精选8套高考试卷2019届高考数学北师大版一轮复习讲义:第1讲不等式的性质与一元二次不等式
更新时间:2023-11-02 03:08:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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§7.1 不等关系与不等式
最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系. 2.了解不等式(组)的实际背景. 考情考向分析 以理解不等式的性质为主,本节在高考中主要以客观题形式考查不等式的性质;以主观题形式考查不等式与其他知识的综合.
1.两个实数比较大小的方法 a-b>0?a>b??
(1)作差法?a-b=0?a=b
??a-b<0?a
(a,b∈R)
??a
(2)作商法?=1?a=b
ba??b<1?a
2.不等式的基本性质
a
>1?a>bb
性质 对称性 传递性 可加性 可乘性 (a∈R,b>0)
性质内容 a>b?bb,b>c?a>c a>b?a+c>b+c 特别提醒 ? ? ? 注意c的符号 a>b??c>0????ac>bc 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 可开方性 3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 11
①a>b,ab>0?<.
ab11
②a<0
③a>b>0,0
cd111
④0b>0,m>0,则
bb+mbb-m①<;>(b-m>0). aa+maa-maa+maa-m②>;<(b-m>0). bb+mbb-m
na>b????ac
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a
(2)若>1,则a>b.( × )
b
(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不变.( × ) ab
(4)a>b>0,c>d>0?>.( √ )
dc11
(5)若ab>0,则a>b?<.( √ )
ab题组二 教材改编
2.若a,b都是实数,则“a-b>0”是“a-b>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
2
2
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件 答案 A 解析
a-b>0?a>b
2
2
?a>b?a>b,
但由a-b>0?a-b>0.
122
3.若0
2
2
2答案 a<2ab<12
解析 ∵0
21且2a<1,
∴a<2b·a=2a(1-a)=-2a2
+2a
=-2??1?a-2??211?+2<2
. 即a<2ab<1
2
,
又a2+b2=(a+b)2
-2ab=1-2ab>1-112=2
,
即a2+b2>12
,
a2+b2-b=(1-b)2+b2
-b=(2b-1)(b-1), 又2b-1>0,b-1<0,∴a2
+b2
-b<0, ∴a2
+b2
综上,a<2ab<122
2
题组三 易错自纠
4.若a>b>0,c c-d>0 B.ac-b d<0 C.abd>c D.abd 答案 D 解析 ∵c d . 5.设a,b∈R,则“a>2且b>1”是“a+b>3且ab>2”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ) C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案 A 解析 若a>2且b>1,则由不等式的同向可加性可得a+b>2+1=3,由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1=2.即“a>2且b>1”是“a+b>3且ab>2”的充分条件;反之,若“a+b>3且ab>2”,则“a>2且b>1”不一定1 成立,如a=6,b=.所以“a>2且b>1”是“a+b>3且ab>2”的充分不必要条件.故选A. 26.若- ππ <α<β<,则α-β的取值范围是__________. 22 答案 (-π,0) ππππ 解析 由-<α<,-<-β<,α<β,得-π<α-β<0. 2222 题型一 比较两个数(式)的大小 1.若P=a+a+5,Q=a+2+a+3(a≥0),则P,Q的大小关系是( ) A.P>Q C.P 解析 ∵P-Q=2a+5+2a?a+5?-[2a+5+2?a+2??a+3?]=2(a+5a-a+5a+6), 且a+5a0,∴P 2.(2017·武汉调研)已知x,y∈R,且x>y>0,若a>b>1,则一定有( ) ab A.> xy C.logax>logby 答案 D ππ 解析 对于A,当a=3,b=2,x=3,y=2时不成立,排除A;对于B,当a=30,b=20,x=,y=时,24不成立,排除B;对于C,当a=3,b=2,x=3,y=2时,不成立,排除C,故选D. 思维升华比较大小的常用方法 (1)作差法 一般步骤:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以先平方再作差. (2)作商法 一般步骤:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④结论. (3)函数的单调性法:将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值,根据函数的单调性得出大小关系. 题型二 不等式的性质 B.sin ax>sin by D.a>b x y 2 2 2 2 2 2 2 2 B.P=Q D.由a的取值确定 典例 (1)已知a,b,c满足cA.ab>ac C.cb 2 2 B.c(b-a)<0 D.ac(a-c)>0 解析 由c (2)设a>b>1,c<0,给出下列三个结论: cccc ①>;②aloga(b-c). ab其中所有正确结论的序号是( ) A.① C.②③ 答案 D 11 解析 由不等式性质及a>b>1,知<, abcc 又c<0,∴>,①正确; ab构造函数y=x, ∵c<0,∴y=x在(0,+∞)上是减少的, 又a>b>1,∴ab>1,c<0,∴a-c>b-c>1, ∴logb(a-c)>loga(a-c)>loga(b-c),③正确. 思维升华解决此类问题常用两种方法:一是直接使用不等式的性质逐个验证;二是利用特殊值法排除错误答案.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件. 11 跟踪训练若<<0,给出下列不等式: ab① 111122 <;②|a|+b>0;③a->b-;④ln a>ln b. a+babab c ccc B.①② D.①②③ 其中正确的不等式是( ) A.①④ C.①③ 答案 C 11 解析 方法一 因为<<0,故可取a=-1,b=-2. ab显然|a|+b=1-2=-1<0,所以②错误; 因为ln a=ln(-1)=0,ln b=ln(-2)=ln 4>0, 所以④错误. 综上所述,可排除A,B,D. 11 方法二 由<<0,可知b ab①中,因为a+b<0,ab>0,所以 11 <0,>0. a+bab 2 2 2 2 B.②③ D.②④
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