9平衡态与分子热运动的统计规律习题思考题

习题9

9-1．在容积V?3L的容器中盛有理想气体，气体密度为?=1.3g/L。容器与大气相通排出一部分气体后，气压下降了0.78atm。若温度不变，求排出气体的质量。 解：根据题意，可知：P?1.78atm，P0?1atm，V?3L。

PV?1.78?3L， P0那么，逃出的气体在1atm下体积为：V'?1.78?3L?3L?0.78L，

PV'0.78?3L这部分气体在1.78atm下体积为：V''?0?

P1.78g0.78?3L?1.7g 。 则排除的气体的质量为：?m??V''?1.3?L1.78m1VpRT，RT?p? 根据题意pV??RT，可得：pV?MMm?由于温度不变，∴PV?PV00，有：V0?

9-2．有一截面均匀的封闭圆筒，中间被一光滑的活塞分割成两边。如果其中的一边装有0.1kg某一温度的氢气，为了使活塞停留在圆筒的正中央，则另一边装入的同一温度的氧气质量为多少？

解：平衡时，两边氢、氧气体的压强、体积、温度相同，利用pV??RT，知两气体摩尔数相同，即：?H??O，∴

mmH?O，代入数据有：mO?1.6kg 。 MHMO

9-3．如图所示，两容器的体积相同，装有相同质量的氮气和氧气。用一内壁光滑的水平细玻璃管相通，管的正中间有一小滴水银。要保持水银滴在管的正中间，并维持氧气温度比氮气温度高30oC，则氮气的温度应是多少？ 解：已知氮气和氧气质量相同，水银滴停留在管的正中央，

O2N2则体积和压强相同，如图。

mO2mN2m由：pV?R(T?30)?RT， RT，有：

MmolMO2MN2而：MO2?0.032kg，MN2?0.028kg，可得：T?30?28?210K 。

30?28

79-4．高压氧瓶：p?1.3?10Pa，V?30L，每天用p1?1.0?105Pa，

V1?400L，为保证瓶内p'?1.0?106Pa，能用几天？

pV1.3?107Pa?30L解：由pV?p'V'，可得：V'???390L， 6p'1.0?10Pa∴?V?V'?V?360L；

p'?V1.0?106Pa?360L而：p'?V?p1?V1，有：?V1???3600L，

p1.0?105Pa3600L?9天 。 那么：能用的天数为n?400L/天

9-5．如图，长金属管下端封闭，上端开口，置于压强为p0的大气中。在封闭端加热达T1?1000K，另一端保持T2?200K，设温度沿管长均匀变化。现封闭开口端，并使管子冷却到100K，求管内压强。

解：根据题意，管子一端T1?1000K，另一端保持T2?200K， 所以，温度沿管长线性分布，设管长为l，函数关系为：

T(x)?200?kx，其中：k?由公式：pV?800。 ldmm RT，考虑到金属管上端开口，有：p0Sdx?RT(x)，

MmolMmollpSlpSm10∴R??dl?p0S?dx?0ln200?kxl0

0T0200?kxMmol（）kpS?l200?800p0V?0ln?ln5

k?l200800m00K，当封闭开口端，并使管子冷却到100K时，有p'V?而T'?1 RT' ，

Mmolp再考虑到管子封闭前后的m不变，有：p'?0ln5 。

823?249-6．氢分子的质量为3.3?10g，如果每秒有10个氢分子沿着与容器器壁的

法线成45角的方向以10cm/s的速率撞击在2.0cm面积上(碰撞是完全弹性的)，则器壁所承受的压强为多少？

解：由：F??t?n?2mvcos450，再根据气体压强公式：p??52F，有： Sp?Fn?2mvcos45???t?SS01023?2?3.3?10?27?103?1?2?10?422?2.33?103Pa 。

9-7．一容器内储有氧气，其压强p?1.0atm，温度T?300K，求容器内氧气的

（1）分子数密度；

（2）分子间的平均距离； （3）分子的平均平动动能； （4）分子的方均根速度。 解：（1）由气体状态方程p?nkT得：

p1.013?105253n???2.45?10/m； ?23kT1.38?10?300（2）分子间的平均距离可近似计算：e?11?9??3.44?10m； 3325n2.45?10（3）分子的平均平动动能：??（4）分子的方均根速度：v?233kT??1.38?10?23?300?6.21?10?21J； 223RT?483.44m/s 。 Mmol9-8．在标准状态下，若氧气（视为刚性双原子分子的理想气体）和氦气的体积比V1/V2?1/2，则其内能之比E1/E2为多少？

p1V1?1T1，因题设条件为p1?p2，V1/V2?1/2，?p2V2?2T2i5可得：?1T1/?2T2?1/2，又∵氦气是单原子分子，知：1?，

i23i1?1RT1515E1那么内能之比为：?2??? 。

iE22?2RT23262解：根据pV??RT，有：

9-9．水蒸气分解为同温度的氢气和氧气，即H2O→H2+0.5O2，内能增加了多少？ 解：水蒸气分解后，一份的水分子的内能变成了1.5份的双原子的内能，而水分子的自由度为6，氢气和氧气作为刚性双原子分子，其自由度均为5，利用气体内能公式：E??iRT，所以内能的变化为：2556RT?0.5?RT?RT?E21.522???25% 。

6E06RT29-10．体积为20L的钢瓶中盛有氧气（视为刚性双原子气体），使用一段时间后，测得瓶中气体的压强为2atm，此时氧气的内能为多少？

5解：由理想气体状态方程：pV??RT，以及双原子气体内能公式：E??RT，

2555可得到：E??RT?pV??2?1.013?105?20?10?3?104J 。

222

9-11．已知某种理想气体，其分子方均根率为400m/s，当其压强为1atm时，求气体的密度。 解： ∵??2m?mp， ，由气体方程：pV?RT???VRT?3p3?1.013?1053kT3RT3??1.9kg/m又∵v?，∴??。 ?222400m?(v)

9-12．容器的体积为2V0，绝热板C将其隔为体积相等的A、B两个部分，A内储有1mol单原子理想气体，B内储有2mol双原子理想气体，A、B两部分的压强均为p0。

（1）求A、B两部分气体各自的内能；

（2）现抽出绝热板C，求两种气体混合后达到平衡时的压强和温度。

iRT 2333A中气体为1mol单原子理想气体：EA?RTA?RTA?p0V0，

22255B中气体为2mol双原子理想气体：EB?2?RTB?5RTB?p0V0；

2235（2）混合前总内能：，E0?P0V0?P0V0?4P0V0

223混合后内能不变，设温度为T，有：E?RT?5RT?4p0V0

28p0V03N08pV1233kT?RT?R?00?p ∴ T?；p?nkT?2V02V02V013R13013R解：（1）由理想气体内能公式：E??9-13．金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动（与容器中的气体分子类似），设金属中共有N个自由电子，其中电子的最大速率为 vm，电子速率在v~v?dv之间

?Av2dv 0?v?v0dN???的概率为：，式中A为常数．则电子的平均速率为N v?vm??0多少？

解：由平均速率的定义：v?有：v???0vf(v)dv，考虑到：f(v)dv?dN， N?vm0v?Av2dv?14Avm 。 4

9-14．大量粒子（N0?7.2?1010个）的速率分布函数图象如图所示，试求：（1）速率小于30m/s的分子数约为多少？（2）速率处在99m/s到101m/s之间的分子数约为多少？（3）所有N0个粒子的平均速率为多少？（4）速率大于60m/s的那些分子的平均速率为多少？ 解：根据图像信息，注意到f(v)?dN。 Ndv图形所围的面积为分子的全部数目，有：

N0?1，所以，利用 ?N014（30?120）?a?1，有：a??10?2，N0a?9.6?108。 23N10（1）速率小于30m/s的分子数：N1?0?30?a?1.44?10个；

2（2）速率处在99m/s到101m/s之间的分子数：

101101v?N2?N0?f(v)dv?N0?(2a?a)dv?6.4?108个；

999960v1005a)(v101?v99)?2N0a(2?)?6.4?108】 【或：?N2?N0(2a?603（3）所有N0个粒子的平均速率：先写出这个分段函数的表达式： f(v)dv?

?a(0?v?30)?30v?(30?v?60)?a f(v)??

v?2a?a(60?v?120)?60?0(v?120)?由平均速率定义：v??vf(v)dv，有：

060120avvdv??v?adv??v?(2a?a)dv?54m/s；

030603060（4）速率大于60m/s的那些分子的平均速率：

120vv(2a?a)dv]?6060v?60?120?80m/s。 v?60(2a?60a)dv]?v??v?309-15．理想气体分子沿x方向的速度分布函数：f(vx)?(此推导压强公式P?nkT（已知：

2m)e2?kT12?mv2x2kT，试据

??0x2e??xdx?214??）。 ?解：由于压强为p?nmvx，关键在求出N个分子在x方向上速度分量平方的平均值：， 而：vix2????022vxf(vx)dvx??vx(0m)e2?kT12?mv2x2kTdvx?kT m故：p?nm?vi?1N2ixN?nkT 。

9-16．在麦克斯韦分布下，（1）计算温度T1?300K和T2?600K时氧气分子最可几速率vp1和vp2；（2）计算在这两温度下的最可几速率附近单位速率区间内的分子数占总分子数的比率；（3）计算300K时氧分子在2vp处单位速率区间内分子数占总分子的比率。

解：根据最可几速率的定义：vp?（1）温度T1?300K：vp1?2kT2RTRT ??1.414m???2?8.31?300?394m/s，

32?10?32RT?T2?600K： vp2?2RT?32?mv22kT2?8.31?600?558m/s；

32?10?3（2）在最可几速率附近单位速率区间内的分子数占总分子数的比率就是麦克斯韦

m)ev2

?2kTT?300K，v?394m/s代入：f(v)?0.21% T?600K，v?558m/s代入：f(v)?0.15%；

（3）计算300K时氧分子在2vp处单位速率区间内分子数占总分子的比率。

分布函数：f(v)?4(?将T1?300K，v?788m/s代入：

mv?m3得：f(v)?()2e2kTv2?0.042% 。

?2kT42m2?2kT29-17．试将质量为m的单原子理想气体速率分布函数f(v)?4?()ev2?kT12改写成按动能??mv分布的函数形式f(?)d?，然后求出其最可几动能及平

2均动能。 解：由于

3mv21mv2??，而分子速率在v和v?dv之间的概率； 232?mv22kTmdW?f(v)dv?4?()e2?kTvdv=?22?(kT)?3/2e??kT?1/2d??f(?)d?

f(?)?2?(kT)?3/2e??kT?1/2

最可几动能必须满足：平均动能??

df(?)1?0，得?p?kT

d??p232??0?f(?)d??kT 。

9-18．一容器体积为2V，一导热隔板把它分成相等的两半，开始时左边盛有压强为P0的理想气体，右边为真空。在隔板上有一面积为S的小孔，求打开小孔后左右两边压强P1和P2与时间t的关系（已知单位时间与器壁单位面积相撞的分子

1nv）。 4解：由p?nkT可知，当温度保持不变时，压强变化是由n的改变而引起的. 设小孔未打开时，左边容器内的总分子数为N0，打开小孔t秒后，右边分子数为N，则此时左边容器内的分子数为N0?N.

由已知条件在t?t?dt时间内从左边运动到右边的分子数：

1N0?NdN1?vSdt，

4V1NvSdt. 同理：在t?t?dt时间内从右边运动到左边的分子数：dN2?4V这样，在t?t?dt时间内左边分子数净减少：

12NN012pp0vSpp0?dN?vS(?)dt?vS(?)dt?(?)dt.

4VV4kTkTkT24dNvS(2p?p0)dt，当t?0时，p?p0. 而dp?kT，所以得：dp?V4VvSvSp0?2Vtp0?2Vt积分得：p?(e?1)。故：左边的压强p1?(e?1).

22vS?tp0由N0?N1?N2?p0?p1?p2，右边的压强：p2?(1?e2V)

2数为

?)e9-19．理想气体分子沿x方向的速度分布函数：f(?)?(2?kT12x?2??x2kT，试据此

?2??xdx?推导压强公式P?nkT。（已知：?xe0214??） ?解：设x方向垂直于容器壁。单位面积内速度处于?x到?x?d?x速度分量的分子数为nf(?x)d?x，在?t时间内与?S器壁上碰撞的次数为

[nf(?x)d?x]??x??t??S，每一次器壁给一个分子的冲量Ii?2??x，压强

p??I?i?t??S，用积分形式表示：

??)?ep??2??xn??xf(?x)d?x?2?n??f(?x)d?x?2?n?(2?kT002x?122x0?2??x2kTd?x

令???2kT?，上式可写成：

p?2?n?0??2????xed?x?2?n2x?1??4???n?n???nkT

2??2?2kT得证。

思考题

9-1．气体在平衡状态时有何特征？平衡态与稳定态有什么不同？气体的平衡态与力学中所指的平衡有什么不同？ 答：平衡态的特征：

（1）系统与外界在宏观上无能量和物质的交换 （2）系统的宏观性质不随时间改变。

热平衡态是指：在无外界的影响下，不论系统初始状态如何，经过足够长的时间后，系统的宏观性质不随时间改变的稳定状态。 它与稳定态或力学中的平衡不是一个概念。

1．平衡态是一种热动平衡状态。处在平衡态的大量分子并不是静止的，它们仍在作热运动，而且因为碰撞，每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间改变。例如：粒子数问题：箱子假想分成两相同体积的部分，达到平衡时，两侧粒子有的穿越界线，但两侧粒子数相同。 2．平衡态是一种理想状态。

9-2．对一定量的气体来说，当温度不变时，气体的压强随体积的减小面增大；当体积不变时，压强随温度的升高而增大。从宏观来看，这两种变化同样使压强增大；从微观来看，它们是否有区别?

答：有区别。从微观上看：p?2nw 3当温度不变时，气体的压强随体积的减小而增大是因为：当w一定时，体积减小，n越大，即单位时间内碰撞到器壁的分子越多，则P就越大；

当体积不变时，压强随温度的升高而增大是因为：当n一定时，w越大，即单位时间内分子对器壁的碰撞越厉害，则P就越大。

9-3．在推导理想气体压强公式的过程中，什么地方用到了理想气体的分子模型?什么地方用到了平衡态的概念?什么地方用到了统计平均的概念？压强的微观统计意义是什么?

答：压强的求解公式中用到了理想气体的分子模型，把分子作为质点来研究；

对每个分子状态的假定用到了平衡态的概念；

从一个分子对器壁的作用力推广到所有分子对器壁的作用力，计算分子的平均速度都用到了统计平均的概念；

压强的微观统计意义是压强是大量分子碰撞器壁的平均效果，是对大量分子对时间对面积的一个统计平均值。对一个分子而言，它对器壁的碰撞是偶然的，但就大量分子而言，其碰撞的统计平均效果就表现为持续的均匀压强。

9-4．容器内有质量为m，摩尔质量为M的理想气体，设容器以速度v作定向运动，今使容器突然停止，问：（1）气体的定向运动机械能转化什么形式的能量？（2）下面两种气体分子速度平方的平均值增加多少？○1单原子分子；②双原子分子；（3）如果容器再从静止加速到原来速度v，那么容器内理想气体的温度是否还会改变?为什么? 答：（1）一般来说，气体的宏观运动不会影响其微观的内动能，但是当容器忽然停止运动时，大量分子的定向运动的动能将通过与器壁的以及分子间的碰撞而转换为热运动的能量，会使容器内气体的问题有所升高。

（2）w?313kTkT?mv2，所以：v2?，温度增加多少，其速度平方的22m平均值也做相应的增加。

（3）宏观量温度是一个统计概念，是大量分子无规则热运动的集体表现，是分子平均平动动能的量度，分子热运动是相对质心参照系的，平动动能是系统的内动能．温度与系统的整体运动无关．所以当容器再从静止加速到原来速度v，那么容器内理想气体的温度不会改变。

9.5．叙述下列式的物理意义：

（1）kT；（2）kT；（3）kT；（4）RT；（5）1232i2i2mimiRT；R(T2?T1). （6）M2M2答：（1）在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量

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