大物习题答案8

第 8 章

8-1 目前可获得的极限真空为1.33?10?11Pa，，求此真空度下1cm3体积内有多少个分子?(设温度为27℃)

[解] 由理想气体状态方程P?nkT

NPV kT，N?VkT1.33?10?11?1?10?6?3.21?103(个) 故 N??231.38?10?300得 P?

8-2 使一定质量的理想气体的状态按p?V图中的曲线沿箭头所示的方向发生变化，图线的BC段是以横轴和纵轴为渐近线的双曲线。

(1)已知气体在状态A时的温度是TA?300K，求气体在B、C、D时的温度。 (2)将上述状态变化过程在 V?T图(T为横轴)中画出来，并标出状态变化的方向。 [解] (1)由理想气体状态方程PV/T＝恒量，可得：由A→B这一等压过程中

VAVB? TATB则 TB?VB20?TA??300?600 (K) VA10因BC段为等轴双曲线，所以B→C为等温过程，则

TC?TB?600 (K)

C→D为等压过程，则

VDVC? TDTCTD?VD20?TC??600?300 (K) VC40(2)

v(l) C40 30D B20 10A 0T(K)300600

8-3 有容积为V的容器，中间用隔板分成体积相等的两部分，两部分分别装有质量为m的分子N1 和N2个, 它们的方均根速率都是?0，求： (1)两部分的分子数密度和压强各是多少?

(2)取出隔板平衡后最终的分子数密度和压强是多少?

[解] (1) 分子数密度 n1?N1N?21V1V8-1

n2?N2N?22 V2V由压强公式：P?1nmV2， 32mN2V0212 P2?n2mV0?33V2mN1V0212可得两部分气体的压强为 P1?n1mV0?33V(2) 取出隔板达到平衡后，气体分子数密度为 n?NN1?N2 ?VV混合后的气体，由于温度和摩尔质量不变，所以方均根速率不变，于是压强为：

(N1?N2)mV0212P?nmV0?

33V

8-4 在容积为2.5?10?3m3的容器中，储有1?1015个氧分子，4?1015个氮分子，3.3?10?7g氢分子混合气体，试求混合气体在433K时的压强。

[解] 由 P?nkT

N1?N2?N3

V3.3?10?7N3??6.02?1023

2N?N2?N3则 P?1kT?0.25 (Pa)

Vn?

8-5 有2?10?3m3刚性双原子理想气体，其内能为6.75?102J。 (1)试求气体的压强。

(2)设有5.4?1022个分子，求分子的平均平动动能及气体，温度。

[解] (1)理想气体的内能 E?N?kT (1)

压强 P?nkT?由(1)、(2)两式可得 P?i2NkT (2) V2E1.35?105 (Pa) 5Vi2E(2) 由 E?N?kT 则 T??362(K)

25kN33又 w?kT??1.38?10?23?362?7.5?10?21 (J)

22

8-6 一容积为10cm3的电子管，当温度为300K时，用真空泵把管内空气抽成压强为

5?10?6mmHg的真空，问此时管内有多少个空气分子?这些分子的总平动动能是多少?总转

动动能是多少?总动能是多少?

[解] 由理想气体状态方程 P?NkT 得 V8-2

PV5?10?6?1.013?105?10?10?6N???1.61?1012 ?23kT760?1.38?10?300i3一个理想气体分子的平均平动动能为： e1?kT?kT

22所以总的平均动能为：

3PV3335?10?6?1.013?105E1?NkT??kT?PV??1.0?10?6?1?10?8 (J)

2kT222760将空气中的分子看成是由双原子刚性分子组成，而每一个双原子分子的平均转动动能为：

e2?r2kT?kT?kT 22所以总的转动动能为：

PV5?10?6?1.013?105E2?Ne2?kT?PV??10?10?6?0.667?10?8 (J)

kT760总动能Ek?E1?E2?1.667?10?8 (J)

8-7 某些恒星的温度可达108K的数量级，在这温度下原子已不存在，只有质子存在。试

求：(1)质子的平均动能是多少电子伏?(2)质子的方均根速率是多少?

[解] 质子只有3个平动自由度，所以其平均动能也就是它的平均平动动能

E?33kT??1.38?10?23?108/1.602?10?19?1.29?104(eV) 22质子的方均根速率为：

3kT3?1.38?10?23?108????1.58?106(ms) ?27mp1.673?102p

8-8 容器内某理想气体的温度T?273K，压强P?1.00?10?3atm,密度为1.25g/m3,求： (1)气体分子的方均根速率；

(2)气体的摩尔质量，是何种气体?

(3)气体分子的平均平动动能和转动动能； (4)单位体积内气体分子的总平动动能；

(5)气体的内能。设该气体有0.3mol。

[解] (1) 由P?nkT 得 n?所以 m?2P kT?n??kTP

3kT所以 ???m(2) 气体的摩尔质量 Mmol?N0m?N03kT3P3?1.00?10?3?1.013?10?3(ms) ?P???493?kT?1.25?10?3?kT1.25?10?3?1.38?10?23?273?6.02?10??0.028?kgmol? p1.00?10?3?1.013?105238-3

所以该气体是N2或CO (3) 气体分子的平均平动动能

??kT??1.38?10?23?273?5.65?10?21?J?

气体分子的转动动能

3232?2?kT?1.38?10?23?273?3.77?10?21?J?

(4) 单位体积内气体分子的总平动动能

22E?n?1?p333?kT?p??1.00?10?3?1.013?105?1.52?102?Jm-3? kT222(5) 该气体的内能

i5E?0.3Emol?0.3?RT?0.3??8.31?273?1.701?103?J?

22

8-9 容积为10?10?3m3的容器以速率200ms匀速运动,容器中充有质量为50g，温度为18℃的氢气。设容器突然静止，全部定向运动的动能都转变为气体热运动的动能，若容器与

外界没有热交换，达到平衡时氢气的温度增加了多少?压强增加了多少?氢分子视为刚性分子。

[解] 由能量守恒定律知 又因 ?Ek?1Mv2??Ek 2MiM5RT?RT

Mmol2Mmol2Mmol2mv23.35?10?27?4?104v???1.9?K? 所以 ?T?5R5k5?1.38?10?23N由 p?kT

VNMk?T50?10?3?1.38?10?23?1.9?p?k??T???3.95?104?Pa? ?27?3VmV3.35?10?10?10

8-10 一摩尔水蒸气分解成同温度的氢气和氧气，内能增加了百分之几(不计振动自由度)?

[解] 由水的分解方程知，1mol水蒸气分解为1mol氢气和

1mol氧气。设温度为T， 26RT?3RT 251mol氢气的内能 E2?RT

21155mol氧气的内能 E3??RT?RT 22243所以 ?E?E2?E3?E1?RT

41mol水蒸气的内能 E1?8-4

所以内能增加的百分比为

?E?100%?25% E1

8-11 求速度与最概然速率之差不超过最概然速率1%的分子数占分子总数的百分比。

[解] 根据题意，由麦克斯韦分布定律

?N4?m??2kT2?v?v ??eN2kT???又 vp?32mv22kT m?v???vp?????2所以

?N4?3?vpeN?v2?v??4??v?e????vp?2?v???vp?????2?v vpvp??vp?????在vp附近，v?vp ?v??v??v??p100??p100??0.02vp

?????N4??e?1?0.02?1.66% N?

8-12 速率分布函数的物理意义是什么?试说明下列各量的意义：

(1) f(?)d?；(2) Nf(?)d?；(3)

??2?1f(?)d?；(4)?Nf(?)d?；(5)??f(?)d?。

?1?1?2?2[答] f(?)表示在热力学温度T时，处于平衡状态的给定气体中，单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。

(1) f(?)d?表示某分子的速率在v~v+dv间隔内的概率；或者说速率在v~v+dv间隔内的分子数占总分子数的百分比；

(2) Nf(?)d?表示分子速率在v~v+dv间隔内的分子数；

(3)

??2?1f(?)d?表示分子速率在v1~v2间隔内的概率，或者说该分子速率在v1~v2间隔内

的分子数占总分子数的百分比；

(4) (5)

???2?1?2Nf(?)d?表示分子速率在v1~v2间隔内的分子数；

?1?f(?)d?无直接明显的物理意义，只能表示在v1~v2间隔内分子对速率算术平均

值的贡献。

8-13 由N个粒子组成的系统，其速率分布曲线如图所示，当?>2?0时，f(?)?0，求： (1)常数a；

(2)速率大于?0和小于?0的粒子数；

8-5

(3)分子的平均速率。

[解] (1) 由归一化条件知曲线下的面积 S?所以

1v0a?v0a?1 223 v0a?1 得到 a?3v02111v0a?，所以粒子数为 N1?N0 23322v>v0时，曲线下的面积 S2? ，所以粒子数为 N2?N0

33(2) v

0v0v02v0由图知 f1?v??av f2?v??a v00所以 v?

?v0022vav0a3a211211vdv??avdv??v0?av0?v0

vv03269208-14 容积为30?10?3m3 的容器中，贮有20?10?3kg的气体，其压强为50.7?103Pa。求气体分子的最概然速率、平均速率及方均根速率。

[解] 设容器内气体分子总数为N，则有N?该气体分子质量为 m?最概然速率为

pV kTMkT?M NpV2pV2kT2kTpV2?50.7?103?30?10?3????3.89?102?ms? vp??3mMkTM20?10平均速率为

pV8kTkT50.7?103?30?10?32?ms? ?1.60?1.60?1.60??4.39?10 v??mmM20?10?3方均根速率

pV3kTkT50.7?103?30?10?3v??1.73?1.73?1.73??4.77?102?ms? ?3mmM20?102

8-15 质量为6.2?10?14kg的粒子悬浮于27℃的液体中，观测到它的方均根速率为1.40cm/s。

(1)计算阿佛加德罗常数。

8-6

(2)设粒子遵守麦克斯韦分布律，求粒子的平均速率。 [解] (1) 由方均根速率公式

v2?3RT3RT 得到 Mmol?

2Mmolv阿佛加德罗常数为 N0?Mmol3RT3?8.31?30023?mo?l ???6.15?10?22?172Mvm?1.4?10??6.2?10(2) v?8RTRT ?1.60?MmolMmol3RTRT ?1.73MmolMmol而

v2?所以 v?

1.6021.60v??1.40?10?2?1.30?10?2?ms? 1.731.73?1?8-16 由麦克斯韦分布律求速率倒数的平均值?? 。(????m??2kT2v [解] f?v??4???e2kT??32mv2??0xe?bxdx?21)。 2b?1?1??1?m??2kT2?m????fvdv?4?evdv?4????0?????0v?2kT?v?v??2kT?32mv2322kT?2m???? 2m??kT?12

8-17 大气压强随高度的变化规律为p?p0exp(?Mmolgh)。拉萨海拔约3600m，设大气温RT度为27℃，而且处处相同，求拉萨的大气压是多少?空气的摩尔质量是29?10?3kg/mol。海平面处大气压为1atm。

[解] 拉萨大气压强为 p?1?e?2p?10?3?9.8?36008.31?300atm=0.663atm

8-18 实验测得常温下距海平面不太高处，每升高10m，大气压约降低1mmHg，试用恒温度气压公式证明此结果(海平面处大气压按760 mmHg计，温度取273K)。

?Mgh?[证明] 因为大气压强随高度变化规律为 p1?p0exp??mol?

RT???Mg?h??h??升高?h后大气压为 p2?p0exp??mol?

RT???Mg?h??h??p2?p0exp??mol?

RT??8-7

所以

?Mgh???Mg?h???p?p2?p1?p0exp??mol??exp??mol??1?RT???RT?????29?10?9.8?10????760?1??exp?????1??0.95mmHg8.31?273?????3

8-19 重力场中粒子按高度的分布为n?n0e?mgh/kT。设大气中温度随高度的变化忽略不计，在27℃时，升高多大高度，大气压强减为原来的一半。

[解] 由p?nkT知，当大气压强减为原来的一半时，n?n02 由 n?n0e?mgh/kT得，e?mgh/kT?即 h?1 2ln2?kTln2?RTln2?8.31?300???6080m mgMmolg29?10?3?9.8

8-20 试计算空气分子在标准状况下的平均自由程和平均碰撞频率。取分子的有效直径为

3.5?10?10m，空气平均摩尔质量为 29?10?3kg/mol。

[解] 平均自由程

??12?d2n?kT2?d2p?1.38?10?23?2732?3.14??3.5?10?102??1.013?105?6.9?10?8?m?

平均碰撞频率

Z?2?d2vn?2?d2pp8RTRT??2?d2vn?2?d21.60??MmolkTMmolkT8.31?2731.013?10??6.2?109?s?1??3?2329?101.38?10?2735

?2?3.14??3.5?10?10??1.60?

8-21 一定量的理想气体贮于固定体积的容器中，初态温度为T0，平均速率为?0，平均碰撞频率为Z0，平均自由程为?0。若温度升高为4T0时，求?、z和?各是多少?

[解] 平均速率 v?8RT

?Mmol故当T?4T0时，v?28RT0?2v0

?Mmol平均碰撞频率 Z??d2vn

因为容器体积不变，分子数密度不变，所以 Z??d2vn?2?d2v0n?2Z0

8-8

平均自由程 ??12?dn2

由于n不变，所以 ???0

8-22 设气体放电管中气体分子数密度为n。 电子不断与气体分子碰撞，因电子速率远大于气体分子的平均速率，所以气体分子可以认为是不动的，设电子的“有效直径”比起气体分子的有效直径d来可忽略不计。求电子与气体分子碰撞的平均自由程。

[解] 因为电子的有效直径可以忽略不计，所以电子与气体分子碰撞的有效班级功能为

d2，所以一秒钟时间内电子和其他分子碰撞的平均次数为

1?d?Z????vn??d2vn

4?2?所以平均自由程为 ??

8-23 在质子回旋加速器中，要使质子在1?105km的路径上不和空气分子相撞，真空室内

的压强应为多大?设温度为300K，空气分子的有效直径为3.5?10?10m，质子的有效直径可忽略不计，空气分子可认为静止不动。

[解] 空气分子的有效直径为3?10?10m，因为质子的有效直径可以忽略不计，所以质子与空气分子碰撞的有效半径为d2，碰撞的有效面积为 ??d2?

22v4?2 Z?dn按题意，要求在体积V???d2?l l?1?105km 最多有一个分子才能满足条件，所

2??以单位体积内空气分子数为 n?14?2 V?dl44?1.38?10?23?300所以空气压强为 p?nkT?kT??4.3110?10?Pa? 22?dl3.14??3.5?10?10??108

8-24 真空管的线度为10?2m，其中真空度为1.33?10?3Pa，设空气分子的有效直径为

3?10?10m，求27℃时单位体积内的分子数，平均自由程和平均碰撞频率。 [解] 由 p?nkT 知

p1.33?10?3n???3.21?1017?m3? ?23kT1.38?10?300平均自由程 ??12?d2n?122?3.14??3?10?10??3.21?10?m?10?2?m?>10?2?m? 17而真空管的线度为10?2m，所以分子间很难碰撞，空气分子与器壁碰撞，所以其自由程为 10?2m。

平均碰撞频率 由 ??v知 Z8-9

Z?

v??8RT18?8.31?30024?1?? ??10?4.68?10s?3?Mmol?3.14?29?108-10

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