2014深圳杯A题论文

深圳杯数学建模夏令营A题 姓名：李能望 柳颜 周薇

题目：计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究

【摘要】

人口的数量和结构是影响经济社会发展的重要因素。从20世纪70年代后期以来，我国开始实施计划生育政策，该政策的实施，有效地控制了我国人口的过快增长，对经济发展和人民生活的改善做出了积极的贡献。但另一方面，其负面影响也开始显现。劳动人口绝对数量开始步入下降通道，人口老龄化，负担过重。为了研究计划生育政策调整对人口数量和结构的影响，本文对以下几个方面进行探索：

首先，为了研究我国未来人口的数量及发展趋势，利用spss软件做出我国出生率、死亡率及自然增长率的线性图，并建立灰色预测GM(1,1)模型对我国未来十年的人口数量进行预测，在2026年我国总人口将达到151835万人。综合可以发现，我国未来人口将继续以一种缓慢的方式增加，在达到一定的峰值后开始减少。此外，小组还拟合出了我国未来十年城镇与农村人口数量、男女出生性别比、来老年人口比例等函数，根据函数预测未来人口结构变化，得出，我国未来人口将进入老龄化阶段，男女比例失衡，大量农村人口涌入城市，造成城市人口负担的加重，影响我国社会的稳定发展。

其次，组员在阅读并研究了我国人口战略发展研究的论文后，对其中的一些报道进行了分析与总结。

最后，针对北京市计划生育的新政策，本文将夫妻双方”是否为独生子女”看成性状来考虑，新计划生育政策对北京未来10年的影响。首先用2003年到2013年北京10年的常住人口数，出生率和死亡率，及户籍人口数，利用拟合函数模型预测2013年到2015年的户籍人口。然后利用最小二乘拟合原理模拟出了未来10年北京市户籍人口的出生率和死亡率，最后利用概率与统计相关知识的计算得出了未来10年北京市的常住人口，对比得出新计划生育政策对北京市的影响，户籍人口与常住人口之比降低，北京市人口负担将加重，人口抚养比将增大，将给北京市社会带来更大的压力。

关键词：spss线性图 灰预测GM（1，1）模型 人口老龄化 单独二胎

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一、 问题重述

问题一、人口问题有着悠久的研究历史，其研究模型都依赖生育模式、生育率、死亡率和性别比等多个因素。这些因素与政策及人的观念、社会文化习俗有着紧密的关系，后者又受社会经济发展水平的影响。根据每十年一次的全国人口普查数据，建立模型预测未来人口数量及结构变化。

问题二、请收集一些典型的研究评论报告，对报告的假设和某些结论发表自己的独立见解。

问题三、针对深圳市或其他某个区域，讨论计划生育新政策（可综合考虑城镇化、延迟退休年龄、养老金统筹等政策因素，但只须选择某一方面作重点讨论）对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。

二、问题分析

1、我们认为对人口数量及结构产生主要影响的有以下几个方面：出生率、生育率，死亡率，年龄结构及男女比例。为了研究我国未来人口的数量及发展趋势，利用spss软件做出我国出生率、死亡率及自然增长率的线性图，并建立灰色预测GM(1,1)模型对我国未来十年的人口数量进行预测，在2026年我国总人口将达到151835万人。综合可以发现，我国未来人口将继续以一种缓慢的方式增加，在达到一定的峰值后开始减少。此外，小组还拟合出了我国未来十年城镇与农村人口数量、男女出生性别比、来老年人口比例等函数，根据函数预测未来人口结构变化，得出：我国未来人口将进入老龄化阶段，男女比例失衡，大量农村人口涌入城市，造成城市人口负担，影响我国社会的稳定发展。

2、组员在阅读并研究了我国人口战略发展研究的论文后，对其中的一些报道进行了分析与总结。

3、针对北京市计划生育的新政策，本文将夫妻双方“是否为独生子女”看成性状来考虑，新计划生育政策对北京未来10年的影响。首先用2003年到2013年北京10年的常住人口数，出生率和死亡率，及户籍人口数，利用拟合函数模型预测2013年到2015年的户籍人口。然后利用最小二乘拟合原理模拟出了未来10年北京市户籍人口的出生率和死亡率，最后利用概率与统计相关知识的计算得出了未来10年北京市的常住人口，对比得出新计划生育政策对北京市的影响，户籍人口与常住人口之比降低，北京市人口负担将加重，人口抚养比将增大，将给北京市社会带来更大的压力。

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三、模型假设

1、未来10年无重大自然灾害、疾病、战争对人口数量、出生率、死亡率有重大影响。

2、在预测期中，人口增长只与计划生育政策有关，思想观念的改变及经济增长等因素可直接忽略。

3、城市和农村人口比例1：1，

4、假设有20%的城市人不愿意生二胎。

5、假设夫妇双方是否为独生子女相互独立，且概率都为1/2。 5、假设计划生育政策改革后与模型一中预测计划生育政策未改革的全市死亡率保持一致。

四、符号说明

xx(1) ：x(0)的一次累加序列；

(1)(i)：x的第i个元素；

(1)? ：发展灰数；

? ：内生控制灰数；

B :数据矩阵；

Yn :原始数列矩阵

i :年份 i=2003，2004，2005，2006，2007，?，2022； b(i) :计划生育改革前第i年的北京市户籍人口出生率； d(i) :第i年的北京市户籍人口死亡率；

p(i) :计划生育改革后第i年的北京市户籍人口出生率； A(i) :计划生育改革后第i年北京市户籍人口总数； n(i) ：计划生育改革后第i年北京市常住人口总数。

y(i) ：北京市非户籍人口与户籍人口之比

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五、模型的建立与求解

5.1、计划生育政策调整前我国人口数量及结构研究预测

我国是从2011年开始实行新计划生育政策，为了了解计划生育调整前我国人口发展走向，本文统计了从1980年到2010 年近三十年间人口的出生率、死亡率以及自然增长率数据为了更加清楚的看出他们的变化规律，小组利用spss软件做出了相应的变化线性图，如下图1：

[1]

图1、1980年到2010年我国出生率死亡率自然增长率变化图

可以发现，在这三十年间我国的自然增长率处于一个大致平稳的状态，在2006年后开始有所缓慢上升趋势，而出生率与死亡率走向基本一致，在1980年到1990年波动起伏较大，在1990年后均开始急剧下降，不难推出，若计划生育政策不变，我国的出生率与死亡率将逐年降低，随着死亡率的降低，人口数量将在达到一个峰值后开始减少。

为了进一步了解我国未来人口数量的变化，小组从国家统计局内收集到1980年2010年我国人口总数，建立灰预测模型，分析他们的变化趋势，并对未来十几年我国人口数量的变化做出预测。

5.1.1、灰预测模型的建立

在灰色系统理论中，称抽象的逆过程为灰色预测，也称GM。它是根据关联度、生成数灰导数、灰微分等观点和一系列数学方法建立起来的连续型的微分方程。下面利用单变量一阶灰色预测GM(1,1)模型对x

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(0)序列的确定增长趋势进行

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预测。

GM(1,1)模型设原始时间序列为x(0)?(x(1),x(2),...x(n))，这是一组信

(0)(0)(0)息不完全的灰色量，且具有很大的随机性将其进行生成处理，提供更多的有用信息。

其形式为： dx??x??

dt(1)(1)设原始时间序列：x(0)?(x(1),x(2),...x(n))

(0)(0)(0)(0)(0)预测第n+1，第n+2，?的值：x(n?1),x(n?2),... 其相应的预测模型模拟序列为： x设

(0)?(x(1),x(2),...x(n))

(0)(0)(0)x(1)为

x(0)的一次累加序列：

(1)k(0)x(1)?(x(1),x(2),...x(n))，

(0)(0)(0)k?1,2,?,n ， 其中 x(k)??(x(i))。

i?1利用

x(1)计算GM(1,1)模型参数?，?。通过最小二乘法可得：

?1???TT,其中 =(B)??BBYn???111??((1)?(2))xx?2???1(1(2)?1(3))xB??2x???111?((n?1)?(n))?xx?2?(0)?1??1??，Yn?(x(0)(2),x(0)(3),?1??1??(0),x(n))。

(0)微分方程的解为：x(k?1)?(x(1)?)e?ak?残差检验

??? ?评价精度高低最简单的方法是看模型值和原值之间的残差百分比。我们认为一般百分比?5%即为满意，对?20%以内的，根据实际情况也可以使用。如果再大即要考虑修正模型或改为其他模型。实际上如果原始数据摆动小，精度要比

?5%小得多。 5.1.2、模型的求解

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表12 ：北京市近10年的常住人口人口数（单位：万人） 年份 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 常住1456 1493 1538 1601 1676 1771 1860 1962 2019 2069 人口 我们得到近10年的非户籍人口与户籍人口的比值如下：

表13、北京市10年的非户籍人口与户籍人口的比值 年份 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 比值 0.26 0.28 0.30 0.33 0.38 0.44 0.49 0.56 0.58 0.59 本文用MATLAB利用最小二乘拟合原理做出函数图像 如下图所示：

图14、人口比拟合图 拟合的函数为y??528.9log(x)?4025

由此可以看出户籍人口与非户籍人口的比值逐年下降 ，可能非户籍人口超过户籍人口预测后10年北京市的非户籍人口与户籍人口的比值如下 :

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表15、预测未来北京市非户籍人口与户籍人口的比值 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 比值 0.82 0.84 0.86 0.89 0.93 0.96 0.99 1.05 1.09 1.20 通过概率统计模型我们可以得到：

北京市第i年户籍人口的出生率为p(i)?(1?0.75)?80%b(i) 第i年户籍人口数 A(i?1)?A(i)(1.4b(i?1)?d(i?1)?1) 北京市近10年的人口的出生率和死亡率：

表16、北京市近10年的人口的出生率和死亡率表 年份 出生率（?） 死亡率（?） 2003 5.10 5.20 2004 6.10 5.40 2005 6.29 5.20 2006 6.26 4.97 2007 8.32 4.92 2008 8.17 4.75 2009 8.06 4.56 2010 7.48 4.41 2011 8.29 4.27 2012 9.05 4.31 利用拟合函数预测的北京未来10年的出生率和死亡率为： 表17、北京未来10年的出生率和死亡率表 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份 出生率（? 8.49 8.86 3.89 9.13 3.75 9.45 3.62 9.77 3.48 10.09 3.34 10.40 3.21 10.72 3.07 2021 11.04 2.94 2022 11.36 2.80 死亡率4.02 （?） 根据公式A(i?1)?A(i)(1.4b(i?1)?d(i?1)?1)，算出未来十年北京市户籍人口总数，如下表18：

表18、未来十年北京市户籍人口总数表（单位：万人） 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 户籍1163 1173 1184 1195 1207 1220 1234 1249 1265 1282 人口 利用公式：n(i)?A(i)(y(i)?1)得政策后北京市常住人口，如下表19：

表19、政策后北京市常住人口数表 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 常住2116 2158 2202 2258 2330 2391 2456 2560 2644 2820 人口 因此，开放“单独二孩”所带来的人口增长，在北京市发展中可能不会很明显。 由以上模型可以得出：计划生育政策调整后，存在一定数量的城镇妇女开始生二胎，通过预测北京市的出生率在未来将会有所上升，新增人口逐渐增加。同时，由于经济的发展，北京市的外来人口增多，户籍人口与常住人口之比降低，在死亡率基本保持波动不大的情况下，北京市的人口负担将加重，人口抚养比增大，社会将处于宝盒的状态。

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六、模型评价及推广

评价：传统线性回归的预测方法和最小二乘拟合，通过预测出生率和死亡率进而计算出人口总数，结构简单，易于理解，但对数据得依赖性太强，只适用于短期预测，而我们所用的灰色预测模型GM(1，1)，克服了最小二乘法对资料的随机波动完全盲目的被动局势和线性回归的单一发展速度，对于预测对象不全和资料波动太大不平稳的人口发展趋势效果较好，但是灰色模型预测的几何曲线往往呈单调递增或递减趋势，对人口总量变化的随机波动则反映较弱，而且只适用短期预测。

推广：该模型建立后可为新计划生育政策的效果进行预测，从而为后期政策的调整做出了重要贡献。同时本文所采用的灰色预测模型GM（1，1），因其在对于预测对象不全和资料波动太大不平稳的人口发展趋势效果较好，因此各个领域均有应用，例如，医学，生物化学，物理学等。

七、参考文献

[1].陈东彦，李东梅. 数学建模[M]. 北京：科学出版社，2007. [2].姜启源. 数学模型[M]. 北京：高等教育出版社，2003. [3].冯玉峰，张金漫等. 中国人口增长预测模型论文[M]. 2007.

[4].王彦，马伯强. 20世纪80年代以来我国人口发展的数学模型和展望[J].

北京大学学报（自然科学版），第39卷 增刊：29—30，2003.

[5].王兵团. 数学建模基础[M]. 北京：清华大学出版社，2004年11月.

[6].赵静，严尚安等. 数学建模与实验[M]. 北京：高等教育出版社；海德堡：

施普林格出版社，2001.

[7].国家统计局. http://www.stats.gov.cn/

八、附录

程序：

拟合常住人口与户籍人口之比 function t

x=[2003;2004;2005;2006;2007;2008;2009;2010;2011;2012];

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y=[3.82;3.59;3.35;2.99;2.64;2.29;2.00;1.79;1.72;1.68]; f=fittype('a*log(x)+b','independent','x','coefficients',{'a','b'}) cfun=fit(x,y,f) xi=2003:0.1:2012; yi=cfun(xi); plot(x,y,'r',xi,yi,'b-')

附表一、我国人口数量 年份 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 65岁及以上人口数所占的比重 5.5% 6.0% 6.2% 6.2% 6.4% 6.2% 6.4% 6.5% 6.7% 6.9% 7.0% 7.1% 7.3% 7.5% 7.6% 7.7% 7.9% 8.0% 8.2% 8.5% 8.9% 9.1% 9.3% 2069 年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 总人口 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124761 125786 126743 127627 128453 129227 129988 130756 131448 132129 132802 133450 134091 134735 135404 1538 男性 58904 59466 59811 60472 61246 61808 62200 63131 63940 64692 65437 65672 66115 66556 66976 67375 67728 68048 68357 68647 68748 69068 69395 1601 女性 55429 56357 57360 58045 58604 59313 60189 60495 60821 61094 61306 61955 62338 62671 63012 63381 63720 64081 64445 64803 65343 65667 66009 1676 男女差 3297 3339 3599 3655 3280 3376 3494 3475 3109 2451 2427 2642 2495 2011 2636 3119 3598 4131 3717 3777 3885 3964 3994 1771 14

男女性别比 106.6 105.5 104.3 104.2 104.5 104.2 103.3 104.4 105.1 105.9 106.7 106.0 106.1 106.2 106.3 106.3 106.3 106.2 106.1 105.9 105.2 105.2 105.1 1860 65岁及以上人口数 6368 6937 7271 7289 7622 7510 7833 8085 8359 8679 8821 9062 9377 9692 9857 10055 10419 10636 10956 11307 11894 12288 12714 总人口（万

1962 2019 深圳杯数学建模夏令营A题 姓名：李能望 柳颜 周薇

人） 城镇人口（万人） 农村人口（万人） 1286 252 1350 251 1416 260 1504 267 1581 279 1686 275 1740 279 1784 286 附表二、2005年到2012年北京市人口数量 年份 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 总人口（万人） 人口出生率（%） 人口死亡率（%） 98705 100072 101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124761 125786 126743 127627 128453 129227 129988 130756 131448 132129 132802 133450 18.21 20.91 22.28 20.19 19.9 21.04 22.43 22.33 22.37 21.58 21.06 19.68 18.24 18.09 17.7 17.12 16.98 16.57 15.64 14.64 14.03 13.38 12.86 12.41 12.29 12.4 12.09 12.1 12.14 11.95 6.34 6.36 6.6 6.9 6.82 6.78 6.86 6.72 6.64 6.54 6.67 6.7 6.64 6.64 6.49 6.57 6.56 6.51 6.5 6.46 6.45 6.43 6.41 6.4 6.42 6.51 6.81 6.93 7.06 7.08 人口自然增长率（%） 11.87 14.55 15.68 13.29 13.08 14.26 15.57 16.61 15.73 15.04 14.39 12.98 11.6 11.45 11.21 10.55 10.42 10.06 9.14 8.18 7.58 6.95 6.45 6.01 5.87 5.89 5.28 5.17 5.08 4.87 附表三、我国人口出生率死亡率 15

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