离，∴208y = 又20024y m y -=，消去m 得4

200646416

y y +?=，求得208y =， 此时，2002

4

0y m y -==，直线l 的方程为3x =，

综上，直线l 的方程为1x =或3x =． 21. 解：（Ⅰ）1'()f x x =

，22

'()1F x x

=-． ∵函数()f x 与()F x 有公共切线，∴函数()f x 与()F x 的图象相切或无交点． 当两函数图象相切时，设切点的横坐标为0x （00x >），则00200

12

'()'()1f x F x x x ===-，

解得02x =或01x =-（舍去）， 则(2)(2)f F =，得ln 23a =-，

数形结合，得ln 23a ≥-，即a 的取值范围为[ln 23,)-+∞． （Ⅱ）等价于ln 20x x a e ax ++--≥在(0,)x ∈+∞上恒成立， 令()ln 2g x x x a e ax =++--，

因为'()ln 1g x x a =+-，令'()0g x =，得a

e x e

=，

x

(0,)a

e e

a

e e (,)a

e e

+∞ '()g x -

+

()g x

极小值

所以()g x 的最小值为()(1)

22a a a a

e e e e g a a e a a e e e e e =-++--?=+--， 令()2x e t x x e e =+--，因为'()1x

e t x e

=-，

令'()0t x =，得1x =，且

x

(0,1)

1

(1,)+∞

'()t x +

-

()t x

极大值

所以当(0,1)a ∈时，()g x 的最小值1(2)1

()(0)20e e t a t e e e

-->=--

=>，

当[1,)a ∈+∞时，()g x 的最小值为()20a

e t a ae e

=--≥(2)t =， 所以[]1,2a ∈．

综上得a 的取值范围为(0,2]．

22.解：

（Ⅰ）由cos()4π

ρθ+=-

cos sin )ρθρθ-=-

化成直角坐标方程，得)2

x y -=-l 的方程为40x y -+=， 依题意，设(2cos ,2sin )P t t ，则

P 到直线l

的距离|)4|2cos()4t d t ππ++===+． 当24t k π

ππ+=+，即324

t k ππ=+，k Z ∈

时，min 2k =． 故点P 到直线l

的距离的最小值为2．

（Ⅱ）∵曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，

∴t R ?∈，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立，

)4t ?+>-（其中2tan a

?=）恒成立，

4<，又0a >

，解得0a <<

故a

的取值范围为．

23.解：（Ⅰ）当2x =时，()|2|g x a x =--取最大值为a ，

∵()|1||3|f x x x =++-4≥，当且仅当13x -≤≤，()f x 取最小值4， ∵关于x 的不等式()()f x g x <有解，

∴4a >，即实数a 的取值范围是(4,)+∞． （Ⅱ）当72

x =时，()5f x =， 则77()2522g a =-++=，解得132a =，

∴当2x <时，9()2

g x x =+， 令9()42g x x =+=，得12

x =-(1,3)∈-， ∴12b =-，则6a b +=．

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