数学强化班（武忠祥）-高数第一章 函数、极限、连续

第 函数 极限 连续

第一节 函 数

1． 函数的概念（定义、定义域、对应法则、值域） 2． 函数的性态 1）单调性

定义：单调增： x1?x2?f(x1)?f(x2). 单调不减： x1?x2?f(x1)?f(x2). 判定：（1）定义：

(2）导数：设f(x)在区间I上可导，则 a) f?(x)?0?f(x)单调不减； b) f?(x)?0?f(x)单调增； 2)奇偶性

定义：偶函数 f(?x)?f(x); 奇函数 f(?x)??f(x). 判定：(1）定义：

(2）设f(x)可导，则：

a)f(x)是奇函数? f?(x)是偶函数；

b)f(x)是偶函数? f?(x)是奇函数； (3）连续的奇函数其原函数都是偶函数；

连续的偶函数其原函数之一是奇函数。

3)周期性

定义：f(x?T)?f(x) 判定：(1)定义；

(2）可导的周期函数其导函数为周期函数； (3）周期函数的原函数不一定是周期函数； 4)有界性

1

定义：若?M?0,?x?I,f(x)?M;则称f(x)在I上有界。 判定：（1）定义：

（2）f(x)在[a,b]上连续?f(x)在[a,b]上有界；

（3）f(x)在(a,b)上连续，且f(a?0)和f(b?0)存在?f(x)在

（a,b）上有界；

（4）f?(x)在区间I（有限）上有界?f(x)在I上有界； 3．复合函数与反函数 (函数分解成简单函数的复合,分段函数的复合) 4．基本初等函数与初等函数 基本初等函数:

常数，幂函数 ,指数,对数,三角,反三角。了解它们定义域,性质,图形. 初等函数:

由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个 解析式表示的函数.

题型一 复合函数

例1．1已知f(x?1)的定义域为[0,a],(a?0),，则f(x)的定义域为 (A) [?1,a?1] (B) [1,a?1]

(C) [a,a?1] (D) [a?1,a] 解 应选 (B)

例1．2已知f(x)?ex,f[?(x)]?1?x,且?(x)?0,求?(x)及其定义域。 解 由f(x)?ex，f[?(x)]?1?x,知

22e?2(x)?1?x

(x?0)

?2(x)?ln(1?x)?(x)?ln(1?x)(x?0)

?2?x2,|x|?1?0,x?0例1．3 设f(x)??, g(x)??

1,x?0??|x|?2,1?|x| 试求f[g(x)],g[f(x)].

2

??0,1?x?2解 f[g(x)]??

??1,x?1或x?2?2,g[f(x)]????1,x?0 x?0 题型二 函数性态 例1．4 下列结论正确的是 （A）xsin (C) ?x0111在(0,??)上无界； （B）当x?0时2sin为无穷大量； xxx11sintdt在(0,2010]上无界；（D）sin在(0,??)上无界。

xxt例1.5以下四个命题中正确的是

（A）若f?(x)在(0,1)内连续，则f(x)在(0,1)内有界； （B）若f(x)在(0,1)内连续，则f(x)在(0,1)内有界； （C）若f?(x)在(0,1)内有界，则f(x)在(0,1)内有界； （D）若f(x)在(0,1)内有界，则f?(x)在(0,1)内有界。 解法1 直接法：

由于f?(x)在(0,1)内有界，则f(x)在(0,1)内有界，故选（C）. 解法2 排除法. 令f(x)?11，则f?(x)??2，显然，f?(x)和f(x)都在(0,1)内连续，但f(x) xx在(0,1)内无界，则（A）（B）都不正确.

令f(x)?x，显然f(x)在(0,1)内有界，但f?(x)?（D）不正确. 故应选（C）

例1.6设f(x),g(x)是恒大于零的可导函数，且

12x在(0,1)内无界，则

f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当a?x?b时，有 （A）f(x)g(b)?f(b)g(x); （B）f(x)g(a)?f(a)g(x);

3

（C）f(x)g(x)?f(b)g(b); （D）f(x)g(x)?f(a)g(a); 解 令F(x)?f(x), 则 g(x)F?(x)?f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0, 2g(x)F(x)单调减，由a?x?b知 F(b)?F(x)，即

f(b)f(x) ?g(b)g(x)f(x)g(b)?f(b)g(x)

故应选(A).

例1.7设函数f(x)连续，且f?(0)?0,则存在??0，使得 （A）f(x)在(0,?)内单调增加； （B）f(x)在(??,0)内单调减少； （C）对任意的x?(0,?)有f(x)?f(0)； （D）对任意的x?(??,0)有f(x)?f(0)。 解 本题要用到一个常用的结论:

若f?(x0)?0，则存在??0，当x?(x0??,x0)时f(x)?f(x0)；当

x?(x0,x0??)时，f(x)?f(x0). 若f?(x0)?0有相应的结论. (利用导数定义和极限的保号性易证明此结论) 由以上结论知(C)正确.

注：本题选(A)是一种典型的错误，原因是由f?(x0)?0，得不到一定存在x0的某邻域，在此邻域内f(x)单调增. 反例如下：

1?2?x?2xsin,令f(x)??x??0,x?0x?0

x?2x2sinf?(0)?limx?0x1x?1?0

4

当x?0时，f?(x)?1?4xsin取xn?11?2cos xx1，则f?(xn)?1?2??1?0. 2n?14取yn?，则f?(yn)?1??0

??2n??2n??22由于以上的两种点xn和yn在x?0的任何邻域内都存在，则在x?0的任何邻域内既存在的导数为正的点，也存在导数为负的点，则f(x)在x?0的任何邻域内都不单调增.

第二节 极 限

1．极限概念

1）数列极限: liman?A：???0, ?N(?)?0,当n?N时|an?A|??.

n??2）函数极限:

（1）自变量趋于无穷大时函数的极限

limf(x)?A： ???0, ?X(?)?0,当|x|?X时|f(x)?A|??.

x?? limf(x)?A和limf(x)?A的定义与limf(x)?A类似。

x???x???x?? limf(x)?A ? limf(x)?limf(x)?A

x??x???x???（2）自变量趋于有限值时函数的极限

x?x0limf(x)?A： ???0, ??(?)?0,当0?|x?x0|??时|f(x)?A|??。

x?x0左极限：limf(x)?f(x0?0); ?右极限：limf(x)?f(x0?0); ?x?x0x?x0limf(x)?A?limf(x)?limf(x)?A ??x?x0x?x011?x2x几个值得注意的极限：lime,limarctan，lime,limarctanx,lim.

x?0x?0x??xx??x??x1x2。极限性质

1）有界性： 收敛数列必有界；

2）有理运算性质： 若limf(x)?A, limg(x)?B.

5

那么: lim[f(x)?g(x)]?A?B；

lim[f(x)?g(x)]?A?B；

limf(x)A? (B?0) g(x)Bf(x)存在，limg(x)?0?limf(x)?0; g(x)f(x)?A?0,limf(x)?0?limg(x)?0; g(x) 两个常用的结论：1）lim 2) lim3）保号性： 设limf(x)?A

x?x0（1） 如果A?0,则存在?,当x?U(x0,?)时，f(x)?0. （2） 如果当x?U(x0,?)时,f(x)?0,那么A?0. 4）函数值与极限值之间的关系：

limf(x)?A?f(x)?A??(x). 其中lim?(x)?0.

?? 3。极限存在准则

1）夹逼准则： 若存在N，当n?N时，yn?xn?zn，且limyn?limzn?a,n??n??n??limxn?a.

2）单调有界准则：单调有界数列必有极限。 4。无穷小量

1）无穷小量的概念: 若limf(x)?0，称f(x)为无穷小量(x?x0或

x??).

2) 无穷小的比较: 设lim?(x)?0, lim ?(x)?0. （1）高阶： 若lim?(x)?0； 记为?(x)??(?(x)); ?(x)?(x)?C?0； ?(x)（2）同阶： 若lim 6

（3）等价： 若lim?(x)?1；记为?(x)~?(x); ?(x)?(x)?C?0，称?(x)是?(x)的k阶无穷小. k[?(x)]（4）无穷小的阶: 若lim5。无穷大量

1) 无穷大量的概念: 若limf(x)??，称f(x)为x?x0时的无穷大量。

x?x02）无穷大量与无界变量的关系： 无穷大量?无界变量 3）无穷大量与无穷小量的关系：

无穷大量的倒数是无穷小量；非零的无穷小量的倒数是无穷大量。

题型一 极限的概念、性质及存在准则

例1.8 “对任意给定的??(0,1)，总存在正数N，当n?N时，恒有

xn?a?2?”是数列?xn?收敛于a的

(A) 充分条件但非必要条件. (B) 必要条件但非充分条件. (C) 充分必要条件. (D) 既非充分条件又非必要条件. 解 本题主要考查对数列?xn?收敛于a定义的理解. 其定义是“对任意给定的

??0，存在N?0，当n?N时，恒有xn?a??”这与本题中的说法是等价的，故应选（C）.

limbn?1，limcn??，例1.9 设?an?，且liman?0，?bn?，?cn?均为非负数列，

n??n??n??则必有

(A) an?bn 对任意n成立. (B) bn?cn 对任意n成立. (C) 极限limancn不存在. (D) 极限limbncn不存在.

n??n??解法1 直接法

由limbn?1，limcn?? 知 limbncn??，

n??n??n??故选（D）. 解法2 排除法

由题设条件可知liman?limbn

n??n??n?? 7

n?N后有 an?bn

而不能得到对任意的n有 an?bn

1，cn?n，显然liman?0，limcn??，

n??n??n2n而limancn=lim2?0 n??n??n从而（C）不正确，故应选（D）.

若取an?例1.10 设对任意的x总有?(x)?f(x)?g(x)，且lim[g(x)??(x)]?0，则

x??limf(x)

x??(A) 存在且等于于零. (B) 存在但不一定为零. (C) 一定不存在. (D) 不一定存在. 解 令?(x)?1?11g(x)?1?,，22xxx??f(x)?1

显然?(x)?f(x)?g(x)，且lim[g(x)??(x)]?0，此时

limf(x)?1.

x??则（A）和（C）不正确. 若令 ?(x)?x?11g(x)?x?f(x)?x，，，

x2x2x??x??则?(x)?f(x)?g(x)，且lim[g(x)??(x)]?0，但limf(x)??（不存在）. 从而（B）不正确，故（D）正确.

例1.11 设数列?xn?与?yn?满足limxnyn?0，则下列断言正确的是

n??(A) 若xn发散，则yn必发散. (B) 若xn无界，则yn必有界. (C) 若xn有界，则yn必为无穷小. (D) 若解法1 排除法 若取xn?n，yn?1，显然（A）不正确. n21为无穷小，则yn必为无穷小. xn?n,若取xn???0,

?0, yn??n为奇数.?n,8

n为偶数.n为偶数.

n为奇数.则limxnyn?0，且xn无界，但yn也无界，则（B）不正确.

n??若取xn?1，yn?n，显然（C）不正确. 2n故应选（D） 解法2 直接法 由于 yn?(xnyn)?1，则 xnlimyn?lim(xnyn)limn??n??1?0?0?0 n??xn故应选（D）

例1.12 设函数f(x)在(??,??)内单调有界，?xn?为数列，下列命题正确的是

(A) 若?xn?收敛，则?f(xn)?收敛. (B) 若?xn?单调，则?f(xn)?收敛. (C) 若?f(xn)?收敛，则?xn?收敛. (D) 若?f(xn)?单调，则?xn?收敛. 解法1 直接法

由于f(x)单调有界，则当?xn?单调时，数列?f(xn)?单调有界，从而?f(xn)? 收敛，故选（B） 解法2 排除法

x?0?arctanx,令f(x)??

?1?arctanx,x?0(?1)nxn?.

n显然f(x)在(??,??)上单调有界，limxn?0收敛，但

n???1?arctan(),n为奇数??nf(xn)??

1?1?arctan,n为偶数?n?limf(xn)不存在，则（A）不正确.

n?? 9

令f(x)?arctanx,n??n??xn?n

limf(xn)?limarctann??2收敛，且f(xn)?arctann单调，但limxn??，

n??则（C）（D）均不正确，故应选（B）. 题型二 求极限 方法1. 利用有理运算法则求极限

(2x?1)4(x?1)6?5x(x8?x)例1.13 lim 10x??(x?2)1151(2?)4(1?)6?(1?7)xxxx 解 原式=limx??2(1?)10x

x???16

例1.14 lim3x2(3x?8?3x?1)

73x27?解法1 原式?lim3

x??(x?8)2?(3x?8?3x?1)?(3x?1)23sin2x?2enx?cosx例1.15 设 f(x)?lim，求limf(x). nxx?0n??x?es,?2cox???解 f(x)??2,?2x?sin,??xx?0x?0x?0x?0 x?0sin2x?2 xlimf(x)?lim2cosx?2，limf(x)?lim????x?0x?0x?0则 limf(x)?2.

方法2. 利用基本极限求极限 常用的基本极限

11sinxlim?1, lim(1?x)x?e, lim(1?)x?e

x??x?0x?0xxex?1ax?1ln(1?x)lim?1, lim?1, lim?lna x?0x?0x?0xxx

10

(1?x)??1??, limnn?1. limn??x?0x例1.16 limsinx?ln(1?2x)；

x?03x?1?x?2sinxln(1?2x)?xx解 原式=limx x?03?11?x?1?xx1?26 = ?12ln3?1ln3?2方法3.利用等价无穷小代换求极限 1.常用等价无穷小 当x?0时,

x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1?x)~ex?1;

ax?1~xlna, ， (1?x)??1~?x, 1?cosx~12x 2 2。等价无穷小代换一般只能用在乘、除关系，而不能用在加、减关系。

例1.17 求极限 limx?0?3sin2x0ln(1?t)dt3(1?x?1)sinx.

?解 原式=limx?0sin2x0ln(1?t)dt14x3

ln(1?sin2x)2sinxcosx =lim

x?043x3x2?2x3? =limx?0432x3例1.18 limx(a?ax??21x1x?1)。(a?0)

(a11?xx?1解法1 原式=limxax??21x?1?1)

11

=limx(ax??21x(x?1)x2lna?1)?lim?lna

x??x(x?1)解法2

ln(1?f(x)?sin5x)?1 ， 求limf(x).

x?0x?02x?1ln1(?f(x)sin5x)?1. 解 由于limx?02x?1例1.19若lim(2x?1)?0，则 且 limx?0limln(1?f(x)sin5x)?0，limf(x)sin5x?0

x?0x?0当x?0时ln(1?f(x)sin5x)~f(x)sin5x

2x?1~xln2

f(x)sin5x?1

x?0xln25f(x)ln2lim?1， limf(x)?. x?0ln2x?05nnn?1； 例1.20 limn??lnnlim??n解 原式=lim(en??lnnlnnn?1)

lnnnnlnn =lim?n??lnnn =1

(e?1~lnn) n方法4. 洛必达法则：

若 1）limf(x)?limg(x)?0(?);

x?x0x?x0 2）f(x)和g(x)在x0的某去心邻域内可导，且g?(x)?0; 3）limf?(x)存在（或?）； g?(x)x?x0 则 limx?x0f(x)f?(x)?lim. x?x0?g(x)g(x)0?，，0??，???，0?注：洛比达法则可用来求七种类型不定式的极限，即

12

1?，?0，00，其中前两种

0?，直接用洛比达法则，后五种均可化为前0?两种.这里1?，?0，00都为幂指函数极限lim(f(x))g(x)，可通过

0?lim(f(x))g(x)?limeg(x)lnf(x)化为0??，进一步化为或.

0??11??例1.21 lim??? x?0?ln(1?tanx)sinx??解 原式=limsinx?ln(1?tanx)

x?0ln(1?tanx)sinx(ln(1?tanx)~x?sinx~x)

sinx?ln(1?tanx)x?0x2sec2xcosx?1?tanx =limx?02x =limsinx?cosx?sec2x1? =limx?02x2arcsinx1?cosx例1.22 lim().

x?0xln(1解法1 原式=limex?0arcsinx)x1?cosx

arcsinxarcsinx?xln(1?)xx lim?limx?01?cosxx?012x2arcsinx?x =lim

x?013x2ln11?x32x22?1 =limx?0

21?1?x2 =lim

3x?0x212x22 =lim23x?0x

(1?1?x2~12x) 213

1 =

3原式=e

解法2 对1?型极限用以下结论方便

若lim?(x)?0，lim?(x)??，且lim?(x)?(x)?A. 则lim(1??(x))?(x)?eA.

?arcsinx?由于??x??11?cosx13?arcsinx?x???1??x??11?cosx

arcsxin?xarcsxin?x而 lim ?limx?0x(1?cox13s)x?0x21 = （见解法1）

3则原式=e

sinxx?a例1.23 lim(),(a?k?).

x?asinasinx?sinax?a) 解法1 原式=lim(1?x?asinax?ax?a2cossin1??sinx?sina?122??lim因为 lim???? x?ax?asinax?asinax?a????11132cos =limx?ax?a?x?a???x?ax?a?2?2??1??~? ??, ?sinsina22??x?a??cos =limx?ax?a2sina?cota.

所以 原式=ecota.

?sinx?sina?解法2 原式=lim?1??x?asina??1x?a

（1）lim

sinx?sinacosx?lim （洛比达法则）

x?a(x?a)sinax?asina14

=cota （2）limsinx?sinacosc （拉格朗日中值定理） ?limx?a(x?a)sinax?asina =cota （3）limsinx?sinacosa??cota （导数定义）

x?a(x?a)sinasina则 原式=ecota.

12例1.24 lim(n?tg)n;

n??n11??tan???nn 解 原式=lim?1??n??1??n??n211tan?nn，我们考虑极限 为求极限limn??1n3tanx?xsec2x?1lim?lim x?0x?0x33x2tan2x1? =limx?03x23则 原式=e

13?x1?xx??例1.25 lim? ??x????(1?x)xe??????xx?? 解 原式=lim?x????1xe?(1?)??x??1x(e?(1?)x)x =limx???1e(1?)xx 15

1e?(1?)x1x （令1?t） =2lim1xex???x ??1(1?t)?elim e2t?0?t?1elime2t?0?ln(1?t)t1t =

?etln(1?t)?tt

1e =?limet?0??1t

ln(1?t)?tt1ln(1?t)?t =?limet?0?t2(e?1~ln(1?t)?t) t1?111?t =?lim ?t?0e2t?t11?t?1 =?limet?0?2t2e方法5 泰勒公式

定理（泰勒公式）设f(x)在x?x0处n阶可导，则

f(n)(x0)f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)???(x?x0)n?o(x?x0)n

n!特别是当x0?0时

f??(0)2f(n)(0)nf(x)?f(0)?f?(0)x?x???x?o(xn)

2!n!例1.26 若 limx?0f(x)?6xf(x)?sin6x?0lim，则等于

x?0x2x3（A） 0； （B）6； （C）36； （D）?.

xf(x)?sin6x解法1 lim 3x?0x1xf(x)?[6x?(6x)3?o(x3)]3! =lim

x?0x3f(x)?6?36?0, =lim2x?0x

16

则 limx?0f(x)?6?36. x2解法2

xf(x)?sin6x(xf(x)?6x)?(si6nx?6x)?lim?0 33x?0x?0xxf(x)?66x?sin6x?lim知 lim2

x?0x?0xx36?6cos6x =lim

x?03x216?(6x)2 =lim22?36.

x?03xxf(x)?sin6x?0知， 解法3 由limx?0x3由 lim当x?0时. xf(x)?sin6x?o(x3)

sin6x?o(x2) xsin6x6??o(x2)f(x)?6x lim?lim2x?0x?0xx2sin6x6?x =limx?0x26x?sin6x?36 =limx?0x3则 f(x)??解法4 排除法

令xf(x)?sin6x?0，显然有limx?0xf(x)?sin6x?0， 3xsin6x xsin6x6?f(x)?6x lim?lim22x?0x?0xx6x?sin6x?36, =lim3x?0x此时，f(x)??显然（A）（B）（D）均不正确，故应选（C）. 例1.27 limx?0cosx?e ；

x2?x?ln(1?x)??x22x2?o(x2) 解 ln1(?x)??x?2

17

x2x4cosx?1???o(x4)

2!4!e?x22x2x4?1??2?o(x4)

222!14x?o(x4)1原式=lim122?.

x?0x6x2[??o(x2)]2?f(x)???e3,其中f(x)二阶可导，求f(0),f?(0),f??(0) 例1.28 已知lim?1?x??x?0x??f(x)??及lim?1??. x?0x??1x1xf(x)x解 由lim(1?x?)?e3知

x?0xlim(x?x?01f(x)f(x)?1?)?0，且lim?x???3. x?0xx??x即limx?0f(x)?2 2xf??(0)2x??(x2) 2!f??(0)2f(0)?f?(0)x?x?o(x2)f(x)2!由lim2?lim?2 知 2x?0xx?0x而f(x)?f(0)?f?(0)x?f(0)?0，f?(0)?0，f??(0)?4. f(x)由于 lim2?2，

x?0xf(x)x)?e2 则 lim(1?x?0x1方法6 利用夹逼准则求极限

?122n2??????例1.29 求极限 lim?66n???n?2nn6?n2?n?n??; ??解 由于

n(n?1)(2n?1)6n?n

62?1n?n6?22n?2n6???n2n?n62?n(n?1)(2n?1)6n?n6

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1则 原式?

3nn???am,其中ai?0(i?1,2,?,m)。 例1.30 求极限limna1n?a2n??ai?a，则 解 令 max1?i?mnna?nan?na1n?a2???am?nman?nma

limnm?1

n??则 原式=a?maxai

1?i?m注：本题的结论是一个常用结论. 例1.31 设 an?n132n?1?? 求 liman;

n??242n解 显然 an?1，又

n132n?1n352n?111 an????????242n242n2n?12n?1nlimn??n11?limn?1 2n?1n??2n?1n??an?1 则 lim方法7 利用单调有界准则求极限(先证明极限存在,再求出极限) 例1.32 设0?x1?3,xn?1?xn(3?xn)(n?1,2,?)，证明：数列{xn}极限

存在并求此极限。 证：由0?x1?3，xn?1?xn(3?xn)知，0?xn?3，

13从而有xn?1?xn(3?xn)?[(xn)2?(3?xn)2]?.

22而xn?1?xn?xn(3?xn)?xn?2xn(3?xn)?xnxn(3?xn)?xn

=

xn(3?2xn)xn(3?xn)?xn?0

则?xn?单调增，或者由

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xn?1?33xx?1?n3?1?1 n2知?xn?递增

又?xn?上有界，则limn??xn存在，不妨设 limn??xn?a

等式xn?1?xn(3?xn)两端取极限得

a?a(3?a)，由此解得a?3

2

或a?0（舍去） 则 lim3n??xn?2. 例1.33 设 an?6?6?6???6，求极限limn??an。

解法1 显然数列?an?递增，且

an?6?an?1， a1?6?3，

若an?1?3，则an?6?an?1?3，从而

an?3，即数列?an?上有界，则limn??an存在，设limn??an?a，

由an?6?an?1知，a?6?a 解得a?3，或a??2 （舍去） 则 limn??an?3

解法2 直接证明limn??an?3

由an?6?an?1知

an?3?6?an?1?3?an?1?316?a3a?3?1n?1n?1?3?3n?1a1?3?0则 limn??an?3.

例1.34 设数列{xn}满足0?x1??,xn?1?sinxn(n?1,2,?)。 ）证明limn??xn存在，并求该极限；

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(n??) 1

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