华东师范大学《线性代数》A卷(2014春)

华东师范大学线性代数A期末考试卷-姚强

华东师范大学期末试卷(A)

2013―2014学年第二学期

课程名称:学生姓名:专

业:

线性代数

学

号:

年级/班级:

课程性质:专业必修

一

二

三

总分

阅卷人签名

注:在该试题中,E表示单位矩阵.

一、单项选择题(共15分,每小题3分)

1.设A,B是n阶方阵,满足关系AB=O,则必有(A)A=B=O(C)|A|=0或|B|=0

(B)A+B=O(D)|A|+|B|=0

.

2.下面说法中不.·正·确·的是

(A)若m×n矩阵A与B等价,则它们的秩相同(B)若m×n矩阵A与B的秩相同,则它们等价

(C)若n维向量组α1,α2,···,αs与β1,β2,···,βt等价,则它们的秩相同(D)若n维向量组α1,α2,···,αs与β1,β2,···,βt的秩相同,则它们等价3.设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,则线性方程组(AB)x=0(A)当n>m时仅有零解(C)当m>n时仅有零解

(B)当n>m时必有非零解(D)当m>n时必有非零解

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4.若n阶方阵A与B相似,则(A)A与B合同

(C)A与B相似于同一对角矩阵

.

(B)A与B的特征方程相同

(D)存在正交矩阵Q,使得B=Q 1AQ

300111

5.设A= 111 ,B= 000 ,则A与B

111000(A)合同且相似

(B)合同但不相似

.

(D)不合同且不相似

(C)不合同但相似

二、填空题(共25分,每小题5分)

6.已知3阶方阵A的三个特征值是1,2,3,则|A 1+A |=

111 1 7.设矩阵A= 022 ,则(A)=003

.

8.若n维向量组α1,α2,α3,α4(n≥4)线性无关,则向量组α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1的关系是

(填“线性相关”或“线性无关”).

9.若α,β,γ是规范正交向量组,则∥α+β+γ∥=

[

10.若A=

k

k]

是负定矩阵,那么k应满足的条件是

k 2

.

三、计算及证明题(共60分,要求写出具体过程)

11.(10分)设n阶方阵A=(α1,α2,···,αn),B=(α1+α2,α2+α3,···,αn+α1),其

中α1,α2,···,αn为n维列向量(n≥2).已知|A|=a(a=0),求|B|的值.

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a111 1 a 1

,α2= ,α3= ,α4= 1 .问当a为何值12.(10分)设4维向量组α1= 1 1 a 1 111a

时,α1,α2,α3,α4的秩为3?当α1,α2,α3,α4的秩为3时,求其一个极大无关组,并

将其余向量用该极大无关组线性表示.

4 33 12015 13.(10分)已知A= 5 45 ,求可逆矩阵P使得PAP为对角矩阵,并求A.00114.(10分)用配·方·法·化二次型f= 4x1x2+2x1x3+2x2x3为标准形,并写出所用的可

逆线性变换矩阵.

15.(10分)设A为n阶方阵,x为n维向量(n≥2).证明:

(1)若存在非负整数k使得Akx=0且Ak+1x=0,则x,Ax,···,Akx线性无关;(2)r(An)=r(An+1).

16.(10分)(1)试构造一个4阶实正交矩阵,使得它的所有16个元素的绝对值都相同.

(2)能否构造一个6阶实正交矩阵,使得它的所有36个元素的绝对值都相同?若能,请构造出.若不能,请说明理由.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/176m.html