2020年九年级数学中考复习专题：规律探究题 导学案

专题一探索规律问题

一、考点解读

中考难度：在日照中考中探索规律问题五年四考（2019、2017、2016、2015），难度适中.

考察方式：该题型通常出现在选择题第11或12题，主要表现为数式、图形等变化的规律.

解题策略：探索规律问题常见的有数式规律（数字规律探索、数字循环类规律探索、等式规律探索）、点的坐标规律、图形变化规律.问题的结论不是直接给出，而是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探索其中隐含的规律，进而归纳或猜想出一般性结论.

重要的数学思想：由特殊到一般.

日照近五年中考题：

1．（2019?日照）如图，在单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2019的坐标为（）

A．（﹣1008，0）B．（﹣1006，0）C．（2，﹣504）D．（1，505）

2．（2017?日照）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（）

A．23 B．75 C．77 D．139

3．（2016?日照）一个整数的所有正约数之和可以按如下方法求得，如：

6＝2×3，则6的所有正约数之和（1+3）+（2+6）＝（1+2）×（1+3）＝12；

12＝22×3，则12的所有正约数之和（1+3）+（2+6）+（4+12）＝（1+2+22）×（1+3）

＝28；

36＝22×32，则36的所有正约数之和

（1+3+9）+（2+6+18）+（4+12+36）＝（1+2+22）×（1+3+32）＝91．

参照上述方法，那么200的所有正约数之和为（）

A．420 B．434 C．450 D．465

4．（2015?日照）观察下列各式及其展开式：

（a+b）2＝a2+2ab+b2

（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3

（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

…

请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（）

A．36 B．45 C．55 D．66

二、典例评析

类型一数式规律

命题角度一数字规律探索

例一、(2018·泰安中考)观察“田”字中各数之间的关系：

，则c的值为________．命题角度二数字循环类规律探索

例二、(2019·济宁中考)已知有理数a≠1，我们把

1

1－a

称为a的差倒数，如：2的差倒数是

1

1－2

＝－1，－1的差倒数是1

1－（－1）＝

1

2.如果a1＝－2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，

a4是a3的差倒数，…，依次类推，那么a1＋a2＋…＋a100的值是( ) A．－7.5 B．7.5 C．5.5 D．－5.5 命题角度三等式规律探索

例三、(2018·滨州中考)观察下列各式：

1＋1

12＋

1

22＝1＋

1

1×2，

1＋1

22＋

1

32＝1＋

1

2×3，

1＋1

32＋

1

42＝1＋

1

3×4，

…

请利用你所发现的规律，

计算1＋1

12＋

1

22＋1＋

1

22＋

1

32＋1＋

1

32＋

1

42＋ (1)

1

92＋

1

102，其结果为________．

类型二点的坐标规律

例四、(2019·日照中考)如图，在单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2，0)，A2(1，1)，A3(0，0)，则依图中所示规律，A2 019的坐标为( )

A．(－1 008，0) B．(－1 006，0) C．(2，－504) D．(1，505)

类型三图形变化规律

例五、如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…，按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为________个．

知能训练：

1．(2019·武汉中考)观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2；….已知按一定规律排列的一组数：250，251，252，…，299，2100.若250＝a ，用含a 的式子表示这组数的和是

2．(2019·改编题)观察下列等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，…，根据这个规律，则21＋22＋23＋24＋…＋22 019的末位数字是( )

A ．0

B ．2

C ．4

D ．6

3．一列数a 1，a 2，a 3，…满足条件：a 1＝12，a n ＝

11－a n －1(n≥2，且n 为整数)，则a 2 019＝________. 4．(2019·安徽中考)观察以下等式：

第1个等式：21＝11＋11，

第2个等式：23＝12＋16，

第3个等式：25＝13＋115，

第4个等式：27＝14＋128，

第5个等式：29＝15＋145，

…，

按照以上规律，解决下列问题：

(1)写出第6个等式：________；

(2)写出你猜想的第n个等式：________(用含n的等式表示)，并证明．

5．(2019·泰安中考)在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，…，点A1，A2，A3，A4，…在直线上，点C1，C2，C3，C4，…在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是________．

6．(2019·天水中考)观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2 019个图形中共有______________个.

参考答案

例1观察“田”字中各数之间的关系得：左上角数字为连续的正奇数；左下角数字为2的整数指数幂；右下角数字则为左上角与左下角两数字的和；右上角的数字为右下角数字与1的差．

故此，可知a＝28＝256，b＝15＋256＝271，c＝271－1＝270.故答案为270.

例2 ∵a1＝－2，∴a2＝

1

1－（－2）

＝

1

3，

a3＝

1

1－1

3

＝

3

2，

a4＝

1

1－3

2

＝－2，…

∴这个数列以－2，1

3，

3

2依次循环，且－2＋

1

3＋

3

2＝－

1

6.

∵100÷3＝33……1，

∴a1＋a2＋…＋a100＝33×(－1

6)－2＝－

15

2＝－7.5.故选A.

例31＋1

12＋

1

22＋1＋

1

22＋

1

32＋1＋

1

32＋

1

42

＋…＋1＋1

92＋

1

102

＝1＋

1

1×2＋1＋

1

2×3＋1＋

1

3×4＋ (1)

1

9×10

＝1×9＋1－1

2＋

1

2－

1

3＋

1

3－

1

4＋…＋

1

9－

1

10

＝9＋1－1

10

＝99 10.

故答案为99 10.

例4 2 019÷3＝673，故△A2 017A2 018A2 019在x轴的上方，且A2 019在x轴负半轴．∵A3(0，0)，A7(2，0)，…，(2 019－3)÷4×2＝1 008，故A2 019(－1 008，0)．故选A.

例5 ∵第1个图由6个正方形和6个等边三角形组成，

∴正方形和等边三角形的个数之和为6＋6＝12＝9＋3；

∵第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成，

∴正方形和等边三角形的个数之和为11＋10＝21＝9×2＋3；

∵第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成，

∴正方形和等边三角形的个数之和为16＋14＝30＝9×3＋3；…

∴第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为9n＋3.

故答案为9n＋3.

1．2a 2-a

2．C

3.－1 4．解：(1)

211＝16＋166

(2)22n －1＝1n ＋1n （2n －1） 证明：∵1n ＋1n （2n －1）＝2n －1＋1n （2n －1）＝22n －1

， ∴等式成立． 5.2(2n －1)

6. 6 058

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