高级微观经济学数学准备

（一）函数

1凹（凸）函数 1.1凸集

凸集：对于任意两点u?S和v?S，且对于每一个??[0,1]，当且仅当

w??u?(1??)v?S为真时，集合S?Rn为凸集。

凸集要求集合内两点之间的连线必须也在集合内，即该集合不存在任何孔，它的边缘也不能有缩进。例如，平面中，一条线段就是一个凸集，而一个圆圈则不是。 1.2凹（凸）函数

介绍凸集是为了引入凹（凸）函数：不管是凹函数还是凸函数都要求其定义域是凸集。我们可以先举个例子直观感受下凹（凸）函数的特征，比如函数y??x2?4x?4就是一个凹函数，它在定义域内呈现出峰形；函数y?x2?4x?4就是一个凸函数，它在定义域内呈现谷底。

现在具体给出凹（凸）函数的定义：

对于函数f:D?R，其定义域内任意两个不同的点x和x,当且仅当

12tf(x1)?(1?t)f(x2)?f(tx1?(1?t)x2)?t?(0,1)

时，函数f为凹函数。

对于函数f:D?R，其定义域内任意两个不同的点x和x,当且仅当

12tf(x1)?(1?t)f(x2)?f(tx1?(1?t)x2)?t?(0,1)

时，函数f为凸函数。

若将不等号“?” 和“?”分别变换成严格不等号“?”和“?”，上述定义便成了严格凹函数和严格凸函数的定义。

因为凹函数的定义域为凸集，因此点

tx1?(1?t)x2也一定在函数的定义域内。

我们可以利用凹（凸）函数和严格凹（凸）函数判断函数极值的情况。凹函数一定存在绝对极大值，但绝对极大值可能不是唯一的，因为如果山峰包含一个平顶，则可能存在多重绝对极大值。仅当我们限定它为严格凹形函数时，绝对值才可能是唯一的。 1.3凹（凸）函数与凸集的关系

首先我们必须区别凸集与凸函数的概念。

根据定义，可知当“凸的”在描述集合时，它要求该集合不能出现任何孔，边缘也不能有缩进。这不同于之前的凹（凸）函数：当“凸的”在描述函数时，它确定的是一条曲线或曲面是如何弯曲的。

但凹（凸）函数确实与凸集有关。除了定义域都要求是凸集之外，它们都可以引致一个凸集。

定理

f(x)是凹函数?A??(x，y)x?D,f(x)?y?是凸集；

1

f(x)是凸函数?A??(x，y)x?D,f(x)?y?是凸集。

即，由函数上的点以及函数曲线（曲面）之下的点组成的集合若是凸集?该函数为凹函数；由函数上的点以及函数曲线（曲面）之上的点组成的集合若是凸集?该函数为凸函数。 2拟凹（拟凸）函数

不管是凹（凸）函数还是严格凹（凸）函数，它们对函数都有比较强的设定。但是通常，理论研究的工作之一是为保证获得结果，识别出我们需要对函数进行的最弱的可行设定。拟凹（拟凸）函数则是一个相对而言更弱的条件。

拟凹（拟凸）函数的定义如下：

对于函数f:D?R，其定义域内任意两个不同的点x和x,当且仅当

12min?f(x1),f(x2)??f(tx1?(1?t)x2)时，函数f为拟凹函数。

forallt?(0,1)

2对于函数f:D?R，其定义域内任意两个不同的点x和x,当且仅当

1max?f(x1),f(x2)??f(tx1?(1?t)x2)forallt?(0,1)

时，函数f为拟凸函数。

若将不等号“?” 和“?”分别变换成严格不等号“?”和“?”，上述定义便适用于严格拟凹函数和严格拟凸函数的定义。

我们也可以通过更直观的方法检验函数的拟凹性和拟凸性。

设S(y)?xx?D,f(x)?y0?0? 为函数

f(x)在y0水平上的上等值集，

I(y0)?xx?D,f(x)?y0为函数f(x)在y0水平上的下等值集。

定理

对于值域内的所有y值，S(y)都是凸集?f:D?R是拟凹函数 对于值域内的所有y值，I(y)都是凸集?f:D?R是拟凸函数

经济学中常假设拟凹的效用函数。根据定理，拟凹的效用函数保证了其上等值集为凸集。 3函数间关系

（1）f(x)是（严格）凹函数??f(x)是（严格）凸函数； （2）f(x)是（严格）拟凹函数??f(x)是（严格）拟凸函数；

（3）f(x)是（严格）凹函数?f(x)是（严格）拟凹函数（反之不成立）； （4）f(x)是（严格）凸函数?f(x)是（严格）拟凸函数（反之不成立）； （5）单调函数既是拟凹函数也是拟凸函数

（6）凹（凸）函数相加仍为凹（凸）函数，拟凹和拟凸函数则没有类似关系。

2

??（二）无约束的最优化问题

1一元函数的无约束极值

本讲义将讨论的函数范围限定在二次连续可微函数的范围里。

给定一个二次连续可微的一元函数,y?f(x)。易知，它在x?x0处取得极值的一阶必要条件为：f'(x)?0。而该极值究竟是极大值还是极小值得看f''(x)的符号：若f''(x)?0，则f(x0)为唯一的绝对极大值；若f''(x)?0，则f(x0)为唯一的绝对极小值。

利用上述极值的导数条件，我们可以推导出极值的微分条件，即：

对于任意非零dx，函数的一阶全微分为零； dy?f'(x)dx?0?极值的一阶必要条件：

d2y?d[f'(x)dx]?f''(x)dx2?f''(x)(dx)2?对于任意非零dx，我们也可以通过计

算函数的二阶全微分来判断极值的情况。

综上，当函数为二次连续可微时，它取得极值的必要条件为： （1）函数在x取得绝对极大值

*?dy?f'(x*)dx?0?dy?f''(x)(dx)?0?dy?f'(x*)dx?0?dy?f''(x)(dx)?02*22*2，对于任意非零dx都成立；

（2）函数在x取得绝对极小值

*，对于任意非零dx都成立。

在满足必要条件的前提下，函数取得唯一的绝对极值时充分条件为

d2y?f''(x*)(dx)2?0，对于任意非零dx都成立?函数在x*取得唯一绝对极大值； d2y?f''(x*)(dx)2?0，对于任意非零dx都成立?函数在x*取得唯一绝对极小值。

只要将dx改为一阶微分向量dx，以上极值的微分条件能直接从单变量的情况推广至两个甚至多个变量的情况。 2多元函数的最优化问题 2.1一阶条件

***T稳态值：R上的函数y?f(x1,x2,...,xn)的稳态值(x1,x2,...,xn)?x*，在该点处，

n下面几个等式同时成立：

***f1(x1,x2,...,xn)?0,***f2(x1,x2,...,xn)?0,...***fn(x1,x2,...,xn)?0.

定理

如果在点(x1,x2,...,xn)?x，我们可能得到局部最大（小）值，即对于

***T(x1,x2,...,xn)?x*一个尽可能小的邻域内，所有点(x1,x2,...,xn)T?x都有

***T* 3

***?f(x1,x2,...,xn)?f(x1,x2,...,xn)，那么稳态条件必然满足。

2.2二阶条件

直觉上，多元函数与一元函数一样，在稳态值取得最大值还是最小值与d2y的符号有关。 我们先对dy进行微分，可得：

d2y?[df1(x*)dx1]?[df2(x*)dx2]?...?[dfn(x*)dxn]f11(x*)dx1dx1?f21(x*)dx2dx1...?fn1(x*)dxndx1?f11(x*)?*T?f21(x)?(dx)?...?*??fn1(x)?f11(x*)?*f(x)*21?H(x)?其中，

?...?*??fn1(x)2??f12(x*)dx1dx2?...?f1n(x*)dx1dxn?f22(x*)dx2dx2?...?f2n(x*)dx2dxn...?fn2(x*)dxndx2f12(x*)...f22(x*).........fn2(x*)......f1n(x*)??f2n(x*)?d(x)?...*?fnn(x)??......?fnn(x*)dxndxn

f12(x*)...f22(x*).........fn2(x*)...f1n(x*)??f2n(x*)?为海塞矩阵。根据杨格定理：fij?fji，...??fnn(x*)??因此海塞矩阵为对称矩阵。

在判断dy的符号之前，我们先正（负）定矩阵及其判定方法。 定义

T若对于所有的x?0，q(x)=xAx>0始终成立，则称q(x)正定，A为正定矩阵； T若对于所有的x?0，q(x)=xAx?0始终成立，则称q(x)负定，A为负定矩阵； T若对于所有的x?0，q(x)=xAx?0始终成立，则称q(x)半正定，A为半正定矩阵； T若对于所有的x?0，q(x)=xAx?0始终成立，则称q(x)半负定，A为半负定矩阵。

2根据以上定义，若要判断dy的符号，我们只需判定与其对应的海塞矩阵的正（负）定。其实，通过判定海塞矩阵的正（负）定，我们也可以判定函数的凹（凸）性，即对于二次连续可微函数y?f(x1,x2,...,xn)，

（1）其海塞矩阵H(x)负定?函数为严格凹函数?存在唯一绝对极大值； （2）其海塞矩阵H(x)正定?函数为严格凸函数?存在唯一绝对极小值。

4

接下来介绍正负定的判定方法。 定义

主子阵：对n?n矩阵A，由A 的 k个主对角线元素及其对应的非对角线元素来得到的矩阵，称为A的k阶主子阵；由A 的 前k个主对角线元素及其对应的非对角线元素来得到的矩阵，为k阶前主子阵。

主子阵的行列式为主子式；前主子阵的行列式为顺序主子式。

我们用

，如: Dk表示H(x)的k阶顺序主子式（其中k?1,2,3,...,n）

D1(x)?f11(x)， D2(x)?…

f11(x)f21(x)f11(x)f12(x)f22(x),

f12(x)...f22(x).........fn2(x)...f1n(x)f2n(x)...fnn(x)。

Dk(x)?f21(x)...fn1(x)定理

对于二次连续可微函数，y?f(x1,x2,...,xn) （1）Dk?0(k?1,2,...,n)?海塞矩阵正定； （2）(?1)Dk?0(k?1,2,...,n)?海塞矩阵负定。

?用H表示海塞矩阵H的指标（1,2,3，…，n）的任意排序，Dk为H的k阶顺序主

?k?子式，则

?（3）Dk?0,(k?1,2,...,n)?海塞矩阵半正定；

(k?1,2,...,n)?海塞矩阵半负定。

?（4）(?1)kDk?0,从而，我们给出极值的充分条件： 已

知

二

次

连

续

可

微

函

数

y?f(x1,x2,...,xn)?f(x)

，

***fi(x1,x2,...,xn)?0(i?1,2,...,n)

(1)其海塞矩阵H(x)负定?严格凹函数? f(x)为函数的唯一绝对极大值； (2)其海塞矩阵H(x)正定?严格凸函数? f(x)为函数的唯一绝对极小值。 3举例：二元函数的无约束极值问题

有一个二次连续可微函数y?f(x1,x2)，

5

**

可知其海塞矩阵为H???f11?f21f12, f22f12?，则 ?f22?D1?f11，D2??f11f21?f11D1?f11,f22，D2?f21根据之前的判定规则，

f12f22,f22f12f21 f112(1)D1?f11?0，D2?f11f22?f12?0?y?f(x1,x2)为严格凹函数； 2(2)D1?f11?0，D2?f11f22?f12?0?y?f(x1,x2)为严格凸函数；

?2(3)D1?f11,f22?0，D2?f11f22?f12?0?y?f(x1,x2)为凹函数； ?2(4)D1?f11,f22?0，D2?f11f22?f12?0?y?f(x1,x2)为凸函数；

******若f1(x1,x2),x2)?f2(x1,x2)?0，我们就可以根据函数的凹凸性来判定函数在点(x1取得的是绝对极大值还是绝对极小值。

6

（三）具有约束条件的最优化问题

之前的部分只是考虑了无约束条件的最优化问题，这即是说在求极值的过程中，我们没有对选择变量的值进行约束，从而求得的解可能是负值，也可能很大。然而考虑到经济学是建立在稀缺的资源如何配置的问题上的，因而在经济学的最优化求解过程中，我们通常不得不面临资源的稀缺性——即对选择变量的值加上约束条件。

约束条件大致分三类：等式约束、非负约束以及更普遍的，其它形式的不等式约束。我们将依次介绍对应的求解方法。从现在开始，讨论将以最大化问题为主，在解决最大化问题后会稍微提及解决最小化问题的方法。 1等式约束

关于解决等式约束的方法，其实我们已经学过了，就是利用拉格朗日方法求解的过程。现在简要回顾拉格朗日函数。

1.1二元目标函数、一个等式约束的约束最优化条件

考虑二元函数下，具有约束条件的最优化问题

maxx1,x2s..ty?f(x1,x2) g(x1,x2)?c

其中c是一个常数，z和g都是二次连续可微函数。

该问题的拉格朗日函数为：

L?f(x1,x2)??[c?g(x1,x2)]

一阶条件要求：

****,x2)?L?f(x1*?g(x1,x2)????0

?x1x1?x1****,x2)?L?f(x1*?g(x1,x2)????0

?x2x2?x2?L**?c?g(x1,x2)?0 ??***(x,x,?)。

求出上述一阶条件，可得12二阶条件：

将拉格朗日乘子也看作是变量，则最大化拉格朗日函数的过程可视为无约束最优化过

***(x,x,?)满足L的无约束极值中极大值的二阶条件，我们便可12程。这也就是说，如果解

***(x,x,?)是我们约束最优化问题的解。事实上在二阶条件求导过程中，这里与无约确定 12束最优化关键区别在于， dx1与dx2的取值不再是任意非零即可，等式约束中dx1与dx2的取值有关。

对等式约束g(x1,x2)?c两边求一阶全微分，可得：

7

dg?g1dx1?g2dx2?0?dx2??g1dx1。 g2g1dx1， g2因此等式约束要求

dx2??对函数y?f(x1,x2)进行二阶全微分可得：

d2y?d(dy)??(dy)?(dy)dx1?dx2?x1?x2?(dx2)?(dx2)2dx1]?[f12dx1dx2?f22dx2?f2dx2]?x1?x2?[f11dx12?f12dx1dx2?f22?f11dx12?2f12dx1dx2?f22dx2?f2d2x2对g(x1,x2)?c进行二阶全微分，化简可得：

2d2g?d(dg)?g11dx12?2g12dx1dx2?g22dx2?g2d2x2?0

?d2x2?将上式代入dy，可得：

2?12?(g11dx12?2g12dx1dx2?g22dx2)g2

dx1222dy?2(L11g2?2g1g2L12?L22g11)g220而L11g?2g1g2L12?Lg??gx2222211gxLxxLyxgyLxy。 Lyy

gy?0?定义 H??gx?gy?gxLxxLyxgy??Lxy? 为加边海塞矩阵, 它是由海塞矩阵和一阶导数（边）构成Lyy??0gxLxxLyxgyLxy。则

Lyy的矩阵，用H表示，H上面的-表示边。 D?gxgy2(?1)dx12dy?D 2g2综上，我们可以得到目标为二元函数、仅包含一个等式约束的最优化条件：

当(x1,x2,?)满足拉格朗日函数的一阶条件时，D?(?)0?(x1,x2)为约束极小（大）值。

8

*****

1.1.1严格拟凹（拟凸）函数与约束极值的关系

当函数y是二次连续可微时，我们还可以用函数的一阶导数和二阶导数（整理成加边行列式）的方法来检验：设

?0B???f1??f2（1）B?0?z为严格拟凹函数； （2）B?0?z为严格拟凸函数。

f1f11f21f2?f12??f22??

将B与之前的加边海塞矩阵H进行比较，可以发现两个不同之处：

一为B中的加边元素是函数f而非g的一阶偏导数，二为B中的其余元素是f而非拉格朗日函数L的二阶偏导数。然而，在线性等式约束g(x1,x2)??1x1??2x2?c的特定情况下（这类等式约束在经济学中经常遇到），Lij可简化为fij,即Lij?fij。

从而，拉格朗日函数为

L?f(x1?x2)??[c?(?1x1??2x2)]

从而

Li?fi???i?0且Lij?fij。

回到“边”，我们注意到线性约束函数产生一阶导数gi??i，因而一阶条件可写为

fi??gi。因此B中的边只不过是H的边被正的标量?乘。通过顺序提取H的横边和纵边

的公因子，得到

0B?f1f2f1f11f21f20?g1?g2L11L21L12??2D L22f12??g1f22?g2结果，在线性约束情况下，B与D总有相同的符号。

由此可知，在线性约束的条件下，我们可以通过直接判断目标函数的严格拟凹（凸）性去判断约束极值的情况：

(1)目标函数为严格拟凹函数?函数在稳态值取得唯一的约束绝对极大值； (2)目标函数为严格拟凸函数?函数在稳态值取得唯一的约束绝对极小值。

1.1.2拟凹（凸）函数与凹（凸）函数的关系

平滑、递增、拟凹的效用函数?上等值集为凸集?凸的向下倾斜的无差异曲线。 因为等产量曲线的概念几乎与无差异曲线是一致的，我们可以类推：

9

平滑、递增、拟凹的生产函数?上等值集为凸集?凸的向下倾斜的等产量曲线。 1.2多元目标函数、m个等式约束的约束最优化条件

现在将拉格朗日方法应用于多元函数。面临的最优化问题为：

maxx1,x2,...,xns..ty?f(x1,x2,...,xn)

g1(x1,x2,...,xn)?c1g2(x1,x2,...,xn)?c2...gm(x1,x2,...,xn)?cm

拉格朗日函数为：

L(x,?)?f(x)+??j[cj?gj(x)]

j?1m一阶条件：

?L?f(x*)m*?gj(x*)????j?0(i?1,2,...,n)?xixi?xij?1

?L?cj?gj(x*)?0(j?1,2,...,m)??j

二阶条件：

此时加边海塞矩阵为：

?0??...?0H??1?g1?...?1??gn.........0...01g1.........g1m...L11.........Ln1...0...0m11g1......g1m......m...gn?g1n?...?m?gn?L1n? ...??Lnn??......g1k...,k?m?1,...,n.(m?n)。

0...定义

.........Dk?0g...11mg1m...gk...g......L11...L1k.........Lk1...Lkkg1k利用

m...gkDk我们直接给出多元目标函数、m个等式约束的约束最优化条件：

(x*,?*)为满足一阶必要条件的解，则

(1)(?1)Dk?0(k?m?1,m?2,...,n)?函数在点x取得唯一的约束绝对极大值；

10

k*

(2) Dk?0(k?m?1,m?2,...,n)?函数在点(x*)取得唯一的约束绝对极小值。 2非负约束

考虑一元可微函数：

maxs..t??f(x)

x?0

由于约束条件x?0，因此可能会出现三种情况：

（1）在x大于零时?取得绝对极大值。此时我们得到了一个内点解。在这种情况下，一阶条件是

d??f'(x)?0，和经典问题一样。 dxd??f'(x)?0仍dx（2）x等于零时?取得绝对极大值。此时我们得到了一个边界解，但

然成立。

（3）x小于零时?取得绝对极大值。此时我们也得到了边界解，但因为作为非线性约束问题中的一个局部极大值，候选点必须必可行域中的邻近点高，从而要求

d??f'(x)?0。 dx综上，为了在x?[0,?)内找到?的极大值， 必须满足以下三个条件中的一个： （1）f'(x)?0且x?0； （2）f'(x)?0且x?0； （3）f'(x)?0且x?0； 将上述三个条件合成一个论述：

f'(x)?0，x?0且xf'(x)?0，

其中，第三个等式表达了三个条件的一个共同特点，即x和f'(x)至少有一个是零，因此两者的乘积一定是零。这个特点是指x与f'(x)互补松弛。

当问题包含n个选择变量时：

max??f(x1,x2,...,xn)

xj?0(j?1,2,...,n)

s..t解决的思路与一元函数相同，这里我们直接给出该约束最优化的必要条件： (1)给定非负约束，多元函数

***f(x1,x2,...,xn)满足

f(x1,x2,...,xn) 在稳态值处取得约束极大值，则

11

(i)(ii)(iii)(1)给定非负约束，多元函数

***f(x1,x2,...,xn)满足

?f(x*)?0,i?1,2,...,n?xi?f(x*)*[]xi?0,i?1,2,...,n ?xixi*?0,i?1,2,...,nf(x1,x2,...,xn) 在稳态值处取得约束极小值，则

(i)(ii)(iii)?f(x*)?0,i?1,2,...,n?xi?f(x*)*[]xi?0,i?1,2,...,n ?xixi*?0,i?1,2,...,n3其它形式的不等式约束

现在我们在非负约束的基础上，再引入不等式约束。为简化，我们先处理两个选择变量和一个不等式约束条件的问题:

maxs..t??f(x)

g(x)?r

x?0在虚拟变量s的帮助下，我们可以将上述问题变换为：

maxs..t??f(x)

g(x)?s?r

x,s?0若没有非负约束，则我们可利用拉格朗日函数求解：

L'?f(x)??[r?g(x)?s]

一阶条件为：

?L'?L'?L'???0 ?x?s??但由于x与s必须是非负的，因此1.1部分的思路，上述一阶条件应改为：

?L'?L'?0?0,x?0,x且； ?x?x?L'?L'?0,s?0,s?0且?s； ?s?L'?0。 ??

12

?L'?L'?0?r?g(x)?s?0注意??仍然成立，为何？因为??一定成立。

?L'???s?r?g(x)进而，将?s以及代入第二个条件，则第二个条件与第三个条件可变为：

r?g(x1,x2)?0,??0,且

[r?g(x)]???0

从而我们可以用没有虚拟变量的等价形式来表达的一阶条件（这时

L?f(x)??[r?g(x)]）：

?L?L?fx??gx?0,x?0,x?0且?x； ?x?L?L?0?r?g(x)?0,??0,??且??。 ??上述讨论可以直接的方式应用于n个选择变量和个约束条件的问题。拉格朗日函数L的形

式为：

L?f(x1,x2,...,xn)???i[ri?gi(x1,x2,...,xn)]

i?1m则该非线性约束问题的库恩-塔克条件为（极大化）：

?L?L?fj??gj?0,xj?0,xj?0(j?1,2,...,n)且?xj； ?xj?L?L?0?ri?gij(x1,x2,...,xn)?0,?i?0,?i?且。 ??i??i如果问题是求极小值，那么可以将它转化为极大化问题，然后应用以上条件求解。此处

仅介绍用库恩-塔克条件求解非线性规划中的极大值问题。

按水平的方向解读上式，我们可以看见库恩-塔克条件在极大化问题中包括了一组与选择变量与拉格朗日乘数的条件。从垂直的方向来解读，对于每一个选择变量和拉格朗日函数，都有一个边际条件（第一列）、一个非负约束（第二列）和一个互补松弛条件（第三列）。在任一个给定条件下，与选择变量相关的一组边际条件与拉格朗日成熟的一组边际条件在不等号方向上是不同的。若满足约束规范，库恩-塔克条件极大（小）化条件可以作为总体极大（小）值的必要条件。 1.2举例

我们现在就将库恩-塔克条件应用于效用最大化问题：

maxU?xy

s..tx?y?100x?40x,y?0

拉格朗日函数为：

13

L?xy??1(100?x?y)??2(40?x)

该问题的约束条件为线性的，因而它一定满足约束规范（之后解释），故可利用库恩-塔克条件求解，可得：

?L?L?y??1??2?0,x?0,x?0且； ?x?x?L?L?x??1?0,y?0,y?0且； ?y?y?L?L?100?x?y?0,?1?0,?1??0且； ??1??1?L?L?40?x?0,?2?0,?2??0且。 ??2??2写出库恩-塔克条件后，典型的方法是通过试错法来求解。步骤如下：

(1)首先给选择变量赋值为零。

通过消除某些项来使条件简化。如果适当的非拉格朗日乘数可以满足所有边际不等式，那么零解将是最优的。

对于当前这个例子，当

x?0或

y?0时，

U?0没有意义，因此该问题中x和y都是

正数。此步骤跳过。

（2）如果零解违反一些不等式，那么可以尝试让一个或更多选择变量为正数。

对于每个正的选择变量，我们可以通过互补松弛条件使不等式边际条件转换为严格等式边际条件。

应用于当前例子，则：

?L??y??1??2=0?y??1??2,x?0??x????L??x??1?0?x??1,y?0?y??由于

?y?x??2x??1?0；

x=?1?0，其它条件可变为：

?L?100?x?y?0； ??1?L?L?40?x?0,?2?0,?2??0这时我们仍然不能简化条件??2且??2。因此我们需要步骤

(3)。

（3）假设函数对拉格朗日乘数的偏导取不等号；若这个假定导致矛盾，那我们应该将该偏导等于零进行测算。

14

?L?40?x?0,则y?x??2?0，那么有x?y?50。但这一解违反

因此，我们先假设??2了约束x?40，故舍去。 那么，我们假设

?L?40?x?0,则x?40,y?60。 ??21.3约束规范

之前多次强调，库恩-塔克条件只有在满足规范约束时，才是极值的必要条件。那么约束规范具体是什么？先介绍几个概念。

***x*?(x,x,...,x)是可行区域边界上的一个可能的解点，并令12n令

dx?(dx1,,dx2,...,,dxn)表示由所提到的边界点移动的特定方向。

测试向量：若某一向量满足条件

*x?0，

（i）如果第j个选择变量在点x处取得零值，那么只允许在x轴上有非负变化，即：若j*

j

那么

dxj?0；

（ii）如果在点x*处恰好满足第i个约束条件的等式约束，那么将只允许dx1,dx2,...,dxn的取值使得约束函数值gi(x*)不增加（对极大值问题），即：

iii若gi(x*)?ri，则dgi(x*)?g1dx1?g2dx2?...?gndxn?0必须成立；

则该向量为测试向量。

规范弧：若某一弧段满足条件 （i）从点x*处出发；

（ii）整个包含在可行区域内； （iii）与已知测试向量相切；

则该弧段我们成为该测试向量的规范弧。

有了这些预备知识后，约束规范可简单地表达为：

如果对可行区域边界上的任意点x*，对每一测试向量dx，存在一规范弧，那么，就满足约束规范。

约束规范的定义看上去有些抽象，有兴趣的同学可以借助参考书中的例子求解理解掌握这一概念。如果实际求解中，我们遇到可行区域是仅由线性约束形成的凸集，那么约束规范总是满足，且库恩-塔克条件在最优解处总成立。这时就免去了检验约束规范是否满足的步骤。

15

(四)最优化的其他主题

接下来我们将回到经典的等式约束最优化领域来讨论包络定理。 1极大值函数

极大值函数是当选择变量都是最优值时候的目标函数。这些选择变量的最优值是外生变量和参数的函数。一旦选择变量的最优值代入原目标函数中，那么目标函数就间接地称为参数的函数。因此，极大值函数也称间接目标函数。它是当参数发生变化的时候，目标函数极大（小）值变化的轨迹。

举例： 通过求解

maxU?u(x,y)

s..tpxx?pyy?Bx,y?0

我们可得用

x*?x*(px,py,B),y*?y*(px,py,B)函

数

：

。将最优值代入U=u(x,y)，则可得间接效

V(pxpyB2包络定理

包络定理：即使在外生变量可能作为内生选择变量的解的一部分间接进入极大值函数的情况下，也只有外生变量参数变化的直接效应才需要考虑。

为了阐释这一概念，考察下面的无约束最优化问题，其中包含两个变量x和y，以及一个参数?：

。

max一阶求导可得：

??f(x,y,?)

?f??0??x??x*?x*(?)??????v?f(x*(?),y*(?),?)?fy*?y*(?)??0???y??

如果v对外生变量

?求导，可得：

?v?x*?x*?fx?fy?f? ??????因为

fx?fy?0，从而

?v?f?。 ?? 16

这一结果表明，间接目标函数对外生变量求导时，只需考虑外生变量的直接效应即可，这便是包络定理。 考虑

2.1几个引理

下面介绍几个利用包络定理得到的几个引理。 2.1.1霍特林引理

企业的利润最大化问题可表述为：

max求解可得利润（极大化）函数：

??Pf(K,L)?wL?rK

?*?Pf(K*,L*)?wL*?rK*

其中，

K*?K*(w,r,P)L*?L*(w,r,P)利用包络定理可得：

。

??*??L*(w,r,P) ?w??*??K*(w,r,P) ?r??*?f(K*,L*) ?P以上三式合起来称为霍特林引理。我们可根据三式中的前两个可得公司的投入需求函数，根

据第三个等式得到公司的供给函数。 2.1.2罗伊恒等式

效用最大化问题可表述为：

maxs..tU?u(x,y)Pxx?Pyy?B

求解该问题可得马歇尔需求函数（Marshallian demand function）：

xm?xm(Px,Py,B)，

ym?ym(Px,Py,B)

因此间接效用函数可表示为：

V(Px,Py,B)?U(xm,ym)??m(B?Pxxm?Pyym)

从而根据包络定理，可得：

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?V???mxm?Px?V???mym ?Py?V??m?B根据上述三个等式，我们便可得罗伊恒等式：

?V/?Px?xm?V/?B，

?V/?Py??ym?V/?B?这个结果便是罗伊恒等式。 2.1.3谢泼德引理

效用最大化问题的对偶问题为支出最小化问题，产出最大化问题的对偶问题为成本最小化问题。将最大化问题中的约束条件作为目标函数最小化，则该最小化问题与最大化问题互为对偶问题。

考虑一个与效用最大化问题对偶的问题——支出最小化问题，它可表述为：

mins..tE?Pxx?PyyU(x,y)?U*

求解该问题可得希克斯需求函数（Hicksian demand function）：

xh?xh(Px,Py,U*)，

yh?yh(Px,Py,U*)

因此支出函数可表示为：

E(Px,Py,U*)?Pxxh?Pyyh??h(U*?U(xh，yh))

从而根据包络定理，可得：

?E?xh?Px?E?yh ?Py?E??h?U*这个结果便是谢泼德引理。 2.4拉格朗日乘数的解释

通过以上引理，我们能总结出：拉格朗日乘数衡量的是例如效用最大化问题中，

L*对约束条件变化的敏感度。

?L*?V???m ?B?B

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从而，?衡量的是当预算B变化时，目标函数极大值的变化率，因此也称?为B的“影子价格”。因此考虑到?在经济学中的含义，拉格朗日函数一定写成

mmL?f(x1,x2,...,xn)???i[ri?gi(x1,x2,...,xn)]i?1mm，而非

L?(

1fn,?2?i?1ix?,ix。.

.xn?.i,g)x 19

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