专题二 三角函数、平面向量

第一讲 三角函数的图象与性质(选择、填空题型)

一、选择题

1．若f(cos x)＝cos 2x，则f(sin 15°)＝( ) 1133A.2 B．－2 C．－2 D.2

3π???πα?5

2．若sin(π－α)＝－3且α∈?π，2?，则sin?2＋2?＝( )

????

6666

A．－3 B．－6 C.6 D.3

π

3．(2014·青岛模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<2的部

?ππ?

分图象如图所示，若x1，x2∈?－6，3?，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝

??

( )

123

A．1 B.2 C.2 D.2

π

4．(2014·江西师大附中模拟)为了得到函数y＝3sin2x－6的图象，

π???只需把函数y＝3sinx－6?上的所有的点的( ) ??

A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

1

B．横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变

C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变

1

D．纵坐标缩短到原来的2倍，横坐标不变

π??π

5．将函数f(x)＝2sin?ωx－3?(ω>0)的图象向左平移3ω个单位，得

??

π??

到函数y＝g(x)的图象．若y＝g(x)在?0，4?上为增函数，则ω的最大值

??

为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

6．(2014·德阳模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，且在[－3，－2]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是( )

A．f(sin α)>f(cos β) B．f(sin α)f(cos β)

??π??

7．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤?f?6??对x

????

?π?

∈R恒成立，且f?2?

??

?11?

A．f?12π?＝－1

???7π??π?B．f?10?>f?5?

????

C．f(x)是奇函数

ππ??

D．f(x)的单调递增区间是?kπ－3，kπ＋6?(k∈Z)

??

8．已知函数f(x)＝|sin x|的图象与直线y＝kx(k>0)有且仅有三个公共点，这三个公共点横坐标的最大值为α，则α等于( )

A．－cos α B．－sin α C．－tan α D．tan α

π??π??1

9．已知曲线y＝2sin?x＋4?cos?4－x?与直线y＝2相交，若在y轴

????右侧的交点自左向右依次记为P1，P2，P3，…，则|P1P5―→|等于( )

A．π B．2π C．3π D．4π

π

10．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈RA>0，ω>0,0<φ<2的周期为

π??2π??

???π，且图象上一个最小值点为M3，－2.当x∈0，12?时，函数f(x)????

的最大值与最小值的和为( )

A．1＋3 B．2

3

C．－1＋3 D.2 二、填空题

11．已知复数z＝(cos α－sin α)＋(tan α)i在复平面内对应的点在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是________．

12．(2014·江苏高考)已知函数y＝cos x与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)，

π

它们的图象有一个横坐标为3的交点，则φ的值是________．

13．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象与直线y＝b(014.已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数，其部分图象如图所示，A，B分别为最高点与最低点，并且A，B两点间距离为25，则ω、φ的值分别是________．

π??

15．若函数f(x)＝2sin?2x＋3?＋1在区间[a，b](a，b∈R且a

??上至少含有30个零点，则在所有满足上述条件的[a，b]中，b－a的最

小值为________．

16．(2014·池州模拟)已知函数f(x)＝cos x·sin x，给出下列五个说法：

?1 921π?1

①f?12?＝4；②若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2；③f(x)在区间??

?ππ?3π

?－，?上单调递增；④将函数f(x)的图象向右平移个单位可得到y

4?63?

?π?1

?＝2cos 2x的图象；⑤f(x)的图象关于点－4，0?成中心对称．其中正确??

说法的序号是________．

答案

一、选择题

3

1．解析：选C f(sin 15°)＝f(cos 75°)＝cos 150°＝－cos 30°＝－2.

3π??5

??， π，2．解析：选B sin(π－α)＝sin α＝－3，又α∈2??

?2α5?22∴cos α＝－1－sinα＝－1－?－?＝－3.由cos α＝2cos22

3??

α?π3π?α－1，2∈?2，4?，cos2＝－

??

?πα?α6sin?2＋2?＝cos2＝－6. ??

cos α＋1

＝－2

2

－3＋1

6

2＝－6，所以

Tπ?π?π2π

??3．解析：选D 由图象可知A＝1，2＝3－－6＝2，所以ω＝T??

?π?π

＝π，ω＝2，将?－6，0?代入y＝sin(2x＋φ)得－3＋φ＝kπ(k∈Z)，又

??

π??ππππ

|φ|<2，所以φ＝3，y＝sin?2x＋3?，其图象对称轴方程为2x＋3＝2＋kπ(k

??

?ππ?πkπ

∈Z)，x＝12＋2(k∈Z)，因为x1，x2∈?－6，3?，f(x1)＝f(x2)，所以x1

??

?ππ?π2π3??＋x2＝6，得f(x1＋x2)＝sin3＋3＝sin3＝2. ??

π????x－4． 解析：选B 将函数y＝3sin6?中的x变为2x，即得到y?

π??1??＝3sin2x－6，故横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，选B. ??

π??π??ωx－5．解析：选B 将函数f(x)＝2sin3?(ω>0)的图象向左平移3ω?

π?π???ππ??

个单位，得g(x)＝2sin?ω?x＋3ω?－3?＝2sin?ωx＋3－3?＝2sin ωx，当x

??????

π?ωπ?π?????????∈0，4时，ωx∈0，4，要使y＝g(x)在0，4?上为增函数，需满足??????ωππ

4≤2，即ω≤2，故ω的最大值为2.

6．解析：选B 因为f(x)为R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，又f(2－x)＝f(x)，所以f(x＋2)＝f(2－(x＋2))＝f(－x)＝f(x)，可见函数以2为周期，因为f(x)在[－3，－2]上是减函数，所以f(x)在[－1,0]上单调递减，故f(x)在[0,1]上单调递增，因为α，β是钝角三角形的两个锐角，

?π?ππ

所以α＋β<2，α<2－β，则0

??

β)，选B.

??π??

7．解析：选D ∵f(x)≤?f?6??对x∈R恒成立，

????

πππ

∴2×6＋φ＝kπ＋2，k∈Z，φ＝kπ＋6，k∈Z.

?π?

∵f?2?0. ??

ππ?11π?

∴φ＝2kπ＋6，k∈Z.不妨取φ＝6，f?12?＝sin 2π＝0，∴A错；

??

?7π??7ππ??π??2ππ?47π17π

∵f?10?＝sin?5＋6?＝sin30＝－sin30<0，f?5?＝sin?5＋6?＝????????

17π

sin30>0，∴B错；

∵f(－x)≠－f(x)，∴C错；

πππππ

∵2kπ－2≤2x＋6≤2kπ＋2，k∈Z，kπ－3≤x≤kπ＋6，k∈Z.∴D对．

8．解析：选D 数形结合可知，函数f(x)＝|sin x|的图象与直线y

3π??

＝kx(k>0)有且仅有三个公共点时，必在?π，2?内相切，且其切点为(α，

??

3π?3π??????－sin α)，α∈π，2.∵当x∈π，2?时，f(x)＝－sin x，f′(x)＝－cos ????sin α

x，∴k＝－α＝－cos α，即α＝tan α.

π??π?π??2???????x＋－xx＋9．解析：选B 注意到y＝2sin4?cos?4?＝2sin?4?＝1?

π????2π

－cos?2?x＋4??＝1＋sin 2x，又函数y＝1＋sin 2x的最小正周期是2＝????

π，结合函数y＝1＋sin 2x的图象(如图所示)可知，|P1P5―→|＝2π.

?2π?

10．解析：选A 由最小值点为M?3，－2?，得A＝2.由T＝π，

??

?2π??4π?2π2π

得ω＝T＝π＝2.由点M?3，－2?在函数图象上，得2sin?3＋φ?＝－

????

?4π?4ππ11π

2，即sin?3＋φ?＝－1，∴3＋φ＝2kπ－2，即φ＝2kπ－6，k∈Z.

??π?π?π????ππ??????又∵φ∈0，2，∴φ＝6，∴f(x)＝2sin2x＋6.∵x∈0，12，∴2x＋6∈??????

?ππ?

?，?，∴1≤f(x)≤3，∴f(x)的最大值与最小值的和为1＋3. ?63?

二、填空题

11．解析：由复数z＝(cos α－sin α)＋(tan α)i在复平面内对应的点在第一象限可得cos α>sin α，tan α>0，当α为第一象限角时，由cos

π

α>sin α，tan α>0可得0<α<4，当α为第三象限角时，由cos α>sin α，

π??5π3π??5π3π

tan α>0可得4<α<2.综上，α∈?0，4?∪?4，2?.

????

π??5π3π??

答案：?0，4?∪?4，2?

????

?π1?

12．解析：由题意可得两个函数图象有一个交点坐标是?3，2?，

??

?2π?1π

所以sin?3＋φ?＝2，又0≤φ<π，解得φ＝6.

??

π答案：6

13． 解析：如图x＝3，x＝6是y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴， ∴周期T＝6，

∴单调递增区间为[6k,6k＋3]，k∈Z.

答案：[6k,6k＋3]，k∈Z

14.．解析：因为y＝sin(ωx＋φ)是偶函数，又0＜φ＜π，所以φ＝

?T?2π

??＋12＝(5)2，所以T＝8，于是T＝.设函数的周期为T，由图可知2?4?

2ππω＝8，得ω＝4. ππ答案：4，2 π??π1??15．解析：由f(x)＝2sin2x＋3＋1＝0得sin2x＋3＝－2，故x＝kπ??

π7π2π

－4或x＝kπ－12π，k∈Z，即f(x)的相邻零点间隔依次为3和3，故若2π

y＝f(x)在[a，b]上至少含有30个零点，则b－a的最小值为14×3＋π43π15×3＝3.

43π答案：3

?1 921π??π?1π11

16． 解析：f(x)＝cos x·sin x＝2sin 2x，f?12?＝f?12?＝2sin6＝4，????

π

①正确；由f(x1)＝－f(x2)＝f(－x2)，知x1＝－x2＋kπ或x1＝2＋x2＋kπ(k

ππππ

∈Z)，②错误；令－2＋2kπ≤2x≤－2＋2kπ，得－4＋kπ≤x≤4＋kπ(k

π?π?

∈Z)，由复合函数性质知f(x)在每一个闭区间?－4＋kπ，4＋kπ?(k∈Z)

??

π?ππ??π?

???上单调递增，但－6，3?－4＋kπ，4＋kπ?(k∈Z)，故函数f(x)在????

?ππ?3π?－，?上不是单调函数，③错误；将函数f(x)的图象向右平移个单4?63?

3π?113π1??位可得到y＝2sin2x－4＝2sin2x－2?＝2cos 2x，④正确；函数的对??

?kπ?kπ

??，0称中心的横坐标满足2x0＝kπ，解得x0＝2，即对称中心坐标为2??

?π?

(k∈Z)，则点?－4，0?不是其对称中心，⑤错误．

??

答案：①④

第二讲 三角恒等变换与解三角形（选择、填空题型）

一、选择题

π?7π???4

1．(2014·安溪模拟)已知cos?α－6?＋sin α＝53，则sin?α＋6?的

????

值是( )

232344A．－5 B.5 C．－5 D.5 π?π??????2．设函数f(x)＝cos2x＋4－sin2x＋4?，则( ) ?????ππ?π

A．函数f(x)在?－4，4?上单调递增，其图象关于直线x＝4对称

???ππ?π??B．函数f(x)在－4，4上单调递增，其图象关于直线x＝2对称 ???ππ?π

C．函数f(x)在?－4，4?上单调递减，其图象关于直线x＝4对称

???ππ?π

D．函数f(x)在?－4，4?上单调递减，其图象关于直线x＝2对称

??3．在△ABC中，cos(2B＋C)＋2sin Asin B<0，则△ABC的形状为

( )

A．锐角三角形 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．不确定

4．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝( )

π2π3π5πA.3 B.3 C.4 D.6

5．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝( )

A．10 B．9 C．8 D．5

6．已知A，B，C三点的坐标分别是A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin

?π3π?

α)，α∈?2，2?，若

??

1＋tan α

＝－1，则＝( )

2sin2α＋sin 2α

59

A．－9 B．－5 C．2 D．3

7．(2014·威海模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，

tan A2c

b，c，若1＋tan B＝b，b＋c＝4，则△ABC面积的最大值为( )

13

A.2 B.2 C．1 D.3

8．(2014·石家庄模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csin A＝3acos C，则sin A＋sin B的最大值是( )

A．1 B.2 C．3 D.3

9．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是( )

A．15海里/时 B．5海里/时

C．10海里/时 D．20海里/时

10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2

＋b2＝mc2(m为常数)，若tan C(tan A＋tan B)＝2tan A·tan B，则m的值为( )

A．2 B．4 C．7 D．8 二、填空题

11．(2014·温州八校联考)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x＋2cos x取得最大值，则cos θ＝________.

12．(2014·江苏高考)若△ABC的内角满足sin A＋2sin B＝2sin C，则cos C的最小值是________．

13．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，cos(A

3

－C)＋cos B＝2，b2＝ac，则B＝________.

14．(2014·福建高考)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________．

答案：23 15.如图所示，点B在以PA为直径的圆周上，点C在线段AB上，

152

已知PA＝5，PB＝3，PC＝7，设∠APB＝α，∠APC＝β，α，β均为锐角，则角β的值为________．

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的序号)．

bc

①acos C<1－acos B；

1

②△ABC的面积为S△ABC＝2AB―→·AC―→·tan A；

③若acos A＝ccos C，则△ABC一定为等腰三角形；

④若A是△ABC中的最大角，则△ABC为钝角三角形的充要条件是－1

π

⑤若A＝3，a＝3，则b的最大值为2.

答案

一、选择题

π??431

1．解析：选C 由cos?α－6?＋sin α＝53，可得2cos α＋sin α·2??

π?43?433343

??α＋＋sin α＝5，即cos α·2＋sin α·6?＝5，2＝5，即3sin?

π?47π???4

sin?α＋6?＝5.由诱导公式可得sin?α＋6?＝－5.故选C. ????

π??π??2． 解析：选C 由题意知，f(x)＝cos2x＋4－sin2x＋4＝2??

?2π?π???2?

?cos?2x＋?－sin?2x＋??

4?24?????2

π??ππ

?? 2x＋＝2cos2x＋4＋4＝2cos2??

＝－2sin 2x，

?ππ?π

由于y＝sin 2x在?－4，4?上单调递增，其图象关于直线x＝4对称，

???ππ?π

所以函数f(x)在?－4，4?上单调递减，其图象关于直线x＝4对称．

??3． 解析：选B 由三角形内角和定理，得B＋C＝π－A，于是

cos(2B＋C)＋2sin Asin B＝cos(B＋π－A)＋2sin Asin B＝－cos(A－B)＋2sin Asin B＝－cos Acos B－sin Asin B＋2sin Asin B＝－cos(A＋B)＝cos C<0，故C为钝角．显然，△ABC为钝角三角形．

4．解析：选B 根据正弦定理，可将3sin A＝5sin B化为3a＝5b，

57

所以a＝3b，代入b＋c＝2a，可得c＝3b，然后结合余弦定理，可得

a2＋b2－c212π

cos C＝2ab＝－2，所以角C＝3.

5．解析：选D 由23cos2A＋cos 2A＝0，得23cos2A＋2cos2 A－1

1

＝0，解得cos A＝5.

由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos A，

112

又a＝7，c＝6，cos A＝5，所以49＝b2＋36－5b，即(b－5)(5b＋13)＝0，又b>0，所以b＝5.

6．解析：选B 由AC―→＝(cos α－3，sin α)，BC―→＝(cos α，sin α－3)，得AC―→·BC―→＝(cos α－3)·cos α＋sin α·(sin α－3)＝－1，

1＋tan α25

故sin α＋cos α＝3，所以2sin αcos α＝－9，＝

2sin2α＋sin 2α

sin α1＋cos α

19

＝＝－5. 2sin2α＋2sin αcos α2sin αcos α

tan A2c2sin C

7．解析：选D 由正弦定理可得1＋tan B＝b＝sin B，即1＋sin Acos B2sin C

sin Bcos A＝sin B，整理得sin Bcos A＋sin Acos B＝2sin Ccos A，即sin(A＋B)＝2sin Ccos A．又A＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sin C，故

1π11

由上式可得，cos A＝2.又A∈(0，π)，所以A＝3.所以S△ABC＝2bcsin A≤2π?b＋c?213??＝××4＝3，故选D. sin3·22?2?

8．

解析：选D ∵csin A＝3acos C， ∴sin Csin A＝3sin Acos C，∵sin A≠0，∴tan C＝3，∵0

?2π?3π3

∴C＝3，∴sin A＋sin B＝sin A＋sin?3－A?＝2sin A＋2cos A＝3

??

π?π???2πππ5π3

sin?A＋6?，∵0

9． 解析：

选C 如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是这只船的速度是10海里/时．

10．解析：选A 由tan C(tan A＋tan B)＝2tan A·tan B，得sin Csin Acos B＋cos Asin B2sin Asin Bsin Csin?A＋B?

·＝，即cos Ccos Acos Bcos Acos Bcos C·cos Acos B＝sin Csin C2sin Asin Bcos C·cos Acos B＝cos Acos B，

sin2Csin2C

所以cos C＝2sin Asin B，因此cos C＝2sin Asin B，综合运用正弦、

a2＋b2－c2c2

余弦定理，得2ab＝2ab，所以a2＋b2＝2c2，故m＝2.

二、填空题

11．解析：由f(x)＝sin x＋2cos x可得f(x)＝5sin(x＋φ)，其中tan

π

φ＝2，当x＋φ＝2＋2kπ(k∈Z)时函数f(x)取得最大值，所以cos θ＝?π?25??cos2－φ＋2kπ＝sin φ＝5. ??

25答案：5

a2＋b2－c2

12．解析：由正弦定理可得a＋2b＝2c，又cos C＝2ab＝122

a＋b－4?a＋2b?2

3a2＋2b2－22ab26ab－22ab6－2＝≥＝4，当2ab8ab8ab

6－2

且仅当3a＝2b时取等号，所以cos C的最小值是4.

6－2

答案：4 3

13．解析：由cos(A－C)＋cos B＝2及B＝π－(A＋C)，得cos(A－

3

C)－cos(A＋C)＝2，即cos Acos C＋sin Asin C－(cos Acos C－sin A·sin

33

C)＝2，所以sin Asin C＝4.又由b2＝ac，利用正弦定理进行边角互化，

33322

得sinB＝sin Asin C，故sinB＝4.所以sin B＝2或sin B＝－2(舍去)，

π2ππ

所以B＝3或3，又由b2＝ac知b≤a或b≤c，所以B＝3.

π答案：3

ACBC

14．解析：法一：在△ABC中，根据正弦定理，得sin B＝sin A，423所以sin B＝sin 60°，解得sin B＝1，因为B∈(0°，120°)，所以B＝90°，

1

所以C＝30°，所以△ABC的面积S△ABC＝2·AC·BC·sin C＝23.

ACBC4

法二：在△ABC中，根据正弦定理，得sin B＝sin A，所以sin B＝23

，解得sin B＝1，因为B∈(0°，120°)，所以B＝90°，所以ABsin 60°

122

＝4－?23?＝2，所以△ABC的面积S△ABC＝2·AB·BC＝23.

答案：23

π

15.解析：因为点B在以PA为直径的圆周上，所以∠ABP＝2，所PB344

以cos α＝PA＝5，sin α＝5，即tan α＝3，因为cos∠CPB＝cos(α－β)PB37221＝PC＝＝10，所以sin(α－β)＝10，即tan(α－β)＝7，所以tan β

1527

tan α－tan?α－β?π??π

??＝tan[α－(α－β)]＝＝1，又β∈0，2，所以β＝4. ??1＋tan αtan?α－β?

π答案：4

b1

16．解析：对于①，注意到当△ABC是正三角形时，acos C＝2＝cπ

1－acos B，因此①不正确；对于②，注意到当A＝2时，tan A不存在，此时结论显然不成立，因此②不正确；对于③，注意到当A＝30°，C＝60°时，A＋C＝B＝90°，此时有acos A＝ccos C成立，但△ABC不是等腰三角形，因此③不正确；对于④，由△ABC是钝角三角形，A是最大内角得A是钝角，即90°

22

sin(A＋45°)<1得－2abb3

由此可知④正确；对于⑤，依题意得sin A＝sin B，sin B＝π＝2，b

sin3

π

＝2sin B的最大值是2当B＝2时取得最大值，因此⑤正确．综上所述，其中正确命题的序号是④⑤.

答案：④⑤

第三讲 平面向量（选择、填空题型）

4．(2014·浙江高考)设θ 为两个非零向量a，b的夹角．已知对任意实数 t，|b＋ta|最小值为1( )

A．若θ 确定，则|a|唯一确定 B．若θ确定，则|b|唯一确定 C．若|a|确定，则θ 唯一确定 D．若|b|确定，则 θ唯一确定

6．(2014·杭州七校联考)正三角形ABC边长等于3，点P在其外接圆上运动，则的取值范围是( )

3331－，? B.?－，? A.??22??22?1311－，? D.?－，? C.??22??22?7．在△ABC中，G是△ABC的重心，AB，AC的边长分别为2,1，∠BAC＝60°，则

＝( )

3218

A．－ B．－ C．－ D．－

3939

8．(2014·天津高考)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若

2

＝－，则λ＋μ＝( )

3

1257A. B. C. D. 23612

9．若平面向量ai满足|ai|＝1(i＝1,2,3,4)且ai·ai＋1＝0(i＝1,2,3)，则|a1＋a2＋a3＋a4|所有可能的取值有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．(2014·安溪模拟)在△ABC中，E，F分别为AB，AC中点，P为EF上任意一点，实数x，y满足

设△ABC，△PCA，△PAB的面积分

S1S2别为S，S1，S2.记＝λ1，＝λ2，则λ1·λ2取得最大值时，2x＋3y的值为( )

SS

5533A．－ B. C．－ D. 2222

(2014·宿州模拟)如图，已知圆M：(x－4)2＋(y－4)2＝4，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E，F分别为边AB，AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，取值范围是( )

A．[－82，82 ] B．[－8,8] C．[－4,4] D．[－42，42 ]

二、填空题

的

12．(2014·北京高考)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.

1

13．(2014·江西高考)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2

3与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝________.

答案：46

．

16.如图所示，两个非共线向量点C在直线MN上，且最小值为________．

的夹角为θ，M、N分别为OA、OB的中点，

则x2＋y2的

答案

2.解析：选C 因为a⊥(a＋b)，所以a·(a＋b)＝0，即(a)＋a·b＝0，解得a·b＝－1，所以

－1a·b23π

cos〈a，b〉＝＝＝－，所以a与b的夹角为.

|a||b|1×224

2

3.

4． 解析：选B 由于|b＋ta|2＝b2＋2a·bt＋a2t2，令f(t)＝a2t2＋2a·bt＋b2，而t是任意实

4a2b2－?2a·b?24a2b2－4a2b2cos2θ4b2sin2θ

数，所以可得f(t)的最小值为＝＝＝1，即|b|2sin2θ＝1，22

4a4a4

可知若θ确定，则|b|唯一确定．

6.

8．解析：选C 如图所示，以菱形ABCD的两条对角线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系xOy不妨设A(0，－1)，B(－3，0)，C(0,1)，D(3，0)，由题意得λ)· ＝(3λ－3，λ－1)，

＝(3－3μ，μ－1)．

＝(1－

9． 解析：选C 因为a1·a2＝0，a2·a3＝0，a3·a4＝0，所以a1⊥a2，a2⊥a3，a3⊥a4，所以a1∥a3，a2∥a4，设a3＝xa1，a4＝ya2，因为|ai|＝1，所以x＝±1，y＝±1，所以|a1＋a2＋a3

2＋a4|＝?1＋x?2a2a2＋?1＋y?2a2＝?1＋x?2＋?1＋y?2，因为x＝±1，y＝±1，1＋2?1＋x??1＋y?a1·

所以当x＝1，y＝1时，|a1＋a2＋a3＋a4|＝?1＋1?2＋?1＋1?2＝8＝22；当x＝－1，y＝－1时，|a1＋a2＋a3＋a4|＝?1－1?2＋?1－1?2＝0；当x＝1，y＝－1时，|a1＋a2＋a3＋a4|＝?1＋1?2＋?1－1?2＝4＝2；当x＝－1，y＝1时，|a1＋a2＋a3＋a4|＝?1－1?2＋?1＋1?2＝4＝2，综上|a1＋a2＋a3＋a4|所有可能的取值有3个，选C.

S1S2解析：选B 由△ABC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，记＝λ1，＝λ2，

SS

?S1＋S2?2

S1S2?2?1111

则λ1·λ2＝2≤.又因为S△PBC＝S△ABC＝S.所以S1＋S2＝S.即λ1λ2≤.当且仅当S12SS22216

＝S2时取到最大值．即P为线段EF的中点．如图所示，连接AP并延长交BC于D点．所

以点D是BC的中点，

又因为

15

所以可得x＝y＝，所以2x＋3y的值为.

22

二、填空题 11.

12.解析：∵|a|＝1，∴可令a＝(cos θ，sin θ)，∵ λa＋b＝0.

2

cos θ＝－，?λ?λcos θ＋2＝0，

∴?即由sin2θ＋cos2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝5.

1??λsin θ＋1＝0，

sin θ＝－，

λ

???

答案：5

13．解析：因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a|＝3，b2＝(3e1－e2)2

2

＝9－2×3×1×cos α＋1＝8，所以|b|＝22，a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e2e2＋2e2＝91－9e1·

1a·b822

－9×1×1×＋2＝8，所以cos β＝＝＝.

3|a|·|b|3×223

22答案：

3

答案：46

1

＝1时，建立直角坐标系，得x＋y＝，2

?1?11

所以x2＋y2的最小值为原点到直线x＋y＝的距离的平方，即x2＋y2的最小值为?2?2＝.

2??8

?2?

法二：

16.解析：法一：当θ＝90°，

1

则原题可转化为当x＋y＝时，求x2＋y2的最小值问题．由x2＋y2的几何意义可知

2

?1?11

x2＋y2的最小值即为原点到直线x＋y＝的距离的平方，即x2＋y2的最小值为?2?2＝.

2??8

?2?

1答案：

8

第四讲高考中的三角函数

（解答题型）

A－B

1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4sin2＋4sin Asin B＝2

2

＋2.

(1)求角C的大小；

(2)已知b＝4，△ABC的面积为6，求边长c的值．

π

0，?时，f(x)的2．(2014·南昌模拟)已知函数f(x)＝2cos2x＋23sin x·cos x＋a，且当x∈??6?最小值为2.

(1)求a的值，并求f(x)的单调递增区间；

1

(2)保持函数y＝f(x)的图象上的点的纵坐标不变，将横坐标缩短到原来的，再把所得图

2

ππ

0，?上的所有象向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求方程g(x)＝2在区间??2?12

根之和．

.

1?2x＋π?，sin x?，n＝(1，sin x)，f(x)＝m·3．(2014·青岛模拟)已知向量m＝?sinn－. 6????2

(1)求函数f(x)的单调递减区间；

A?1

(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a＝23，f??2?＝2，若3sin(A＋C)＝2cos C，求b的大小．

4．(2014·厦门模拟)

某度假区以2014年索契冬奥会为契机，依山修建了高山滑雪场．为了适应不同人群的需要，从山上A处到山脚滑雪服务区P处修建了滑雪赛道A－C－P和滑雪练习道A－E－P(如542

，cos∠APC＝，cos∠APE＝，公路AP长为10(单位：百米)，553

滑道EP长为6(单位：百米)． 图)．已知cos∠ACP＝－

(1)求滑道CP的长度；

(2)由于C，E处是事故的高发区，为及时处理事故，度假区计划在公路AP上找一处D，修建连接道DC，DE.问DP多长时，才能使连接道DC＋DE最短，最短为多少百米？

答案

1． 解：(1)由已知得2[1－cos(A－B)]＋4sin Asin B＝2＋2， 化简得－2cos Acos B＋2sin Asin B＝2，

2

故cos(A＋B)＝－.

23ππ

所以A＋B＝，从而C＝.

44

1π

(2)因为S△ABC＝absin C，由S△ABC＝6，b＝4，C＝，得a＝32.

24222

由余弦定理c＝a＋b－2abcos C，得c＝10.

π

2． 解：(1)函数f(x)＝cos 2x＋1＋3sin 2x＋a＝2sin2x＋＋a＋1，

6

π0，?， ∵x∈??6?πππ?，， ∴2x＋∈?6?62?π

∴f(x)min＝a＋2＝2，故a＝0，f(x)＝2sin2x＋＋1.

6

πππππ

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

26236

ππ

kπ－，kπ＋?(k∈Z)． 故函数f(x)的单调递增区间为?36??πππ

x－?＋?＋1＝2sin4x－＋1， (2)由题意，g(x)＝2sin?4???12?6?6π1ππ5π

4x－?＝，则4x－＝2kπ＋或2kπ＋(k∈Z)， 由g(x)＝2得sin?6?2?666

kππkππ

解得x＝＋或＋(k∈Z)，

21224πππ0，?，∴x＝或， ∵x∈??2?124

ππππ0，?上的所有根之和为＋＝. 故方程g(x)＝2在区间??2?1243π12x＋?＋sin2x－ 3． 解：(1)f(x)＝sin?6??21－cos 2x131

＝sin 2x＋cos 2x＋－ 22223

＝sin 2x. 2

π3π

kπ＋，kπ＋?，k∈Z. 所以f(x)的单调递减区间是?44??

A?133

(2)由f?＝和f(x)＝sin 2x，得sin A＝. ?2?223

636

①若cos A＝，则sin(A＋C)＝cos C＋sin C，

333

又3sin(A＋C)＝2cos C，所以cos C＝2sin C.

6

因为0

3

66

②若cos A＝－，同理可得：cos C＝－，显然不符合题意，舍去．

33

222

所以sin B＝sin(A＋C)＝cos C＝.

33asin B故b＝＝42.

sin A4．(2014·厦门模拟)

54

，cos∠APC＝， 55

253

∴sin∠ACP＝，sin∠APC＝.

55解：(1)∵cos∠ACP＝－

∵sin∠PAC＝sin(∠APC＋∠ACP)＝sin∠APC·cos∠ACP＋sin∠ACP·cos∠APC＝APPC

＝，

sin∠ACPsin∠PAC∴CP＝5，

∴滑道CP的长度是5百米． (2)设DP＝x，x∈[0,10]．

42

∵EP＝6，CP＝5，cos∠APC＝，cos∠APE＝，

53

∴DE＝x2＋36－2x·6·cos∠APE＝x2－8x＋36，

DC＝x2＋25－2x·5·cos∠APC＝x2－8x＋25， ∴DE＋DC＝x2－8x＋36＋x2－8x＋25，

令f(x)＝DE＋DC＝x2－8x＋36＋x2－8x＋25＝?x－4?2＋20＋?x－4?2＋9， 当且仅当x＝4时，f(x)min＝f(4)＝3＋25.

∴当DP为4百米时，DE＋DC最短，为(3＋25)百米．

5， 5

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1897.html