2018版高考数学一轮复习第八章立体几何8.1空间几何体

生活的色彩就是学习

第八章 立体几何 8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图 理

1．多面体的结构特征

2．旋转体的形成

几何体 圆柱 圆锥 圆台 球

3.空间几何体的三视图 (1)三视图的名称

几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图． (2)三视图的画法

①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．

②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图． 4．空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是

(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半．

旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆 旋转轴 任一边所在的直线 任一直角边所在的直线 垂直于底边的腰所在的直线 直径所在的直线 K12的学习需要努力专业专心坚持

生活的色彩就是学习 【知识拓展】

1．常见旋转体的三视图

(1)球的三视图都是半径相等的圆．

(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形． (3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形． (4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形． 2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”

坐标轴的夹角改变，??

“三变”?与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，

??图形改变.平行性不改变，??

“三不变”?与x，z轴平行的线段的长度不改变，

??相对位置不改变.【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( × ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( × )

(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．( × ) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( × ) (5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．( × ) (6)菱形的直观图仍是菱形．( × )

1．(教材改编)下列说法正确的是( ) A．相等的角在直观图中仍然相等 B．相等的线段在直观图中仍然相等 C．正方形的直观图是正方形

D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 答案 D

解析 由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变． 2．(2016·天津)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为( )

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答案 B

解析 由正视图和俯视图可知该几何体的直观图如图所示，故该几何体的侧视图为选项B.

3．(教材改编)如图，直观图所表示的平面图形是( )

A．正三角形 C．钝角三角形 答案 D

解析 由直观图中，A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，还原后原图AC∥y轴，BC∥x轴．直观图还原为平面图形是直角三角形．故选D.

B．锐角三角形 D．直角三角形

4．(2016·长春三模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

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A．20 B．18 C．14＋23 D．14＋22 答案 A

解析 由三视图可得该几何体的直观图如图所示，其为一个正方体截掉4个角后形成的几何11

体，故该几何体的表面积为S＝2×2＋2×2＋4××2×2＋4××2× 22

12

2＋＝20.

2

5．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是________．

答案

14 3

解析 由四棱台的三视图可知，台体上底面面积S1＝1×1＝1，下底面面积S2＝2×2＝4，高

h＝2，代入台体的体积公式V＝(S1＋S1S2＋S2)h＝×(1＋1×4＋4)×2＝.

1313143

题型一 空间几何体的结构特征 例1 给出下列命题：

①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；

②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③存在每个面都是直角三角形的四面体； ④棱台的侧棱延长后交于一点．

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其中正确命题的序号是________． 答案 ②③④

解析 ①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；③正确，如图，正方体

ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；④正确，由棱台的概念可知．

思维升华 (1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．

(1)以下命题：

①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确命题的个数为( )

A．0 B．1 C．2 D．3 (2)给出下列四个命题：

①有两个侧面是矩形的图形是直棱柱； ②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； ③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；

④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱． 其中不正确的命题为________． 答案 (1)B (2)①②③

解析 (1)命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③对；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以，故选B.

(2)对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④由线面垂直的判定，侧棱垂直于底面，故④正确． 综上，命题①②③不正确． K12的学习需要努力专业专心坚持

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题型二 简单几何体的三视图 命题点1 已知几何体，识别三视图

例2 (2016·济南模拟)如图，多面体ABCD－EFG的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视图如图所示，则其正视图和侧视图正确的是( )

答案 D

解析 正视图的轮廓线是矩形DCFG，点E在平面DCFG上的投影为DG的中点，且边界BE，BG可视，故正视图为选项B或D中的正视图，侧视图的轮廓线为直角梯形ADGE，且边界BF不可视，故侧视图为选项D中的侧视图，故选D. 命题点2 已知三视图，判断几何体的形状

例3 (2016·全国乙卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相28π

垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是( )

3

A．17π B．18π C．20π D．28π 答案 A

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1

解析 由该几何体的三视图可知，这个几何体是把一个球挖掉它的得到的(如图所示)．设该

8742811322

球的半径为R，则×πR＝π，得R＝2.所以它的表面积为4π×2－×4π×2＋3×

83384×π×2＝17π.故选A.

2

命题点3 已知三视图中的两个视图，判断第三个视图

例4 (2016·石家庄质检)一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该棱锥的侧视图可能为( )

答案 D

解析 由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD，故选D.

思维升华 三视图问题的常见类型及解题策略

(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．

(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．

(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图． K12的学习需要努力专业专心坚持

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(1)(2016·全国丙卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某

多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )

A．18＋365 C．90

B．54＋185 D．81

(2)如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图，

则该几何体的侧视图为( )

答案 (1)B (2)B

解析 (1)由题意知，几何体为平行六面体，边长分别为3,3，45，几何体的表面积S＝3×6×2＋3×3×2＋3×45×2＝54＋185.

(2)由直观图、正视图和俯视图可知，该几何体的侧视图应为面PAD，且EC投影在面PAD上，故B正确．

题型三 空间几何体的直观图

例5 (1)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( ) A.

32366a B.a2 C.a2 D.a2 48816

(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′K12的学习需要努力专业专心坚持

生活的色彩就是学习 ＝2 cm，则原图形是( )

A．正方形 B．矩形 C．菱形

D．一般的平行四边形 答案 (1)D (2)C

解析 (1)如图①②所示的实际图形和直观图，

13

由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′

24＝

261166

O′C′＝a.所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.故选D. 2822816

(2)如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2 cm.

∴OC＝OD＋CD＝

2

2

2

2

＋2＝6(cm)，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．故选C.

2

思维升华 用斜二测画法画直观图的技巧

在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．

如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，且△A′B′C′是边长为a的正三角

形，则△ABC的面积为________．

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62a 2

答案

解析 建立如图所示的坐标系xOy″，△A′B′C′的顶点C′在y″轴上，边A′B′在x轴上，把y″轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，在y轴上取点C使OC＝2OC′，A，B点即为A′，

B′点，长度不变．

已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，

OC′A′C′由正弦定理得＝，

sin∠OA′C′sin 45°

sin 120°6

所以OC′＝a＝a，

sin 45°2所以原三角形ABC的高OC＝6a， 162

所以S△ABC＝×a×6a＝a.

22

10．空间几何的三视图

典例 将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )

错解展示

解析 结合正方体中各顶点投影，侧视图应为一个正方形，中间两条对角线． 答案 C 现场纠错

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解析 侧视图中能够看到线段AD1，应画为实线，而看不到B1C，应画为虚线．由于AD1与B1C不平行，投影为相交线，故应选B. 答案 B

纠错心得 确定几何体的三视图要正确把握投影方向，可结合正方体确定点线的投影位置，要学会区分三视图中的实虚线.

1.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是( )

A．a，b C．c，b 答案 A

解析 当正视图和侧视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，正视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选A.

2．(2016·全国甲卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )

B．a，c D．b，d

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A．20π B．24π C．28π D．32π 答案 C

解析 由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l＝

3

2

12

＋2＝4，所以圆锥的侧面积为S锥侧＝×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S柱侧＝4π×4

2

＝16π，所以组合体的表面积S＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C.

3．(2016·大连一模)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥P－

A1B1A的侧视图是( )

答案 D

解析 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，从左侧看三棱锥P－A1B1A，B1、A1、A的投影分别是C1、D1、

D；AB1的投影为C1D，且为实线，PA1的投影为PD1，且为虚线．故选D.

4．(2015·北京)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )

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生活的色彩就是学习 A．1 B.2 C.3 D．2 答案 C

解析 根据三视图，可知该几何体的直观图为如图所示的四棱锥V－ABCD，其中VB⊥平面

ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD＝2，在Rt△VBD中，VD＝VB2＋BD2＝3.

5．(2017·黄山质检)一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图为( )

答案 C

解析 根据一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图可得几何体的直观图为

所以侧视图为

故选C.

6．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是________．(填序号)

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答案 ①

解析 由题意知，平面图形的直观图为正方形，且边长为1，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为22.

7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的正视图与侧视图的面积的比值为________．

答案 1

12

解析 设正方体的棱长为a，则三棱锥P－ABC的正视图与侧视图都是三角形，且面积都是a，

2故面积的比值为1.

8．(2015·北京改编)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是________．

答案 2＋25

解析 由三视图可得该三棱锥的直观图如图所示，其中PA＝1，BC＝2，取BC的中点M，连接

AM，MP，则AM＝2，AM⊥BC，故AC＝AB＝BM2＋AM2＝1＋4＝5，由正视图和侧视图可知PA⊥平面ABC，因此可得PC＝PB＝PA2＋AB2＝1＋5＝6，PM＝PA2＋AM2＝1＋4＝5，

1111

所以三棱锥的表面积为S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC＝×2×2＋×5×1＋×5×1＋

2222×2×5＝2＋25.

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9．某几何体的三视图如图所示．

(1)判断该几何体是什么几何体？ (2)画出该几何体的直观图．

1

解 (1)该几何体是一个正方体切掉两个圆柱后得到的几何体．

4(2)直观图如图所示．

10．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，求a＋b的最大值． 解 如图，把几何体放到长方体中，

使得长方体的体对角线刚好为几何体的已知棱，则长方体的体对角线A1C＝7，则它的正视图投影长为A1B＝6，侧视图投影长为A1D＝a，俯视图投影长为A1C1＝b，则a＋b＋(6)＝2·(7)，即a＋b＝8，又

2

2

2

2

2

2

a＋b2

≤ a2＋b2

2

，当且仅当“a＝b＝2”时等号成立．所以a＋b≤4，即a＋b的最大值为4.

*11.已知正三棱锥V－ABC的正视图和俯视图如图所示． K12的学习需要努力专业专心坚持

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(1)画出该正三棱锥的侧视图和直观图； (2)求出侧视图的面积． 解 (1)如图．

(2)侧视图中VA＝

4－

2

23

××2332

2

1

＝12＝23，则S△VBC＝×23×23＝6.

2

K12的学习需要努力专业专心坚持

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(1)画出该正三棱锥的侧视图和直观图； (2)求出侧视图的面积． 解 (1)如图．

(2)侧视图中VA＝

4－

2

23

××2332

2

1

＝12＝23，则S△VBC＝×23×23＝6.

2

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