中级微观经济学部分习题答案

P12习题解题思路

1、3、5、6、11题均略。

8．（1）当x1?2x2?2x1?x2，即x1?x2时，u?3x1；

当x1?2x2?2x1?x2，即x1?x2时，u?2x1?x2，MRS1,2?12； 当x1?2x2?2x1?x2，即x1?x2时，u?x1?2x2，MRS1,2?2。 无差异曲线为：

x245?2x1?x2x1?2x2x1

（2）当x1?5, x2?2时，x1?x2，u?x1?2x2，MRS1,2?2，消费者愿意用2单位x1去交换1单位x2。

当x1?2, x2?5时，x1?x2，u?2x1?x2，MRS1,2?12，消费者愿意用12单位x1去交换1单位x2。

当x1?5, x2?5时，x1?x2。消费者用x1去交换x2，则x1减少而x2增加，因此交换后x1?x2，u?2x1?x2，MRS1,2?12，消费者愿意用12单位x1去交换1单位x2。

扩展习题

1． 已在生产函数部分讲过。

P22习题解题思路

1．设消费者的效用函数为u(x1,x2)?ax1?bx2，消费者的预算约束线位p1x1?p2x2?y。 两种商品的边际替代率（即无差异曲线的斜率）为MRS1,2?dx2a??，预算线的斜率为dx1b1

dx2pap ??1。在这种情况下，?1未必成立，因此，在大多数情况下，最优解为角点解。

dx1p2bp2 我们分为三种情况进行讨论，如下图所示。其中，实线代表无差异曲线，虚线代表预算约束线。

x2?Ax2x2Ayp1x1?Ayx1p1Ayp1x1

根据图示，我们很容易得到最优解的形式（商品2的需求函数略）：

?ap1?0, if??bp2??yapx1??, if?1

bp2?p1?yap??[0,] if?1p1bp2?

5． 略 10．略

11．可先作正单调变换：V?eU?xy，再计算。以下略。

14．思路同第一题，略。

P31习题解题思路

3． 以希克斯分解为例，斯类茨基分解略。 （1）一般商品：

x2D?B?Au1?C???x1???x1x12

u0x1

初始预算线DA，初始消费束A；商品1的价格上涨后的最终预算线DC，最终消费束

???为收入效应。对于一般低档???x1?为价格上涨的总效应，x1????x?为替代效应，x???x1C。x1品，替代效应为负，收入效应为正，但是收入效应的绝对值比替代效应的绝对值小，因此价格上涨的总效应为负。商品2的分解略。

（2）吉芬商品：

x2D?B?Au0C?

对于吉芬商品，替代效应为负，收入效应为正，但是收入效应的绝对值比替代效应的绝对值大，因此价格上涨的总效应为正。商品2的分解略。

???x1??x1?x1u1x1??2；y?120 5． p1?3;p1x1?10?y120y120??10??10??14； x1?10??16

?10p110?310p110?2??x1?2 总效应=x1价格下降以后，要使初始消费束x1仍然买得起，收入水平的调整为

??p1)x1??14。在收入调整以后，对商品1的需求为 ?y??p1x1?(p1???10?x1y??y106?10??15.3 ?10p110?2S???x1?15.3?14?1.3，收入效应为因此，商品1价格下降的替代效应为?x1?x1??x1??。 ?x1M?x11?16?15.3?0.7

7．以希克斯分解为例，斯勒茨基分解见习题5。

（1）初始选择由下式决定：

tp1x1?p2x2?y maxu(x1,x2)?x1x2 s.. x1,x22 解之得：x1(p1,p2,y)?2y2?48y48??16; x2(p1,p2,y)???8 3p13?23p23?23

初始价格下的消费者效用为v(p1,p2,y)?162?8?2048。 （2）在价格变动以后，要达到初始的效用水平，消费者的优化问题为

?x2 s.. tu(x1,x2)?x1x2?2048 mine?p1x1?p2x1,x22?2x L?p 2)?(2048?2x1x1?p2?1x??L??x?p1??2x1x2?0?1??L3???x21?0 ? x??1?x??? FOC ??p2284 ??x2??L2??2048?x1x2?0????=1之后，最优选择为 第二种商品的价格下降为p2??x1(p1,p2?,y)?x12y2?48y48??x2(p1,p2?,y)???16; x2??16

?3?13p13?23p2商品1的替代效应和收入效应分别为

???x1?834?16；??x1???16?834 ?x1S?x1 ?x1M?x1商品2的替代效应和收入效应分别为

SM3???x2?834?8；??x???x2?x2 ?x2?x22?16?84

12．如下图

pADBCEq***q*q

** 初始价格为D，初始购买量为q；征税以后的价格为A，征税以后的购买量为q；每单位的税收为A?D?p?。

消费者剩余的损失为梯形ABED的面积，政府所得税额为长方形ABCD的面积，三角形BCE的面积为社会福利的净损失。

P41习题解题思路

4

1． 设（a0,b0）为初始禀，则

maxu(a,b)?ab

a,bs.. tPAa?PBb?PAa0?PBb0

? a*?余略。

PAa0?PBb0*PAa0?PBb0 ;b?2PA2PB

3． 设非劳动收入为I，工资率为w，则消费者的优化问题为

maxu(C,R)?C?(12?R)2Rs.. tPCC?wR?16w?I

*? C*(P,w,I),R(PCC,w,I)

余略。

5． 略。

P50习题解题思路

3． 设消费者愿意支付的最高保费为x，则

0.9590000?0.0590000?80000?90000?x ? 290?90000?x ? x?5900

5． P(?111)?(1?P)(?)?? w1w2ww1w2 ? w?(1?P)w1?Pw2

I7． 分别用c2和c2表示发生和未发生通货膨胀时的第二期的消费支出，消费者的优化问题

NI为

5

INImaxEu(c1,c2)?2lnc1?0.5lnc2?0.5lnc2c1,c2Is.. tc2?300?c1NI c2?(300?c1)(1?0.2)

*?200，储蓄100。 ? c1P59习题解题思路

5． maxC?wl?rk

k,l1 s.t. l(?k???)? q求解此问题，可得条件要素需求函数l*(w,r,q),k*(w,r,q)，再将此结果代入

C?wl?rk即得成本函数

? C*(w,r,q)?wl*(w,r,q)?rk*(w,r,q)

6． 先求相对于每一产量水平q的要素k的最优量

?STC1??q?10k?0 ? k*?q ?k10再将此式代入短期成本函数STC的表达式，即得长期成本函数。

11．（1） max??4lk?(wl?rk)

k,l1214由一阶条件即可得要素需求函数：

13????4?24?lk?r?0k?????k?w2r2

???11?????2l2k4?w?0?l?8??w3r???l （2） 略

19．max??pxx0.5?wx

FOC 0.5px?0.5?w?0

?要素需求函数： x*?(p2) 2w6

?供给函数：q?(x*)0.5??利润函数：略

p 2wP70习题解题思路

1 略 5 略

7 见讲义，略

P89习题解题思路

4． 有效率的产出水平在p(q**)?MC(q**)上达到（下图）。

在没有补贴的情况下，垄断厂商利润最大化的产出水平在MR(q*)?MC(q*)上达到。由于MR(q)?p(q)[1?11****，。 ]，因此，p(q*)[1?q?q]?MC(q)*?(q)?(q)如果政府对每单位商品补贴t，那么厂商的边际成本为MCS(q)?MC(q)?t，要达到有效率的产出水平，必须满足MR(q**)?MCS(q**)。由于MR(q**)?p(q**)[1?1]，**?(q)因此p(q**)[1?1**]?MC(q)?t。 **?(q)**p(q**)由于p(q)?MC(q)，因此，t?。

?(q**)**pMC(q)p(q)q*0?MR(q)q**q

MC(q)?t请注意，在这里，我们没有考虑政府的预算约束。

12. （1） Q1?55?P1 ? P1?55?Q1

7

Q2?70?2P2?35?2 ? PQ11Q2 2 在第一个市场上：max?1?(55?Q1?5)Q1

FOC

??1**?50?2Q1?0 ? Q1*?25，P?50?Q11?25 Q1

?1?(50?25)?25?625

Q2在第二个市场上：max?2?(35? FOC

1Q2?5)Q2 21*??2*?15 ?30?Q2?0 ? Q2?30，P2*?30?Q22Q2 ?2?(30?

1?30)?30?450 2???1??2?1075

（2）均衡时有P1?P2?c。厂商的优化问题为

max??(P1?5)(55?P1)?(P2?5)(70?2P2)

P1,P2 s.. tP1?P2?c 后面的解题步骤和结果略。

（3）max??(P?5)[(55?P)?(70?2P)]

P后面的解题步骤和结果略。

13．（1）Q?360?20P?P?18? max??(18?Q1Q 201Q)Q?6Q?0.05Q2 20 FOC 18?1Q?6?0.1Q?0?12?0.2Q?0 10*** ?QM略 ?60,PM?15,?M（2）完全竞争均衡条件：P(QC)?MC(QC)，即18?*** ?QC?80;PC?14。即产量规定为80。?C?0

**1**QC?6?0.1QC 20（3）与（2）同。最高价格规定为14。

P97习题解题思路

8

3. 设在位厂商的产量为q1，潜在进入者的产量为q2。在位者首先确定自己的产量，潜在进入者在观察到q1后，再确定自己的产量q2。 潜在进入者的优化问题为

?2q(2?) maxq2[1?3q1?(q2q)]q2?(2? 6.25)

q??2(q2)?13?q1?2q2?1?0 ? q2?6?1

2?q2 ?2(q1)?[13?(q1?6?q1qq1)](6?1)?(6?1?6.25)?(q1?7)(q1?17) 2224 令?2(q1)?0，得q1?7或q1?17。 然后比较?1(q1)此q1?7。

p?13?q1?6。

7．

（1）max?(Q1,Q2)?[10?(Q1?Q2)](Q1?Q2)?(4?2Q1)?(3?3Q2)

Q1,Q2q1?7和?1(q1)q1?17的大小，有?1(q1)q1?7??1(q1)q1?17，因

S.t. Q1?0 Q2?0

这里出现了不等式约束下的优化问题，我们在课上没讲，大家可以读Nicholson的第二章相关内容。

直观上说，Q1和Q2中有一个可能会取0值。由下图可见，如果Qi的最优取值为0，则必有

???0（左图）。 ?Qi??0Q

9

0Q?Q

由于

????????。由于Q1和Q2?8?2(Q1?Q2)，?7?2(Q1?Q2)。因此，??Q2?Q1?Q1?Q2????这种情况。唯一可能的就是??Q1?Q2的最优值不可能都为0，因此，我们排除0?0?????**。这样，根据上面的直观判断，我们有Q1??0，Q2?0，其代入将

?Q1?Q2*8?2(Q1?Q2)?0，得到Q2?4。

直观理解：因为两家厂商的边际成本皆为常数，要最大化两家企业的总利润，就应该让边际成本低的企业供应全部产量，而边际成本高的厂商停产。

这种情况一般仅在边际成本不变的情况下出现。如果边际成本可变，则一般情况下，最优产量安排将使两家企业的边际成本相等。

然后据此得到均衡价格和利润?M，此利润也是企业1垄断市场时的垄断利润。

D（2）古诺均衡易得。由此求得两家企业各自的古诺竞争利润：?1D和?2。

D（3）收购价位于以下区间：[?2,?M??1D]，具体的收购价取决于双方的谈判实力。 8．

,1100?（1）每家小企业的供给函数为P?MCi?Qi?5，即Qi?P?5，（i?2产业供给函数为Qs?）。

?Qi?1000P?5000，或者P?i1Q?5。 1000，解之得均衡价格P?25。

*000在均衡处，Qs?Qd，即1P500?02000??70000P?（2）在价格领导模型中，领导者（大企业）首先确定价格，跟随者（小企业）根据此价格确定自己的供给量。因此，领导者在确定价格时，必须考虑跟进者随后的反应。

假设大企业设定的价格为p，此即市场价格。给定此价格，每家小企业的供给数量为

Qi?p?5，1000家小企业的总供给数量为Qfollower??i?1qi?1000p?5000。

给定所有小企业（follower）的产量，大企业（leader）的剩余需求为

1000Qleader?Q?Qfollower??2000p?70000?(1000p?5000)??3000p?75000

大企业（leader）的利润函数为?leader?(p?MC)Qleader?(p?15)(?3000p?75000)。其优化问题为

max?leader?(p?15)(?3000p?75000)

p10

FOC

??leader??6000P?120000?0 ?p ? p*?20

10．在合谋的情况下，两家企业确定总产量以最大化总利润：

max?collusion(Q)?[a?Q]Q?cQ

Q FOC

??collusion?0 ? ?p*iQ * ? a?c2P*?, a ?Q*?a?c 2 Q*a?c?每家企业的产量为Q?，i?1,2。 24

给定一家企业（企业i）的产量Qi?*a?c，另一家企业（企业j）的利润函数为4?j(Qj)?[a?(Q*i?Qj)]Qj?cQj?[(a?c)?Qj]Qj。对他来说，最优产量由以下优化

问题确定：

max?j(Qj)?[(a?c)?Qj]Qj

Qj3434 FOC

??j(Qj)?Qj3?0 ? Qd?(a?c) j8由于两家企业的对称性，因此，这一结论也适用于企业i。 因为(a?c)?激励。

381*(a?c)，即Qd?Qjj，因此，每家企业都有违背合约，扩大产量的4P106习题解题思路

2． 第i个人的捐款数额用xi表示，其收益函数为

yi?由于

2(xi??j?ixj)N?xi （i?1,2,?,N）

??0 if N?2?yi2，因此，每个参与人的最优捐款数额为 ??1 ??xiN??0 if N?211

xi*?

??0 if N?2 （i?1,2,?,N）

??[0,100] if N?24．设政府救助的概率为r，失业者搜寻的概率为s，则政府救济和不救济的期望收益分别为

Eug(救济)?3s?(?1)(1?s); Eug(不救济)?(?1)?s?0?(1?s)

失业者搜寻河等待的期望收益分别为

Eul(搜寻)?2r?1(1?r); Eul(等待)?3r?0?(1?r)

令Eug(救济)?Eug(不救济)，得s?0.2；令Eul(搜寻)?Eul(等待)，得r?0.5。 于是，该博弈的混合策略纳什均衡为（0.5救济，0.5不救济；0.2搜索，0.8等待）。

8．我们可以用排除法来求解均衡。 假设顾客的总数量为1，如下图所示。

（1）两家银行（分别记为银行A和银行B）的情形

首先假设两家银行选择不同的位置，在下图中，银行A和银行B的位置分别位于xA和xB点（xA?xB），两家银行的顾客数量分别为xA?(xB?xA)2和(1?xB)?(xB?xA)2。给定银行B的选择，银行A向右移动，直至十分接近xB，这样，银行A可以从银行B处挖走数量为(xB?xA)2的顾客；同样的道理，银行B也有向左移动的激励。因此，xA和xB（xB?xA）不可能构成一个均衡。均衡要求两家银行位于同一点上。

银行A**0?xA?xB银行B1

假设两家银行皆位于x点（其中x?12）上，它们各自分得数量为12的顾客。在这种情况下，给定银行B的选择，银行A稍稍向左移动一点（假设距离为?），就可以得到数量为x??2的顾客，由于?可以足够小，因此x??2?12，所以银行A有偏离的动机（下图）；同样的道理，银行B也有向左移动的激励。因此，两家银行皆位于x点（其中x?12）不可能构成一个均衡。同样的道理，如果两家银行皆位于x点（其中x?12），那么它们都有向右边小幅移动的激励，因此，这也不可能构成一个均衡。

银行A0???x?x银行B1

这样，我们就知道在两家银行的情况下，唯一的均衡就是两家银行皆位于12处，即街道的中点。

12

（2）三家银行（分别记为银行A、银行B和银行C）的情形

我们可以分三种情况来讨论：i三家银行分别位于不同的位置；ii两家银行位于同一点，另一家银行位于另一点；iii三家银行位于同一点。

i三家银行分别位于不同的位置

设银行A、银行B和银行C的位置分别位于xA、xB和xC点（xA?xB?x，三家银C）行的顾客数量分别为xA?(xB?xA)2、(xB?xA)2?(xC?xB)2和

(1?xC)?(xC?xB)2。同上面两家银行情形类似，给定其他人的策略（位置）不变，银行

A有向右移动，接近xB的激励；而银行C也有向左移动，接近xB的激励；而银行B则有向两边移动的激励。所以，三家银行分别位于不同的位置不可能构成一个均衡。

银行A银行B0?xA?xB?xC银行C1

ii两家银行位于同一点，另一家银行位于另一点

这种情况与上面的两家银行分别位于不同位置的情形类似，也不可能构成一个均衡。

iii三家银行位于同一点

如果三家银行位于非中点的同一点上，则这种情况与上面的两家银行位于非中点的同一点的情形类似，不可能构成一个均衡。

如果三家银行皆位于中点上，则各自得到13的顾客。这种情况下，给定其他人的策略（位置）不变，任何一家银行稍稍偏离一点（假设距离为?），即可获得12??2的顾客，由于?可以足够小，因此12??2?13，所以任何一家银行都有偏离的动机。因此，这也不可能成为一个均衡。

因此，在三家银行的情形下，没有纯策略的纳什均衡。 （4）四家银行的情形

我们可以分三种情况来讨论：i四家银行分别位于不同的位置；ii三家银行位于同一点，另外一家银行位于另一点；iii两家银行位于一点，另外两家银行位于另一点；iv四家银行位于同一点。

很容易证明四家银行分别位于不同的位置不i 与两家银行位于不同位置的方法类似，可能构成一个均衡。

ii与两家银行位于不同位置的方法类似，很容易证明三家银行位于同一点，另外一家

银行位于另一点不可能构成一个均衡。

iv与三家银行位于同一点的方法类似，很容易证明四家银行位于同一点不可能构成

一个均衡。

iii两家银行位于一点，另外两家银行位于另一点

用两家银行位于非中点的同一点上相类似的方法，很容易在两家银行位于一点，另外两家银行位于另一点这种策略组合下，只要这两点不是（14,34），那么就不构成纳什均衡。

13

下面我们来看两家银行（银行A、银行B）位于14点，另外两家银行（银行C、银行D）位于34点这种策略组合。在这种策略组合下，每家银行得到14的顾客（下图）。

银行AB银行CD0?14?12?341

给定其他三家银行（A、B、C）的策略不变，我们来看看银行D有无激励去背离（该策略组合）。显然，银行D不会向右边移动，如果移动有利可图，那只能是向左边移动（当然也不会移到14点以左），假设它移向M点（下图）。这样，位于14点与M点之间的中点以右、34点与M点之间的中点以左的顾客将选择银行D，其顾客的比例为

M?1434?M1?? 224 偏离的净收益为零，因此，在这种策略组合下，没有一家银行会选择单方面偏离。因此，策略组合（14，14，34，34）构成一个（弱）纳什均衡。

银行AB银行D银行C0?14??M341

注意，在这里，我们假设没有结盟，即仅仅考察在给定其他三家银行的策略的情况下，有没有一家银行会单方面偏离（“纳什均衡”的定义）。如果允许结盟，那么在上面的策略组合下，银行AB作为一个联盟，银行CD作为一个联盟，都有激励偏离均衡，向中点移动。而我们已经证明，四家银行皆位于中点不是一个均衡。因此，在这种情况下，纯策略的均衡（不是“纳什均衡”）就是不存在的。

Wl?2?100；如果重点14．如果全面复习，学生的期望效用为EU(e?100)?0.9Wh?0.1复习，期望效用为EU(e?20)?0.5Wh?0.5Wl?2?20。学生选择全面复习，当且仅当全面复习所带来的期望效用比重点复习所带来的大：

?100?)EU(e? EU(e9h?0.W1l? 0.W

? Wh?Wl?400

2 0W0.h5?W0.l?5?

?210?014

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/180p.html