精选8套高考试卷2019届高考数学北师大版一轮复习讲义:第1讲不等式的性质与一元二次不等式

更新时间:2023-11-02 03:08:01 阅读量: 综合文库 文档下载

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§7.1 不等关系与不等式

最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系. 2.了解不等式(组)的实际背景. 考情考向分析 以理解不等式的性质为主,本节在高考中主要以客观题形式考查不等式的性质;以主观题形式考查不等式与其他知识的综合.

1.两个实数比较大小的方法 a-b>0?a>b??

(1)作差法?a-b=0?a=b

??a-b<0?a

(a,b∈R)

??a

(2)作商法?=1?a=b

ba??b<1?a

2.不等式的基本性质

a

>1?a>bb

性质 对称性 传递性 可加性 可乘性 (a∈R,b>0)

性质内容 a>b?bb,b>c?a>c a>b?a+c>b+c 特别提醒 ? ? ? 注意c的符号 a>b??c>0????ac>bc 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 可开方性 3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 11

①a>b,ab>0?<.

ab11

②a<0

③a>b>0,0.

cd111

④0b>0,m>0,则

bb+mbb-m①<;>(b-m>0). aa+maa-maa+maa-m②>;<(b-m>0). bb+mbb-m

na>b????acb????a+c>b+d ?c>d?? a>b>0????ac>bd ?c>d>0?nn? a>b>0?a>b(n∈N,n≥1) a,b同为正数 a>b>0?a>b(n∈N,n≥2) n

题组一 思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a

(2)若>1,则a>b.( × )

b

(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不变.( × ) ab

(4)a>b>0,c>d>0?>.( √ )

dc11

(5)若ab>0,则a>b?<.( √ )

ab题组二 教材改编

2.若a,b都是实数,则“a-b>0”是“a-b>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

2

2

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件 答案 A 解析

a-b>0?a>b

2

2

?a>b?a>b,

但由a-b>0?a-b>0.

122

3.若0

2

2

2答案 a<2ab<12

解析 ∵0

21且2a<1,

∴a<2b·a=2a(1-a)=-2a2

+2a

=-2??1?a-2??211?+2<2

. 即a<2ab<1

2

又a2+b2=(a+b)2

-2ab=1-2ab>1-112=2

即a2+b2>12

a2+b2-b=(1-b)2+b2

-b=(2b-1)(b-1), 又2b-1>0,b-1<0,∴a2

+b2

-b<0, ∴a2

+b2

综上,a<2ab<122

2

题组三 易错自纠

4.若a>b>0,c

c-d>0 B.ac-b

d<0 C.abd>c D.abd

答案 D

解析 ∵c0,∴bdcd>accd,即bc>a

d

. 5.设a,b∈R,则“a>2且b>1”是“a+b>3且ab>2”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

) C.充要条件

D.既不充分又不必要条件 答案 A

解析 若a>2且b>1,则由不等式的同向可加性可得a+b>2+1=3,由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1=2.即“a>2且b>1”是“a+b>3且ab>2”的充分条件;反之,若“a+b>3且ab>2”,则“a>2且b>1”不一定1

成立,如a=6,b=.所以“a>2且b>1”是“a+b>3且ab>2”的充分不必要条件.故选A.

26.若-

ππ

<α<β<,则α-β的取值范围是__________. 22

答案 (-π,0)

ππππ

解析 由-<α<,-<-β<,α<β,得-π<α-β<0.

2222

题型一 比较两个数(式)的大小

1.若P=a+a+5,Q=a+2+a+3(a≥0),则P,Q的大小关系是( ) A.P>Q C.P

解析 ∵P-Q=2a+5+2a?a+5?-[2a+5+2?a+2??a+3?]=2(a+5a-a+5a+6), 且a+5a0,∴P

2.(2017·武汉调研)已知x,y∈R,且x>y>0,若a>b>1,则一定有( ) ab

A.> xy

C.logax>logby 答案 D

ππ

解析 对于A,当a=3,b=2,x=3,y=2时不成立,排除A;对于B,当a=30,b=20,x=,y=时,24不成立,排除B;对于C,当a=3,b=2,x=3,y=2时,不成立,排除C,故选D. 思维升华比较大小的常用方法 (1)作差法

一般步骤:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以先平方再作差. (2)作商法

一般步骤:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④结论.

(3)函数的单调性法:将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值,根据函数的单调性得出大小关系. 题型二 不等式的性质

B.sin ax>sin by D.a>b

x

y

2

2

2

2

2

2

2

2

B.P=Q

D.由a的取值确定

典例 (1)已知a,b,c满足cA.ab>ac C.cb

2

2

B.c(b-a)<0 D.ac(a-c)>0

解析 由cc,得ab>ac一定成立.

(2)设a>b>1,c<0,给出下列三个结论: cccc

①>;②aloga(b-c). ab其中所有正确结论的序号是( ) A.① C.②③ 答案 D

11

解析 由不等式性质及a>b>1,知<,

abcc

又c<0,∴>,①正确;

ab构造函数y=x,

∵c<0,∴y=x在(0,+∞)上是减少的, 又a>b>1,∴ab>1,c<0,∴a-c>b-c>1,

∴logb(a-c)>loga(a-c)>loga(b-c),③正确.

思维升华解决此类问题常用两种方法:一是直接使用不等式的性质逐个验证;二是利用特殊值法排除错误答案.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件. 11

跟踪训练若<<0,给出下列不等式:

ab①

111122

<;②|a|+b>0;③a->b-;④ln a>ln b. a+babab

c

ccc

B.①② D.①②③

其中正确的不等式是( ) A.①④ C.①③ 答案 C

11

解析 方法一 因为<<0,故可取a=-1,b=-2.

ab显然|a|+b=1-2=-1<0,所以②错误;

因为ln a=ln(-1)=0,ln b=ln(-2)=ln 4>0, 所以④错误.

综上所述,可排除A,B,D. 11

方法二 由<<0,可知b

ab①中,因为a+b<0,ab>0,所以

11

<0,>0. a+bab

2

2

2

2

B.②③ D.②④

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/17v2.html

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