2012年安徽高考试题（理数，word解析版）

2012年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数学（理科）

成都经开区实验高级中学 徐天顺

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 考生注意事项：

答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作．．．．图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在．．．

题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。

参考公式：

如果事件A与B互斥；则P(A?B)?P(A)?P(B) 如果事件A与B相互独立；则P(AB)?P(A)P(B)

如果A与B是事件，且P(B)?0；则P(AB)?P(AB) P(B)第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）复数z满足：(z?i)(2?i)?5；则z?（ ）

(A)?2?2i (B)?2?2i (C)???i (D)???i

【解析】选D

(z?i)(2?i)?5?z?i?55(2?i)?z?i??2?2i 2?i(2?i)(2?i)（2）下列函数中，不满足：f(2x)?2f(x)的是（ ）

(A)f(x)?x (B)f(x)?x?x (C)f(x)?x?? (D)f(x)??x

【解析】选C

1

f(x)?kx与f(x)?kx均满足：f(2x)?2f(x)得：A,B,D满足条件

（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） (A)3 (B)4 (C)? (D)? 【解析】选B

x y 1 1 2 2 4 3 8 4 4.公比为2等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11?16， 则log2a10?（ ）

(A)4 (B)5 (C)? (D)? 【解析】选B

2a3a11?16?a7?16?a7?4?a10?a7?q3?32?log2a10?5

5.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则

(A) 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 (B) 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 (C) 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 (D)甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

2

【解析】选C x甲?11(4?5?6?7?8)?6,x乙?(5?3?6?9)?6 5515甲的成绩的方差为(22?2?12?2)?2，乙的成绩的方差为(12?3?32?1)?2.4

（6）设平面?与平面?相交于直线m，直线a在平面?内，直线b在平面?内，且b?m 则“???”是“a?b”的（ ）

15(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件

(D) 即不充分不必要条件

【解析】选A

①???,b?m?b???b?a ②如果a//m；则a?b与b?m条件相同 （7）(x?2)(21?1)5的展开式的常数项是（ ） 2x (A)?3 (B)?2 (C)? (D)? 【解析】选D

第一个因式取x，第二个因式取

2114 得：1?C5(?1)?5 2x55第一个因式取2，第二个因式取(?1)得：2?(?1)??2 展开式的常数项是5?(?2)?3

????????3?（8）在平面直角坐标系中，O(0,0),P(6,8)，将向量OP按逆时针旋转后，得向量OQ

4 则点Q的坐标是（ ） (A)(?72?,2 ) (B) (?72,2) (C) (?46,?2) (D)(?46,2)

【解析】选A

????34【方法一】设OP?(10cos?,10sin?)?cos??,sin??

55????3?3?则OQ?(10cos(??),10sin(??))?(?72,?2)

44?????????3?OP?(6,8)OM?(8,?6) 【方法二】将向量按逆时针旋转后得

2??????????1??? 则OQ??(OP?OM)?(?72,?2)

22（9）过抛物线y?4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，点O是原点，若AF?3；

则?AOB的面积为（ ）

3

(A)2 (B) 22 (C)

32 (D)22 2【解析】选C

设?AFx??(0????)及BF?m；则点A到准线l:x??1的距离为3 得：3?2?3cos??cos??123 又m?2?mcos(???)?m?? 31?cos?21132232 ??AOB的面积为S??OF?AB?sin???1?(3?)?22232（10）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换

的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品 的同学人数为（ ）

(A)1或3 (B)1或4 (C) 2或3 (D)2或4 【解析】选D

2C6?13?15?13?2

①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为2人 ②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为4人

第II卷（非选择题 共100分）

考生注意事项：

请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. ．．．．．．．．．．．．．．．．．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.

?x?0?（11）若x,y满足约束条件：?x?2y?3；则x?y的取值范围为_____

?2x?y?3?【解析】x?y的取值范围为_____[?3,0]

约束条件对应?ABC边际及内的区域：A(0,3),B(0,),C(1,1)

则t?x?y?[?3,0]

（12）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是_____ 【解析】表面积是_____92

该几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱

几何体的表面积是S?2??(2?5)?4?(2?5?4?4?(5?2))?4?92 （13）在极坐标系中，圆??4sin?的圆心到直线??【解析】距离是_____

321222?6(??R)的距离是_____

3

4

圆??4sin??x?(y?2)?4的圆心C(0,2)

22直线l:???6(??R)?x?3y?0；点C到直线l的距离是0?232?3

??????（14）若平面向量a,b满足：2a?b?3；则a?b的最小值是_____

??9【解析】a?b的最小值是_____?

8???2?2??2a?b?3?4a?b?9?4a?b ?2?2??????????94a?b?4ab??4a?b?9?4a?b??4a?b?a?b??8（15）设?ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c；则下列命题正确的是_____ ①若ab?c；则C?3332?3 ②若a?b?2c；则C??3

③若a?b?c；则C?22222?2 ④若(a?b)c?2ab；则C??2

⑤若(a?b)c?2ab；则C?【解析】正确的是_____①②③

?3

a2?b2?c22ab?ab1????C? ①ab?c?cosC?2ab2ab232a2?b2?c24(a2?b2)?(a?b)21????C? ②a?b?2c?cosC?2ab8ab23 ③当C??2时，c?a?b?c?ac?bc?a?b与a?b?c矛盾

22232233333 ④取a?b?2,c?1满足(a?b)c?2ab得：C?22222?2

⑤取a?b?2,c?1满足(a?b)c?2ab得：C??3

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.

（16）(本小题满分12分)

设函数f(x)?2?cos(2x?)?sin2x 24 （I）求函数f(x)的最小正周期；

（II）设函数g(x)对任意x?R，有g(x?)?g(x)，且当x?[0,??22]时，g(x)?1 ?f(x)；

2 5

求函数g(x)在[??,0]上的解析式。

【解析】f(x)?2?11111cos(2x?)?sin2x?cos2x?sin2x?(1?cos2x)??sin2x 24222222??? 2?11 （2）当x?[0,]时，g(x)??f(x)?sin2x

222 （I）函数f(x)的最小正周期T? 当x?[????1?1,0]时，(x?)?[0,] g(x)?g(x?)?sin2(x?)??sin2x 2222222??11当x?[??,?)时，(x??)?[0,) g(x)?g(x??)?sin2(x??)?sin2x

2222???1?sin2x(??x?0)??22得：函数g(x)在[??,0]上的解析式为g(x)??

1??sin2x(???x?)??22（17）（本小题满分12分）

某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后 该试题回库，并增补一道A类试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用 的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现共有n?m道 试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题工作完成后，试 题库中A类试题的数量。 （Ⅰ）求X?n?2的概率；

（Ⅱ）设m?n，求X的分布列和均值（数学期望）。 【解析】（I）X?n?2表示两次调题均为A类型试题，概率为

nn?1 ?m?nm?n?21（Ⅱ）m?n时，每次调用的是A类型试题的概率为p?

2 随机变量X可取n,n?1,n?2

P(X?n)?(1?p)2?X 1112，P(X?n?1)?2p(1?p)?，P(X?n?2)?p? 424n n?1 n?2 1 41 21 4P 111EX?n??(n?1)??(n?2)??n?1

424nn?1答：（Ⅰ）X?n?2的概率为 ?m?nm?n?2

6

（Ⅱ）求X的均值为n?1

（18）（本小题满分12分）

平面图形ABB1AC11C如图4所示，其中BB1C1C是矩形，BC?2,BB1?4，AB?AC?2，

A1B1?A1C1?5。现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使?ABC与?A1B1C1所在平面都

与平面BB1C1C垂直，再分别连接AA1,BA1,CA1,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答 下列问题。

。

（Ⅰ）证明：AA1?BC； （Ⅱ）求AA1的长； （Ⅲ）求二面角A?BC?A1的余弦值。

【解析】（I）取BC,B1C1的中点为点O,O1，连接AO,OO1,AO1,AO11 则AB?AC?AO?BC，面ABC?面BB1C1C?AO?面BB1C1C 同理：AO11?面BB1C1C 得：AO//AO11?A,O,A1,O1共面 又OO1?BC,OO1?AO?O?BC?面AOO1A1?AA1?BC

7

（Ⅱ）延长A1O1到D，使O1D?OA 得：O1D//OA?AD//OO1

OO，面A1B1C1?面BB1C1C?OO1?面A1B1C1?AD?面A1B1C1 1?BC AA1?

2AD?D2A?42?(2?1)2? 5?BC??AOA1是二面角A?BC?A1的平面角 （Ⅲ）AO?BC,AO1 在Rt?OO1A1中，A1O?OO1?A1O1?2242?22?25 AO2?A1O2?AA125?? 在Rt?OAA1中，cos?AOA1?

2AO?A1O5 得：二面角A?BC?A1的余弦值为?（19）（本小题满分13分）

K]

5。（lbylfx） 5 设f(x)?ae?x1?b(a?0) xae （I）求f(x)在[0,??)上的最小值；

（II）设曲线y?f(x)在点(2,f(2))的切线方程为y?x3x；求a,b的值。 211a2t2?1?b?y??a?2?【解析】（I）设t?e(t?1)；则y?at? atatat21?b在t?1上是增函数 at1 得：当t?1(x?0)时，f(x)的最小值为a??b

a1 ②当0?a?1时，y?at??b?2?b

at1x 当且仅当at?1(t?e?,x??lna)时，f(x)的最小值为b?2

a11xx（II）f(x)?ae?x?b?f?(x)?ae?x

aeae ①当a?1时，y??0?y?at?12?2?ae??b?3a??f(2)?3?????ae2e2?? 由题意得：? 3???131f(2)???ae2??b???22??ae2?2?（20）（本小题满分13分）

x2y2 如图，F1(?c,0),F2(c,0)分别是椭圆C:2?2?1(a?b?0)

ab

8

的左，右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P，

a2过点F2作直线PF2的垂线交直线x?于点Q；

c（I）若点Q的坐标为(4,4)；求椭圆C的方程； （II）证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点。

x2y2b2【解析】（I）点P(?c,y1)(y1?0)代入2?2?1得：y1?

abab2?04?0a PF1?QF2????1 ①

?c?c4?ca22a,b,c?0③) 又?4 ② c2?a2?b(cx2y2 由①②③得：a?2,c?1,b?3 既椭圆C的方程为??1

43b2?0y?0a2（II）设Q(,y2)；则PF1?QF2?a?2??1?y2?2a 2c?c?ca?cc 得：kPQb2b22a??2xcx2y2b222aa ?2? 2?2?1?y?b?2x?y??2abaaab?cb2?2x2cax??c 过点P与椭圆C相切的直线斜率k?y? 得：直线PQ与椭圆C只有一个交点。

（21）（本小题满分13分）

?c?kPQ a 数列{xn}满足：x1?0,xn?1??xn?xn?c(n?N) （I）证明：数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c?0 （II）求c的取值范围，使数列{xn}是单调递增数列。 【解析】（I）必要条件

当c?0时，xn?1??xn?xn?c?xn?数列{xn}是单调递减数列 充分条件

9

22* 数列{xn}是单调递减数列?x1?x2??x1?x1?c?c?x1?0 得：数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c?0 （II）由（I）得：C?0

①当c?0时，an?a1?0，不合题意

②当c?0时，x2?c?x1,x3??c?2c?x2?c?0?c?1 xn?1?xn?c?xn?0?xn?c?1?0?x1?xn?2222222c

xn?2?xn?1??(xn?1?xn)?(xn?1?xn)??(xn?1?xn)(xn?1?xn?1)

当c?11时，xn?c??xn?xn?1?1?0?xn?2?xn?1与xn?1?xn同号， 42由x2?x1?c?0?xn?2?xn?0?xn?1?xn

2 limxn?1?lim(?xn?xn?c)?limxn?c n??n??n?? 当c?11时，存在N，使xN??xN?xN?1?1?xN?2?xN?1与xN?1?xN异号 42与数列{xn}是单调递减数列矛盾 得：当0?c?1时，数列{xn}是单调递增数列（lbylfx） 4 10

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