概率论与数理统计课后习题答案

习题 一

1．略.见教材习题参考答案.

2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：

（1） A发生，B，C都不发生； （2） A与B发生，C不发生； （3） A，B，C都发生；

（4） A，B，C至少有一个发生； （5） A，B，C都不发生； （6） A，B，C不都发生； （7） A，B，C至多有2个发生； （8） A，B，C至少有2个发生.

【解】（1） A

BC （2） ABC （3） ABC

（4） A∪B∪C=

ABC∪ABC∪A

BC∪ABC∪

A

BC∪ABC∪ABC=ABC

(5)

ABC=A?B?C (6) ABC

(7)

ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪

ABC=ABC=A∪B∪C

(8) AB∪BC∪CA=AB

C∪ABC∪ABC∪ABC

3.略.见教材习题参考答案

4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A?B)=0.3，求P（AB）.



【解】 P（

AB）=1?P（AB）=1?[P(A)?P(A?B)]

=1?[0.7?0.3]=0.6

5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求： （1） 在什么条件下P（AB）取到最大值？ （2） 在什么条件下P（AB）取到最小值？

【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.

（2） 当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.

6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P

（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一

事件发生的概率.

【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)+P(ABC)

=

1114+4+3?112=34

7.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张

方块，2张梅花的概率是多少？ 【解】 p=

C5C3321313C13C13/C1352

8.对一个五人学习小组考虑生日问题：

（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率；

（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.

【解】（1） 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P（A111）=5 75=（

7）（亦可用独立性求解，

下同）

（2） 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，

故

（A65P2）=

75=(

67)5

(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}

P（A13）=1?P(A1)=1?(

7)5

9.略.见教材习题参考答案.

10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n

求其中恰有m件（m≤M）正品（记为A）的概率.如果： （1） n件是同时取出的； （2） n件是无放回逐件取出的；

（3） n件是有放回逐件取出的. 【解】（1） P（A）=

Cmn?mnMCN?M/CN

(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有

PnN种，n次抽取中有m次为正品的组合数为Cmn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正品中

取m件的排列数有

PmM种，从N?M件次品中取n?m件的排列数为

Pn?mN?M种，故

mn?P（A）=

CmPmnPMN?MPn

N1

由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成

P（A）=

Cmn?mMCN?MCn

N可以看出，用第二种方法简便得多.

（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能

的取法总数为Nn种，n次抽取中有m次为正品的组合数为

Cmn种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m次

取得正品，都有M种取法，共有Mm种取法，n?m次取得次品，每次都有N?M种取法，共有（N?M）n?m种取法，故

P(A)?CmMm(N?M)n?m/Nnn 此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为

MN，则取得m件正品的概率为

P(A)?Cm?M?m?M?n?mn??N????1?N??

11.略.见教材习题参考答案.

12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太

弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？

【解】设A={发生一个部件强度太弱}

P(A)?C1C33103/C50?11960

13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，

从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥.

P(A)?C2C14318P(A)?C3442C3?,3735C3?

735故

P(A222?A3)?P(A2)?P(A3)?35 14.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随

机取一粒，求：

（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.

【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2）

(1)

P(A1A2)?P(A1)P(A2)?0.7?0.8?0.56

(2)

P(A1?A2)?0.7?0.8?0.7?0.8?0.94

(3)

P(A1A2?A1A2)?0.8?0.3?0.2?0.7?0.38

15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.

（1） 问正好在第6次停止的概率；

（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.

【解】（1）

pC2113151?5(2)2(2)2?32 (2)

C1(1)(1)31p42?2245/32?25

16.甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投

了3次，求二人进球数相等的概率.

【解】 设Ai={甲进i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,则

P(?3A?(0.3)3(0.4)3?C121(0.4)2iBi3)30.7?(0.3)C30.6??i?0

2

22C3(0.7)2?0.3C3(0.6)20.4+(0.7)3(0.6)3

=0.32076

17．从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率. 【

4512112241012解】

p?1?CCCCC13?

C2118.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：

（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A={下雨}，B={下雪}.

（1）

p(BA)?P(AB)0.1??0.2

P(A)0.52

）

（

p(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.3?0.5?0.1?0.7

19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男

孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.

【解】 设A={其中一个为女孩}，B={至少有一个男孩}，样本点总数为2=8，故

3

题21图 题22图

【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半

小时以上”等价于|x?y|>30.如图阴影部分所示.

P(AB)6/86P(BA)???

P(A)7/87或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.

P(BA)?6 73021P?2?

60422.从（0，1）中随机地取两个数，求：

20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此

人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.

【解】 设A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式

6的概率； 51（2） 两个数之积小于的概率.

4（1） 两个数之和小于【解】 设两数为x,y，则0

P(A)P(BA)P(AB) P(AB)??P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)

6. 5?0.5?0.0520?

0.5?0.05?0.5?0.00252121.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.

144255?17?0.68

p1?1?1251(2) xy=<.

4

1?1?11p2?1???1dx?1dy???ln2

4x?4?42 3

23.设P（【

A）=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5，求P（B｜A∪B）

解

】

P(AB)?P(A)P(BA)P(AB)?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)

P(AB)P(A)?P(AB) P(BA?B)??P(A?B)P(A)?P(B)?P(AB)

?0.8?0.14??0.3077

0.8?0.1?0.2?0.913即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.

?0.7?0.51?

0.7?0.6?0.5426. 将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收

作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？

【解】 设A={原发信息是A}，则={原发信息是B}

C={收到信息是A}，则={收到信息是B} 由贝叶斯公式，得

24.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛

中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.

【解】 设Ai={第一次取出的3个球中有i个新球}，i=0,1,2,3.B={第二

次取出的3球均为新球} 由全概率公式，有

P(B)??P(BAi)P(Ai)

i?03P(AC)?P(A)P(CA)P(A)P(CA)?P(A)P(CA)

31232132/3?30.983C3CCCCCCCCC6??0.99492 79?36?39?936?38?9362???/3?0.98?1/3?0.01333C15C15C15C15C27.C15C15C1515在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现

?0.089

25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试

及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：

（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？

这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）

【解】设Ai={箱中原有i个白球}（i=0,1,2），由题设条件知P（Ai）

=

1,i=0,1,2.又设B={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知 3【解】设A={被调查学生是努力学习的}，则

A={被调查学生是不努

P(BA1)P(A1)P(A1B) P(A1B)??2P(B)?P(BAi)P(Ai)i?0力学习的}.由题意知P（A）=0.8，P（

A）=0.2，又设B={被调

?查学生考试及格}.由题意知P（B|A）=0.9，P（B|故由贝叶斯公式知 （

1

A）=0.9，

）

2/3?1/31?

1/3?1/3?2/3?1/3?1?1/3328.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被

误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率. 【解】 设A={产品确为合格品}，B={产品被认为是合格品}

由贝叶斯公式得

P(A)P(BA)P(AB) P(AB)??P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)

P(AB)??0.2?0.11??0.02702

0.8?0.9?0.2?0.137即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2)

P(A)P(BA)P(AB) ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)

?0.96?0.98?0.998

0.96?0.98?0.04?0.0529.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失

4

的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？

【解】 设A={该客户是“谨慎的”}，B={该客户是“一般的”}，

C={该客户是“冒失的”}，D={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得

因此

P(AB)?P(A)P(B)

故A与B相互独立.

33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为

11，，53P(A|D)?

P(AD)P(A)P(D|A)?【解】 设Ai={第 i人能破译}（i=1,2,3），则

P(D)P(A)P(D|A)?P(B)P(D|B)?P(C)3P(D|C)P(?Ai)?1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3)

i?114，求将此密码破译出的概率.

?0.2?0.05?0.057

0.2?0.05?0.5?0.15?0.3?0.3次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.

423?1????0.6

53430.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是

0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.

【解】设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3

由全概率公式，得

【解】设Ai={第i道工序出次品}（i=1,2,3,4）.

P(?Ai)?1?P(A1A2A3A4)

i?14

?1?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)

P(A)??P(A|Bi)P(Bi)

i?03=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+ (0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×

0.5×0.7

=0.458

35.已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，

?1?0.98?0.97?0.95?0.97?0.124

31.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才

能使至少击中一次的概率不小于0.9? 【解】设必须进行n次独立射击.

1?(0.8)?0.9

即为

n把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：

(0.8)n?0.1

（1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.

（2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.

kp1??C10(0.35)k(0.65)10?k?0.5138

k?03故 n≥11 至少必须进行11次独立射击.

32.证明：若P（A｜B）=P(A｜B)，则A，B相互独立.

【解】（1）

【证】

P(A|?B)即A|P(B)(2)

kp2??C10(0.25)k(0.75)10?k?0.2241

k?410P(AB)P(AB) ?P(B)P(B)亦即

36.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.

试求下列事件的概率：

P(AB)P(B)?P(AB)P(B)

（1） A=“某指定的一层有两位乘客离开”；

（2） B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C=“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D=“至少有两位乘客在同一层离开”.

P(AB)[1?P(B)]?[P(A)?P(AB)]P(B)

5

【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.

（1） P(A)?C2469106，也可由6重贝努里模型：

P(A)?C2(1294610)(10)

（2） 6个人在十层中任意六层离开，故

6P(B)?P10106

（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有

C110种可能结果，

再从六人中选二人在该层离开，有C26种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有

C1319C4C8种可能结果；②4

人同时离开，有

C19种可能结果；③4个人都不在同一层离开，

有P49种可能结果，故

P(C)?C1213114610C6(C9C4C8?C9?P9)/10 （4） D=B.故

6P(D)?1?P(B)?1?P10106

37. n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；

（3） 如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 【解】 （1）

p11?n?1

(2)

p3!(n?3)!2?(n?1)!,n?3

(3)

p(n?1)!n!?1n;p?3!(n?2)!1??2?n!,n?3

38.将线段[0，a]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率

【解】 设这三段长分别为x,y,a?x?y.则基本事件集为由

0??x?y?a?x?y?x?(a?x?y)?y ??y?(a?x?y)?x构成的图形，即

??0?x?a?2?0?y?a??2 ?a??2?x?y?a如图阴影部分所示，故所求概率为

p?14. 39. 某人有n把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开

（抽样是无放回的）.证明试开k次（k=1,2,?,n）才能把门打开的概率与k无关.

k?1【证】

p?Pn?1P?1k,k?1,2,?,n

nn40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立

方体中，随机地取出一个，试求它有i面涂有颜色的概率P（Ai）（i=0,1,2,3）.

【解】 设Ai={小立方体有i面涂有颜色}，i=0,1,2,3.

在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是

三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱

上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000?（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为

P(A5120)?1000?0.512,P(A3841)?1000?0.384,

P(A9682)?1000?0.096,P(A4)?1000?0.008.

41.对任意的随机事件A，B，C，试证

P（AB）+P（AC）?P（BC）≤P(A).

【

证

】 P(A)?P[A(B?C)]?P(AB?AC)

?P(AB)?P(AC)?P(ABC)

6

?P(AB)?P(AC)?P(BC)

42.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 【解】 设

Ai={杯中球的最大个数为i},i=1,2,3.

将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故

3P(A1)?C43!43?38 而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故

1P(A43)?C43?116 因

此 P(A)?1?P(A31921)?P(A3)?1?8?16?16

或

?C121P(A4C3C392)43?16 43.将一枚均匀硬币掷2n次，求出现正面次数多于反面次数的概率. 【解】掷2n次硬币，可能出现：A={正面次数多于反面次数}，B={正

面次数少于反面次数}，C={正面次数等于反面次数}，A，B，C两两互斥.

可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P（A）=P（B）.所以

P(A)?1?P(C)2

由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为

P(C)?Cn1n1n2n(2)(2)

故 P(A)?1n12[1?C2n22n]

44.掷n次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率. 【解】设A={出现正面次数多于反面次数}，B={出现反面次数多于正

面次数}，由对称性知P（A）=P（B）

（1） 当n为奇数时，正、反面次数不会相等.由P（A）+P

（B）=1得P（A）=P（B）=0.5

(2) 当n为偶数时，由上题知

nP(A)?1[1?C212n(2)n]

45.设甲掷均匀硬币n+1次，乙掷n次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.

【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.

乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有

（甲正>乙正）=（甲正

≤乙正）=（n+1?甲反≤n?乙反）

=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）

由对称性知P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反） 因此P(甲正>乙正)=

12

46.证明“确定的原则”（Sure?thing）：若P（A|C）≥P(B|C),P(A|

C)

≥P(B|

C)，则P（A）≥P(B).

【证】 由P（A|C）≥P(B|C),得

P(AC)P(BCP(C)?)P(C),

即有

P(AC)?P(BC)

同理由

P(A|C)?P(B|C), 得 P(AC)?P(BC),

故

P(A)?P(AC)?P(AC)?P(BC)?P(BC)?P(B)

47.一列火车共有n节车厢，有k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.

求每一节车厢内至少有一个旅客的概率. 【解】 设Ai={第i节车厢是空的}，（i=1,?,n）,则

P(A(n?1)k1ki)?nk?(1?n)P(A2iAj)?(1?n)k ?P(AAn?1ki1i2?Ain?1)?(1?n)其中i1,i2,?,in?1是1，2，?，n中的任n?1个. 显然n节车厢全空的概率是零，于是

7

nS?P(An(1?1)k?C1(1?1)k1?i)?i?1nnnS?P(A)?C22k2?iAjn(1?)1?i?j?nn?

Sn?1?1?i?P(Ai1Ai2?Ain?1)?Cn?1(1?n?1n1?i2??in?1?nn)kSn?0P(?ni?1Ai)?S1?S2?S3???(?1)n?1Sn ?C11k2kn(1?n)?C2n(1?n)???(?1)nCn?1n(1?n?1kn) 故所求概率为

1?P(?ni?1A1k22ii)?1?C1n(1?n)?Cn(1?n)???(?1)n?1Cn?1n?1kn(1?n) 48.设随机试验中，某一事件A出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0

如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1. 【证】

在前n次试验中，A至少出现一次的概率为

1?(1??)n?1(n??)

49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国

徽）.在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设A={投掷硬币r次都得到国徽}

B={这只硬币为正品}

由题知

P(B)?mm?n,P(B)?nm?n

P(A|B)?12r,P(A|B)?1 则由贝叶斯公式知

P(B|A)?P(AB)P(B)P(A|B)P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)

m?mm??1rm?1n2n?2rn m?n2r?m?n?1m?50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒

有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一

根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？

【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有

P(B1)?P(B12)?2.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r根，说明已取了2n?r次，设n次取自B1盒（已空），n?r次取自B2盒，第2n?r+1次拿起B1，发现已空。把取2n?r次火柴视作2n?r重贝努里试验，则所求概率为

pn1n1n?rr(2)(2)?12?Cn11?2C2n?n?r22r?r

式中2反映B1与B2盒的对称性（即也可以是B2盒先取空）. （2） 前2n?r?1次取火柴，有n?1次取自B1盒，n?r次取自

B2盒，第2n?r次取自B1盒，故概率为

pn?11n?11n?r1n?112n?r?12?2C2n?r?1(2)(2)2?C2n?r?1(2) 51.求n重贝努里试验中A出现奇数次的概率. 【解】 设在一次试验中A出现的概率为p.则由

(q?p)n?C0p0qn?C1n?1?C22n?2nn0nnpqnpq???Cnpq?1

(q?p)n?C0p0qn?C1n?12qn?2npq?C2np???(?1)nCnn0nnpq以上两式相减得所求概率为

pn?133n?31?C1npq?Cnpq?? ?12[1?(q?p)n] ?1[1?(1?2p)n2] 若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得

p12?2[1?(1?2p)n].

52.设A，B是任意两个随机事件，求P{（

A+B）（A+B）（A+B）

（A+B）}的值.

【解】因为（A∪B）∩（

A∪B）=AB∪AB

8

（

所

A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB

（舍去）

即P（A）=.

求 3

55.随机地向半圆0

2(A?B)(A?B)(A?B)(A?B)



2ax?x2 (a为正常数)内掷一点，点落

在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于π/4的概率为多少？ 【解】利用几何概率来求，图中半圆面积为

?[(AB?AB)?(AB?AB)]

故所求值为0.

53.设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件：

ABC=?，P(A)=P(B)=P(C)<1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）. 【

解

】

由

??

12πa2.阴影部分面积为

π212a?a 42故所求概率为

π212a?a11P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?Pp(ABC?4) 2??

122ππa922 ?3P(A)?3[P(A)]?

56.设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件16产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率. 1311故P(A)?或,按题设P（A）<,故P（A）=.

【解】 设A={两件中至少有一件是不合格品}，B={另一件也是不合442454.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不

发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P（A）. 【

解

】

格品}

P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1 ① 9C242C10P(AB)1 P(B|A)???2CP(A)51-26C10生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表，

P(AB)?P(AB)②

故

57.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女

从中先后抽出两份.

（1） 求先抽到的一份是女生表的概率p；

（2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表

的概率q.

【解】设Ai={报名表是取自第i区的考生}，i=1,2,3.

Bj={第j次取出的是女生表}，j=1,2.

P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB)

故

P(A)?P(B) ③

由A,B的独立性，及①、③式有

1?1?P(A)?P(B)?P(A)P(B) 9

?1?2P(A)?[P(A)]2 ?[1?P(A)]2

1?P(A)??1 31P(Ai)?,i?1,2,3

3375P(B1|A1)?,P(B1|A2)?,P(B1|A3)?

101525则 (1)

137529 p?P(B1)??P(B1|Ai)?(??)?310152590i?1(2)

3故

故

24P(A)?或P(A)?33q?P(B1|B2)?P(B1B2)

P(B2)9

3而

P(B2)??P(B2|Ai)P(Ai)

i?1

?13(710?8206115?25)?90 3P(B1B2)??P(B1B2|Ai)P(Ai)

i?1

?1377853(10?9?15?14?25?2024)?29 故

2q?P(B1B2)P(B?92061 2)61?9058. 设A，B为随机事件，且P（B）>0,P(A|B)=1,试比较P(A∪B)与P(A)的大小. (2006研考)

解

：

因

为 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)

P(AB)?P(B)?P(AB)?P(B)

所

以 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(B)?P(A).

习题二

1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，

以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律. 【解】

X?3,4,5P(X?3)?1C3?0.15P(X?4)?3C3?0.3

5P(X?5)?C24C3?0.65故所求分布律为 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6

2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求： （1） X的分布律； （2） X的分布函数并作图； (3)

P{X?1332},P{1?X?2},P{1?X?2},P{1?X?2}.

【解】

X?0,1,2.P(X?0)?C31322C3?.1535P(X?1)?C122C1312 C3?.1535P(X?2)?C1131

C3?.1535故X的分布律为 X 0 1 2 P 22 1213535 35

（2） 当x<0时，F（x）=P（X≤x）=0

当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)=

2235 当1≤x<2时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=3435 当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1 故X的分布函数

??0,x?0?22,0?x?1F(x)???35 ?34?,1?x?2?35?1,x?2(3)

10

1122P(X?)?F()?,(2) 由分布律的性质知

2235NNa3334341??P(X?k)???a P(1?X?)?F()?F(1)???0223535k?1k?1N 3312即 a?1. P(1?X?)?P(X?1)?P(1?X?)?22355.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：

341P(1?X?2)?F(2)?F(1)?P(X?2)?1???0.（1） 两人投中次数相等的概率;

35353.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】

设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.

P(X?0)?(0.2)3?0.008P(X?1)?C1230.8(0.2)?0.096P(X?2)?C2(0.8)20.2?0.384

3P(X?3)?(0.8)3?0.512故X的分布律为 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 分布函数

??0,x?00.008,0?x?1F(x)????0.104,1?x?2

??0.488,2?x?3??1,x?3P(X?2)?P(X?2)?P(X?3)?0.896

4.（1） 设随机变量X的分布律为

P{X=k}=a?kk!，

其中k=0，1，2，?，λ＞0为常数，试确定常数a. （2） 设随机变量X的分布律为

P{X=k}=a/N， k=1，2，?，N，

试确定常数a.

【解】（1） 由分布律的性质知

??1??P(X?k)?a??kk?0k?0k!?a?e?

故

a?e??

（2） 甲比乙投中次数多的概率.

【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7)

(1)

P(X?Y)?P(X?0,Y?0)?P(X?1,Y?1)?P(X?P(X?3,Y?3)

?(0.4)3(0.3)3?C121230.6(0.4)C30.7(0.3)+

C20.4C23(0.6)23(0.7)20.3?(0.6)3(0.7)3

?0.32076

(2)

P(X?Y)?P(X?1,Y?0)?P(X?2,Y?0)?P(X?3,Y?

P(X?2,Y?1)?P(X?3,Y?1)?P(X?3,Y?2)

?C12322330.6(0.4)(0.3)?C3(0.6)0.4(0.3)?

(0.6)3(0.3)3?C23(0.6)20.4C130.7(0.3(0.6)3C1232230.7(0.3)?(0.6)C3(0.7)0=0.243

6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？

【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b(200,0.02)，设机

场需配备N条跑道，则有

P(X?N)?0.01

即

11

k(0.98)200?k?0.01

k??200Ck200(0.02)N?1利用泊松近似

??np?200?0.02?4. ?P(X?N)?k?e?44k?N?1k!?0.01

查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.

7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？ 【解】设X表示出事故的次数，则X~b（1000，0.0001）

P(X?2)?1?P(X?0)?P(X?1)

?1?e?0.1?0.1?e?0.1

8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}.

【解】设在每次试验中成功的概率为p，则

C1p(1?p)4?C2p255(1?p)3

故 p?

13

所

以 P(X?4)?C4142105(3)3?243.

9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，

（1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.

【解】（1） 设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X~6（5，0.3）

5P(X?3)??Ckk5(0.3)k(0.7)5??0.16308

k?3(2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y~b（7，0.3）

7P(Y?3)??Ckk?k7(0.3)(0.7)7?0.35293

k?310.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参

数为（1/2）t的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.

（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；

（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.

【解】（1）

P(X?0)?e?32 (2)

P(X?1)?1?P(X?0)?1?e?52

11.设P{X=k}=Ck2pk(1?p)2?k, k=0,1,2

P{Y=m}=Cm4pm(1?p)4?m, m=0,1,2,3,4

分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=59，试求P{Y≥1}. 【解】因为P(X?1)?59，故P(X?1)?49. 而

P(X?1)?P(X?0)?(1?p)2

故得

(1?p)2?49, 即

p?13.

从

而 P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?p)4?6581?0.8024712.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，

试求在这 2000 册书中恰有 5册错误的概率.

【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算,

??np?2000?0.001?2

得

e?225P(X?5)?5!?0.0018

13.进行某种试验，成功的概率为

34，失败的概率为

14.以X表示试

验首次成功所需试验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率. 【解】

X?1,2,?,k,? P(X?k)?(1)k?1344

P(X?2)?P(X?4)???P(X?2k)??

12

?14?34?(14)334???(14)2k?134?? 1?3?414? 1?(1)25414.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.

在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：

（1） 保险公司亏本的概率;

（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.

（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X，则X~b(2500,0.002)，则所求概率为

P(2000X?30000)?P(X?15)?1?P(X?14)

由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有

14P(X?15)?1??e?55k?0.000069

k?0k!(2) P(保险公司获利不少于10000)

?P(30000?2000X?10000)?P(X?10)

??10e?55kk?0k!?0.986305

即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上 P

（

保

险

公

司

获

利

不

少

于

20000

）

?P(30000?2000X?20000)?P(X?5)

5e?55k???0.615961

k?0k!即保险公司获利不少于20000元的概率约为62% 15.已知随机变量X的密度函数为

f(x)=Ae?|x|, ?∞

求：（1）A值；（2）P{0

?【解】（1） 由

???f(x)dx?1得

1????|x??Ae|dx?2??Ae?x0dx?2A

故

A?12. (2)

p(0?X?1)?11?2?0exdx?12(1?e?1) x(3) 当x<0时，F(x)??1??2exdx?12ex 当

x≥0时，

F(x)??x1e?|x|dx??01exdx??x102e?x??2??2dx

?1?1?x2e

?x?0故

F(x)??1x?e,?2

?1?12e?x??x?016.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为

?f(x)=?100?2,x?100,

?x?0,x?100.求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率；

（2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率； （3） F（x）. 【解】

（1）

P(X?150)??150100100x2dx?13.

p?[P(X?150)]3?(2813)3?27

(2)

pC112242?33(3)?9 (3) 当x<100时F（x）=0

x当x≥100时F(x)????f(t)dt

x

??100??f(t)dt??100f(t)dt

??x100100100t2dt?1?x

?100故

F(x)???1?,x?100 ?x?0,x?017.在区间［0，a］上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设

这质点落在［0，a］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正

13

比例，试求X的分布函数.

【解】 由题意知X~∪[0,a]，密度函数为

?1f(x)???,0?x?a ?a?0,其他故当x<0时F（x）=0 当

0

≤

x≤

a时

F(x)??xxx1??f(t)dt??0f(t)dt??0adt?xa 当x>a时，F（x）=1 即分布函数

??0,x?0F(x)???x,0?x?a ?a??1,x?a18.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，

求至少有两次的观测值大于3的概率. 【解】X~U[2,5]，即

?f(x)??1?,2?x?5 ?3?0,其他P(X?3)??51233dx?3 故所求概率为

p?C222123203(3)3?C33(3)?27 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分

布E(15).某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}.

【解】依题意知X~E(15)，即其密度函数为

?xf(x)??1?e?5,x?0 ?5?0,x?0该顾客未等到服务而离开的概率为

P(X?10)???1?x105e5dx?e?2

Y~b(5,e?2),即其分布律为

P(Y?k)?Ck?225(e)k(1?e?)5?k,k?0,1,2,3,4,5P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?e?2)5?0.5167

20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通

拥挤，所需时间X服从N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞

少，所需时间X服从N（50，42）.

（1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？

（2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？

【解】（1） 若走第一条路，X~N（40，102），则

P(X?60)?P??x?40?10?60?40?10????(2)?0.97727

若走第二条路，X~N（50，42），则

P(X?60)?P??X?5060?50??4?4????(2.5)?0.9938++

故走第二条路乘上火车的把握大些. （2） 若X~N（40，102），则

P(X?45)?P??X?4045?40??10?10????(0.5)?0.6915若X~N（50，42），则

P(X?45)?P??X?50?4?45?50?4????(?1.25)

?1??(1.25)?0.1056

故走第一条路乘上火车的把握大些. 21.设X~N（3，22），

（1） 求P{2

解

】

（

1

）

P(2?X?5)?P??2?3X?35?3??2?2?2??

??(1)????1??1???2????(1)?1????2??

?0.8413?1?0.6915?0.532814

P(?4?X?10)?P???4?3?2?X?310?3?2?2??

F（x）=??A?Be?xt,x?0,(???0,x?0.0),

（1） 求常数A，B；

（2） 求P{X≤2}，P{X＞3}； ????7??7??2???????2???0.9996

（3） 求分布密度f（x）.

?limF(x)?1P(|X|?2)?P(X?2)?P(X??2)【解】（1）由?

?x????A?1??xlim?0?F(x)?得?

xlim?0?F(x)?B??1

（2）

P(X?2)?F(2)?1?e?2?

?P??X?32?3??X?3?2?3??2?2???P??2?2??

?1????P(X?3)?1?F(3)?1?(1?e?3?)?e?3?

??1?2????????5?2??????1??2???1????5??2??

?0.6915?1?0.9938?0.6977(3)

f(x)?F?(x)????e??x,x?0P(X?3)?P(X?3?0,x?0 2?3-32)?1??(0)?0.5 25.设随机变量X的概率密度为

(2) c=3

?0?x?1,22.由某机器生产的螺栓长度（cm）X~N（10.05,0.062

）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. f（x）=?x,?2?x,1?x?2, ?【

解

】

?0,其他.求X的分布函数F（x），并画出f（x）及F（x）.

P(|X?10.05|?0.12)?P??X?10.05【解】当x<0时F（x）=0

?0.06?0.12?0.06? ?当

0

≤

x<1

F(x)?x)dt?0x?1??(2)??(?2)?2[1??(2)]???f(t???f(t)dt??0f(t)dt

?0.0456

?x

23.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160，σ2），

?0tdt?x22

若要求P{120＜X≤200}≥0.8，允许σ最大不超过多少？ 【

解

】

当1≤x<2时F(x)??x??f(t)dt

P(120?X?200)?P??120?160???X?160??200?160?????? 0??f(t)dt??10f(t)dt??x1f(t)dt

??1tdt??x01(2?t)dt????40???????40???2???40??

??????????1?0.8

?1x22?2x?2?32故

x2????402?2x?11.29?31.25

24.设随机变量X分布函数为

当x≥2时F(x)??x??f(t)dt?1

故

时

15

??0,x?0?x2,0?x?1F(x)???2

?2??x?2x?1,1?x?2?2?1,x?226.设随机变量X的密度函数为

（1） f(x)=ae??|x|

,λ>0;

??bx,0?x?1,(2) f(x)=?1x,1?x?2,

?2?0,其他.试确定常数a,b，并求其分布函数F（x）. 【

解

】（1）

由

????f(x)dx?11???ae??|x|dx?2a??e??xd2a??0x?? 故 a?

?2

即

密

度

函

数

?f(x)?????x?e,x?0?2?

???2e?xx?0当

x

≤0F(x)??xx???f(x)dx??e?xdx?1e?x??22

当

x>0

F(x)??x??f(x)dx??0??x??2edx??x???x02edx

?1?1e??x2

故其分布函数

?1?1e??x,xF(x)????2?0

?1??2e?x,x?0(2)

1???12??f(x)dx??bxdx??1b01x2dx?2?12 得 b=1

即X的密度函数为

??x,0?x?1f(x)???1x2,1?x?2

???0,其他当x≤0时F（x）=0 当

0

时

F(x)??x)dx??0x??x??f(x??f(x)d0f(x)dx

??x0dx?x2x2

当1

≤

x<2

时

x01x知

F(x)??1??f(x)dx????0dx??0xdx??1x2dx

?312?x

当x≥2时F（x）=1

故其分布函数为

为

??0,x?0?x2,0?x?1F(x)???2

?3??1,1?x?2?2x时

?1,x?227.求标准正态分布的上?分位点，

（1）

时

?=0.01，求z?;

（2）

?=0.003，求z?，z?/2.

【解】（1）

P(X?z?)?0.01

即

1??(z?)?0.01

即

?(z?)?0.09

故

z??2.33

由

（2） 由P(X?z?)?0.003得

1??(z?)?0.003

16

即

?(z?)?0.997

z??2.75

P(Y??1)?1?P(Y?1)?30.设X~N（0，1）.

（1） 求Y=eX的概率密度； （2） 求Y=2X2+1的概率密度； （3） 求Y=｜X｜的概率密度. 【解】（1） 当y≤0时，FY(y)当

y>0

2 3查表得

由P(X?z?/2)?0.0015得

1??(z?/2)?0.0015

?P(Y?y)?0

时

x?lny即

?(z?/2)?0.9985

FY(?z?/2?2.96

，

y)P(fX(x)dx

?Y

)?y查表得 28.设随机变量X的分布律为 X Pk

故

?????2 ?1 0 1 3 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求Y=X的分布律.

2

fY(y)?【解】Y可取的值为0，1，4，9

dFY(y)111?ln2y/2?fx(lny)?e,y?0

dyyy2π1P(Y?0)?P(X?0)?5P(Y?1)?P(X??1)?P(X?1)?1511P(Y?9)?P(X?3)?30P(Y?4)?P(X??2)?故Y的分布律为

Y Pk 0 1 4 9 1/5 7/30 1/5 11/30 (2)P(Y?2X2?1?1)?1

117??61530

当y≤1时FY(y)当

?P(Y?y)?0

y>1

时

FY(y)?P(Y?y)?P(2X2?1?y)

?y?1?2y?1??P?X??P??X????22???

故

y?1?? 2??29.设P{X=k}=(

12??(y?1)/2?(y?1)/2fX(x)dx

)k, k=1,2,?,令

?1,当X取偶数时 Y????1,当X取奇数时.求随机变量X的函数Y的分布律. 【

解

】

d1fY(y)?FY(y)?dy4

?2??y?1?y?1???fX??2???fX???2???y?1?????????1221?(y?1)/4e,y?1

y?12πP(Y?1)?P(X?2)?P(X?4)???P(X?2k)??

(3)

P(Y?0)?1

当y≤0时FY(y)当y>0时FY(y)

111?()2?()4???()2k??222

111?()/(1?)?443?P(Y?y)?0

?P(|X|?y)?P(?y?X?y)

17

y

???yfX(x)dx 故

fdY(y)?dyFY(y)?fX(y)?fX(?y)

?22πe?y2/2,y?0 31.设随机变量X~U（0,1），试求： （1） Y=eX的分布函数及密度函数； （2） Z=?2lnX的分布函数及密度函数. 【解】（1）

P(0?X?1)?1

故

P(1?Y?eX?e?) 1当

y?1时FY(y)?P(Y?y)?0

当1

FY(y)?P(eX?y)?P(X?lny)

??lny0dx?lny

当y≥e时

FY(y)?P(eX?y)?1

即分布函数

?F?0,y?1Y(y)??lny,1?y?e

??1,y?e故Y的密度函数为

?f?11?y?eY(y)??y, ??0,其他（2） 由P（0

P(Z?0)?1

当z≤0时，FZ(z)?P(Z?z)?0

当

z>0

时

，

FZ(?z)?P(

?Z

?P(lnX??z)?P(X?e?z/22)

??1?z/2e?z/2dx?1?e

即分布函数

F?0,z?0Z(z)?? ?1-e-z/2,z?0故Z的密度函数为

?1?zf???2e/2,z?0Z(z)

??0,z?032.设随机变量X的密度函数为

?f(x)=?2x?π2,0?x?π,

??0,其他.试求Y=sinX的密度函数. 【解】P(0?Y?1)?1

当y≤0时，FY(y)?P(Y?y)?0

当0

?P(0?X?arcsiny)?P(π?arcsiny?X?π)

??arcsiny2x0π2dx??π2xπ?arcsinyπ2dx ?1π（arcsiny）2?1-122π2（π-arcsiny） ?2πarcsiny 当y≥1时，FY(y)?1

故Y的密度函数为

?21f(y)???,0?y?1Y?π1?y2 ???0,其他33.设随机变量zX的分布函数如下：?P

Xz?F(x)??1?1?x2,x?(1),

??(2),x?(3).18

试填上(1),(2),(3)项. 【解】由limx??F(x)?1知②填1。

x???limF(x)?1,所以F（x）是一个分布函数。

但是F（x）在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F（x）

由右连续性为0。

x?x0limF(x)?F(x0)?1知x0?0，故①

+是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选（C）

37.设在区间[a,b]上，随机变量X的密度函数为f(x)=sinx，而在[a,b]外，

f(x)=0，则区间 [a,b]等于（ ）

从而③亦为0。即 (A) [0,π/2]; (B) [0,π]; (C) [?π/2,0]; (D) [0,

?1,x?0? F(x)??1?x2?x?0?1,34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X的分布律.

3π]. 2【解】在[0,函数。

π/2π]上sinx≥0，且?sinxdx?1.故f(x)是密度

021【解】设Ai={第i枚骰子出现6点}。（i=1,2）,P(Ai)=.且A1与A2相

6互独立。再设C={每次抛掷出现6点}。则

在[0,π]上在[??π0sinxdx?2?1.故f(x)不是密度函数。

P(C)?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1)P(A2) 111111???? 66663611 故抛掷次数X服从参数为的几何分布。

36

π,0]上sinx?0，故f(x)不是密度函数。 233π时，sinx<0，f(x)也不是密在[0,π]上，当π?x?22度函数。

故选（A）。

38.设随机变量X~N（0，σ2），问：当σ取何值时，X落入区间（1，3）的概率最大？ 【

解

】

因

为

?35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9? 【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含n个数字，则

X~b(n,0.1)

X~N(0,?2),P(1?X?3)?P(

1??X??3?)

0nP(X?1)?1?P(X?0)?1?C0n(0.1)(0.9)?0.9

31??()??()令g(?)

??n即 (0.9)?0.1

利用微积分中求极值的方法，有

得 n≥22 即随机数字序列至少要有22个数字。 36.已知

g?(?)?(?3?311??)?()??() 22???

??0,?1?F（x）=?x?,2??1,??x?0,10?x?,

21x?.2???3?212??得

1?9/2?21e?2?2?21?1/2?2e2?2?1/2??8/2?e[1?3e]?02令

则F（x）是（ ）随机变量的分布函数.

（A） 连续型； （B）离散型； （C） 非连续亦非离散型.

【解】因为F（x）在（?∞,+∞）上单调不减右连续，且

?02?42,则 ?0?ln3ln3

又

g??(?0)?0

x???limF(x)?0

故

?0?2为极大值点且惟一。 ln319

故当??2ln3时X落入区间（1，3）的概率最大。

39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布P（λ），

每个顾客购买某种物品的概率为p，并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种物品的人数Y的分布律.

P(X?m)?e???m【解】m!,m?0,1,2,?

设购买某种物品的人数为Y，在进入商店的人数X=m的条件下，Y~b(m,p)，即

P(Y?k|X?m)?Ckk)m?kmp(1?p,k?0,1,?,m由全概率公式有

?P(Y?k)??P(X?m)P(Y?k|X?m)

m?k

???e???m?Ckpkm(1?p)m?km?km!??e????mm?km?kk!(m?k)!pk(1?p)???e??(?p)k[?(1?p)]m?kk!

m?k(m?k)!?(?p)k???(1?pk!ee)?(?p)kk!e??p,k?0,1,2,?此题说明：进入商店的人数服从参数为λ的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从泊松分布，但参数改变为λp.

40.设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明：Y=1?e?2X在区间（0，

1）上服从均匀分布. 【证】X的密度函数为

fx)???2e?2x,x?0X( ?0,x?0由于P（X>0）=1，故0<1?e?2X<1，即P（0

0

时

，

F?2xY(?y)?P(

?Y

?P(X??12ln(1?y)) ???12ln(1?y)x02e?2dx?y即Y的密度函数为

f??1,0?y?1Y(y)? ?0,其他即Y~U（0，1） 41.设随机变量X的密度函数为

??13,0?x?1,?f(x)=??2,3?x?6,

?9?0,其他.??若k使得P{X≥k}=2/3，求k的取值范围. (2000研考)

【解】由P（X≥k）=

23知P（X

13 若k<0,P(X

?103dx?k13?3 当k=1时P（X

13 1若1≤k≤3时P（X

3

?1103dx??k=

239dx?29k?13?13 若k>6,则P（X

故只有当1≤k≤3时满足P（X≥k）=23.

42.设随机变量X的分布函数为

??0,x??1,F(x)=??0.4,?1?x?1,0.8,1?x?3,

???1,x?3.求X

的

概

率

分

布

. （1991研考）

【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系，可知X的

概率分布为

X y?(?1 ?Pe1 13 y20

))

P

0.4 0.4 0.2 P(A)?0.3,P(B|A)?0.8P(AB)?P(A)P(B|A)?0.3?0.8?0.24P(B)?P(A)?P(AB)?0.7?0.24?0.94

43.设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一

次的概率为19/27，求A在一次试验中出现的概率.

【解】令X为三次独立试验中A出现的次数，若设P（A）=p,则

X~b(3,p)

由P（X≥1）=

令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数，则X~6（n，0.94）, 故

198知P（X=0）=（1?p）3= 2727??P(X?n)?(0.94)nn?2 ??P(X?n?2)?C2(0.06)2n(0.94)??P(X?n?2)?1?P(X?n?1)?P(X?n)故p=

1 344.若随机变量X在（1，6）上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少？ 【解】

?1?n(0.94)n?10.06?(0.94)n

47.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态

24?X?7296?72?0.023?P(X?96)?P??1??() 4??P(X2?4?0)?P(X?2)?P(X??2)?P(X?2)? ?????52445.若随机变量X~N（2，σ2），且P{2

)?0.977 故 ?(P{X<0}= . ?【解】24?2,即σ=12 查表知

2?2X?24?2?0.3?P(2?X?4)?P(??)

从而X~N（72，122） ???故 22??()??(0)??()?0.5

???60?72X?7284?72?P(60?X?84)?P???2?

故 ?()?0.8 121212???因

此

?1?,1?x?6 f(x)??5??0,其他分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率. 【解】设X为考生的外语成绩，则X~N（72，σ2）

P(X?0)?P(X?2??0?2?

)??(?2?)

??(1)??(?1)?2?(1)?1?0.682

2?1??()?0.2

48.在电源电压不超过200V、200V~240V和超过240V三种情形下，

某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2（假设电源电压X服从正态分布N（220，252））.试求： （1） 该电子元件损坏的概率α;

(2) 该电子元件损坏时，电源电压在200~240V的概率β 【解】设A1={电压不超过200V}，A2={电压在200~240V}，

A3={电压超过240V}，B={元件损坏}。 由X~N（220，252）知

?46.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3

需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n(n≥2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求 （1） 全部能出厂的概率α；

（2） 其中恰好有两台不能出厂的概率β；

（3）其中至少有两台不能出厂的概率θ. 【解】设A={需进一步调试}，B={仪器能出厂}，则

P(A1)?P(X?200)

A={能直接出厂}，AB={经调试后能出厂}

由题意知B=

A∪AB，且

21

?X?220200?220??P???

25?25???(?0.8)?1??(0.8)?0.212?124?,e?y?e fY(y)??2y?0,其他?50.设随机变量X的密度函数为

P(A2)?P(200?X?240)

?200?220X?220240?220??P?????e?x,x?0,fX(x)=?

?0,x?0.求

随

机

变

量

Y=eX

的

密

度

函

数

fY(y).

?252525?

??(0.8)??(?0.8)?0.576P(A3)?P(X?240)?1?0.212?0.576?0.212由全概率公式有

?3?P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.0642

i?1由贝叶斯公式有 ??P(A)P(B|A2)2|B)?P(A2P(B)?0.009

49.设随机变量X在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X

的概率密度fY(y).

【解】

f?1,1?x?2X(x)?? ?0,其他因为P（1

FY(y)?P(Y?y)?P(e2X?y)

?P(1?X?12lny) ?1

??2lny1dx?12lny?1

当y≥e4时，FY(y)?P(Y?y)?1

即

?0,y?e2?F(y)???1Y2lny?1,e2?y?e4

???1,y?e4故

(1995研考) 【解】P（Y≥1）=1

当y≤1时，FY(y)?P(Y?y)?0

当

y>1时

，

FXY(?y)?P(?Y ??lny

10e?xdx?1?y ?y>1即

F?1?1,Y(y)??y

??0,y?1?故

f?1y2,y>1Y(y)??

??0,y?151.设随机变量X的密度函数为

fX(x)=

1π(1?x2),

求Y=1?

3x的密度函数fY(y).

【

解

】

FY(y)?P(Y?y)?P(1?3X?y)?P(X?(1?y)3)

???11?(1?y)3π(1 ?x2)dx?πarctgx(1?y)3

?1?π3π??2?arctg(1?y)???故

)?3(1?y)2fY(yπ1?(1?y)6

22

54. 设随机变量X服从正态分N（μ1,σ12),Y服从正态分布N(μ2,σ22)，且P{|X-μ(2006研考)

1|<1}>P{|Y-

52.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从

参数为λt的泊松分布.

（1） 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；

（2） 求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运

行8小时的概率Q.（1993研考）

【解】（1） 当t<0时，FT(t)μ2|<1}，试比较σ1与σ2的大小.

解： 依题意

X??1?1?N(0,1)，

?P(T?t)?0

当t≥0时，事件{T>t}与{N(t)=0}等价，有

Y??2FT(t)?P(T?t)?1?P(T?t)?1?P(N(t)?0)?1?e??t

即

?2?N(0,1)，则

?1?e??t,t?0 FT(t)??t?0?0,2

）

P{X??1?1}?P{X??1?1Y??2?1?11}，

即间隔时间T服从参数为λ的指数分布。 （

P{Y??2?1}?P{?2??2}.

因为P{X??1?1}?P{Y??2?1}，即 e?16??8?Q?P(T?16|T?8)?P(T?16)/P(T?8)??8??e

eX??1Y??11153.设随机变量X的绝对值不大于1，P{X=?1}=1/8，P{X=1}=1/4.在事P{?}?P{?}，

件{?1

所以有

?1?1?2?21?1?1?2，即

?1??2.

115X?1)?1???

848x?1当?1

2由题知P(?1?此时F(x)

习题三

1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示

三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.

【解】X和Y的联合分布律如表：

1 2 3 ?P(X?x)

0 X ?P(X?,?1?X?1)?P(X?x,X??1)?P(X?x,X ?1)?P(X?x,?1?X?1)?P(X?x,x??1)?P(X?x|?1?X?1)P(?1?X?1)?P(X??1)?x?15151???(x?1)?288168当x=?1时，F(x)故X的分布函数

Y 1 0 3 0 11132111C1????C????3/83322282220 10 1111??? 82228 ?P(X?x)?P(X??1)?1 8

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.

【解】X和Y的联合分布律如表： 0 X 1 2 3 x??1?0,?51?F(x)??(x?1)?,-1?x<1

8?16x?1??1,

Y 23

0 0 0 C2?C23C31323?C22C4?4?735C7351 0 C1?C1?C22113132232232C4?C6?C?C35C4?C12?C27735C4?7352 P(0黑,2红,2白)= C13?C22?C12C623?C20 23C4?35C4?C247735212?C2/C7?35

3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

?F（x，y）=?ππ?sinxsiny,0?x?2,0?y?2

??0,其他.求二维随机变量（X，Y）在长方形域

??0?x?πππ??4,6?y?3??内的概率. 【解】如图P{0?X?π4,π6?Y?π3}公式(3.2) F(π4,π3)?F(ππππ4,6)?F(0,3)?F(0,6)

?sinππππππ4?sin3?sin4?sin6?sin0?sin3?sin0?sin6?2

4(3?1).

题3图

说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度

?(3x?4y)f（x，y）=

??Ae,x?0,y?0,?0,其他.

求：（1） 常数A；

（2） 随机变量（X，Y）的分布函数；

（3） P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【

解

】（

1） 由

?????f(x,y)dxdy??????x?4y)?????0?0Ae-(3dxdy?A12?1 得 A=12 （2） 由定义，有

F(x,y)??y???x??f(u,v)dudv

?yy?(3u?4v)dudv?(1?e?3x????0?012e??)(1?e?4y)y?0,x?0,??0,?0,其他(3) P{0?X?1,0?Y?2}

?P{0?X?1,0?Y?2}??1?(3x?4y)0?2012edxdy?(1?e?3)(1?e?8)?0.9499.

5.设随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=??k(6?x?y),0?x?2,2?y?4,

?0,其他.（1） 确定常数k； （2） 求P{X＜1，Y＜3}； （3） 求P{X<1.5}； （4） 求P{X+Y≤4}. 【解】（1） 由性质有

??????2????f(x,y)dxdy??0?42k(6?x?y)dydx?8k?1,

故

R?18 （2）

P{X?1,Y?3}??13?????f(x,y)dydx

??1310?28k(6?x?y)dydx?38

(3)

P{X?1.5}?y)dxdy如图ax,y)dxdy

x???f(x,1.5??f(D1

??1.5dx?41028(6?x?y)dy?2732. (4)

P{X?Y?4}?xdy如图bX???f(x,y)dY?4??f(x,y)dxdy

D224

24?x

??dx?1028(6?x?y)dy?23.

题5图

6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为

?5e?5yf,y?0,Y（y）=??0,其他.

求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y≤X}.

题6图

【解】（1） 因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为

?f?1,0?x?0.2,X(x)?? ?0.2?0,其他.而

?5e?5yf(y)??,y?0,Y?0,其他.

所以

f(x,y)X,Y独立fX(x)?fY(y)

?1????5e?5y?25e?5y,0?x?0.2且y?0, ?0.2???0,?0,其他.(2)

P(Y?X)?y)dxdy如图y??f(x,?x??25e?5ydxdy

D

??0.2dx?x25e-5ydy??0.2(?5e?5x000?5)dx

=e-1?0.3679.7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

F（x，y）=??(1?e?4x)(1?e?2y),x?0,y?0,?0,其他.

求（X，Y）的联合分布密度.

【

解

】

?2F(x,y)?8e?(4x?2y)f(x,y)?,x?0,y?0,?x?y?? ?0,其他.8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=??4.8y(2?x),0?x?1,0?y?x,

?0,其他.求边缘概率密度. ??【解】

fX(x)????f(x,y)dy

=????x)dy204.8y(2?x????2.4x(2?x),0?x?1, ?0,?0,其他.

fY(y)??????f(x,y)dx

?1=???y4.8y(2?x)dx??2.4y(3?4y?y2),0?y?1,???0,?0,其他.

题8图 题9图

25

9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=??e?y,0?x?y,?0,其他.

求边缘概率密度. 【解】

fX(x)??????f(x,y)dy

=? ????y?x

??xedy??e,x?0, ???0,?0,其他.f??Y(y)????f(x,y)dx

y?y

=????edx????ye?x0,y?0,?0,?0,其他.

题10图

10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=??cx2y,x2?y?1,

?0,其他.（1） 试确定常数c； （2） 求边缘概率密度.

????【解】（1）

??????f(x,y)dxdy如图??f(x,y)dxdy

D

=?114-1dx?x2cx2ydy?21c?1.

得c?214.

(2)

fX(x)??????f(x,y)dy

?????121x2ydy??21x2(1?x4x2),?1?x?1, ?4??8?0,??0,其他.fY(y)??????f(x,y)dx

?????y21x2ydx???75?yy2,0?y?1, ?4??0,?2?0, 其他.11.设随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=??1,y?x,0?x?1,?0,其他.

求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.

题11图

??【解】

fX(x)????f(x,y)dy

x

??????x1dy?2x,0?x?1, ??0,其他.?1???y1dx?1?y,?1?y?0,fY(y)??????f(x,y)dx?????11dx?1?y,0?y?1,?y?其他?0,.?所以

fx)?f(x,y)??1,|y|?x?1,Y|X(y|f(x)???2x X?0,其他.

??11?y, y?x?1,fy)?f(x,y)??1X|Y(x|f)??,?y?x?1,

Y(y?1?y??0,其他.?12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中

最小的号码为X，最大的号码为Y.

26

（1） 求X与Y的联合概率分布； （2） X与Y是否相互独立？ 【解】（1） X与Y的联合分布律如下表 1??e?y/2,fY（y）=?2??0,（1）求X和Y的联合概率密度；

5 y?0, 其他.X 1 Y 3 4 P{X?xi}

（2） 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.

6112233 10???C310C310C3105550 【解】（1） 因

?1,0?x?1, fX(x)???0,其他;?2 31122 10??C310C310550 y?1?2?e,y?1, fY(y)???2?0,其他.?3 0 111 ? 102C5106 10 故

1P{Y?yi} 10

(2)

3 10?1?y/2?ef(x,y)X,Y独立fX(x)?fY(y)??2??0,因

0?x?1,y?0,其他.

P{X?1}?P{Y?3}?故X与Y不独立

6161????P{X?1,Y?3}, 101010010

题14图

(2) 方程a213.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为 Y 0.4 0.8 X 2 5 8 0.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03 ?2Xa?Y?0有实根的条件是

??(2X)2?4Y?0

故 X2≥Y， 从而方程有实根的概率为：

（1）求关于X和关于Y的边缘分布； （2） X与Y是否相互独立？ 【解】（1）X和Y的边缘分布如下表 0.4 0.8 Y X 2 0.15 0.05 0.2 5 0.30 0.12 0.42 8 0.35 0.03 0.38 P{Y=yi} 0.8 0.2 P{X2?Y}?x2?y??f(x,y)dxdy

P{X?xi} (2)

因

P{X?2}?P{Y?0.4}?0.2?0.8?0.16?0.15?P(X?2,Y?0.4),

故X与Y不独立.

14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为

1?y/2edy002?1?2?[?(1)??(0)] ?0.1445.??dx?1x215.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X

和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为

?1000?,x?1000,f（x）=?x2

?其他.?0,27

16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）

求Z=X/Y的概率密度.

【解】如图,Z的分布函数FZ(z)?P{Z?z}?P{(1) 当z≤0时，FZ(z)X?z} Y分布.随机地选取4 只，求其中没有一只寿命小于180的概率. 【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4)，则Xi~N（160，202），

从而

?0

P{min(X1,X2,X3,X4)?180}Xi之间独立P{X1?18（2） 当0

1000z）(如图a) FZ(z)???106x2y2dxdy????yz106103dy?322dx y?xz10xyz??

=???103106?z1032?3?dz?yzyy?2

?

题15图

(3) 当z≥1时，（这时当y=103时，x=103z）（如图b）

F106Z(z)???x2y2dxdy????zy106103dy10y?x?3x2y2dx z

=????103106?1103??y2?zy3??dy?1?2z 即

??1?12z,z?1,?f?zZ(z)??,0?z?1,

?2?其他?0,.?故

??12z2,z?1,?f(z)???1Z,0?z?1,

?2?其他?0,.?

P{X3?180}?P{X4?180}

?[1?P{X1?180}]?[1?P{X2?180}]?[1?P{X3?180}]?[1?

?[1?P{X??180?160??41?180}]4???1????20????

?[1??(1)]4?(0.158)4?0.00063.17.设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为

P{X=k}=p（k），k=0，1，2，…，

P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，….

证明随机变量Z=X+Y的分布律为

iP{Z=i}=

?p(k)q(i?k)，i=0，1，2，….

k?0【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数，

所以

{Z?i}?{X?Y?i}

?{X?0,Y?i}?{X?1,Y?i?1}???{X?i,Y?0}

于是

iP{Z?i}??P{X?k,Y?i?k}X,Y相互独立k?0?iP{X?k}?P{Y?i?k}

k?0i

??p(k)q(i?k)

k?018.设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p的二项分

布.证明Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布.

28

【证明】方法一：X+Y可能取值为0，1，2，…，2n.

kP{X?Y?k}??P{X?i,Y?k?i}

i?0

k??P(X?i)?P{Y?k?i}i?0k???n?in?i?n?k?in?k?i?0??i??pq??k?i??pqik???i?0?n???i??n?

??k?i??pkq2n?k???2n??pkq2n?k?k?方法二：设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…，μn′均服从两点分布（参数为p），则

X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′, X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,

所以，X+Y服从参数为（2n,p)的二项分布. 19.设随机变量（X，Y）的分布律为 0 1 2 3 Y X 4 5 0 0 0.01 0.03 0.05 1 0.07 0.09 2 0.01 0.02 0.04 0.05 3 0.06 0.08 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 (1) 求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}； （2） 求V=max（X，Y）的分布律； （3） 求U=min（X，Y）的分布律； （4） 求W=X+Y的分布律.

【解】（1）P{X?2|Y?2}?P{X?2,Y?2}P{Y?2}

?P{X?2,Y?2}?0.05?5P{X?i,Y?2}0.25?12, i?0 P{Y?3|X?0}?P{Y?3,X?0}P{X?0}

?P{X?0,Y?3}0.01?3?P{X?0,Y?j}0.03?13;

j?0（

2

）

P{V?i}?P{max(X,Y)?i}?P{X?i,Y?i}?P{X?i,Y

i?1i??P{X?i,Y?k}??P{X?k,Y?i},

k?0k?0i?0,1,2,3,4,5

所以V的分布律为 V=max(X,Y) 0 1 2 3 4 5 P 0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28

(3)

P{U?i}?P{min(X,Y)?i}

?P{X?i,Y?i}?P{X?i,Y?i}35??P{X?i,Y?k}?P{X?k,Y?i}

k?ik??i?1i?0,1,2,3,

于是 U=min(X,Y) 0 1 2 3 P 0.28 0.30 0.25 0.17 (4)类似上述过程，有 W=X+0 1 2 3 4 5 6 7 8 Y P 0 0.00.00.10.10.20.10.10.02 6 3 9 4 9 2 5 20.雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点（X，Y）在屏幕上服从均匀分布.

（1） 求P{Y＞0｜Y＞X}； （2） 设M=max{X，Y}，求P{M＞0}.

29

e2【解】区域D的面积为 的联合密度函数为

S0??11dx?lnxxe21?2.（X,Y）

题20图

【解】因（X，Y）的联合概率密度为

1?12?,1?x?e,0?y?,f(x,y)??2x

??0,其他.（X，Y）关于X的边缘密度函数为

?1222?2,x?y?R, f(x,y)??πR?其他.?0,P{Y?0,Y?X}（1）P{Y?0|Y?X}?

P{Y?X}1?1/x1dy?,1?x?e2,??0 fX(x)??22x?其他.?0,所以

1fX(2)?.

422.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联

合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.

?y?0y?x??f(x,y)d???f(x,y)d?π

X x1 x2 P{Y=yj}=pj

Y y1 y2 y3 1/8 1/8 1/6 P{X=xi}=pi y?x

(2)

1?π/40πR2rdr ?5πR1?π4/4d??0πR2rdr3/83??; 1/24d??R1 【解】因P{Y?yj}?Pj??P{X?xi,Y?yj},

i?12故

P{M?0}?P{max(X,Y)?0}?1?P{max(X,Y)?0} P{Y?y1}?P{X?x1,Y?y1}?P{X?x2,Y?y1},

?1?P{X?0,Y?0}?1???f(x,y)d??1?x?0y?013?. 44从而P{X而

X

?x1,Y?y1}?与

Y

111??. 6824独

立

，

故

21.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0，x=1,x=e2所围成，二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，求（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少？

P{X?xi}?P{Y?yj}?P{X?xi,Y?yi},

从

而

P{X?x1}?11?P{X?x,Y?y}?. 624111/?. 即：P{X?x1}?2464又

题21图

P{X?x1}?P{X?x1,Y?y1}?P{X?x1,Y?y2}?P{X?即

111???P{X?x1,Y?y3}, 424830

从而P{X?x1,Y?y3}?理

1. 12P{?2?Cp(1?p)mnmn?m同

1?Y }2e??n??,n?m?n,n?0,1,2,?. n!y,3P{X?x2,Y?y2}?

8又

24.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X~?2??1?0.30.7??，???P{Y?y}?1jj?13而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).

,

故

【解】设F（y）是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为

111P{Y?y3}?1???.

6233. 同理P{X?x2}?4从而

G(u)?P{X?Y?u}?0.3P{X?Y?u|X?1}?0.7P{X?

?0.3P{Y?u?1|X?1}?0.7P{Y?u?2|X?2}

11由于1X和Y独立，可见

P{X?x2,Y?y3}?P{Y?y3}?P{X?x1,Y?y3}???.

3124G(u)?0.3P{Y?u?1}?0.7P{Y?u?2}

故

?0.3F(u?1)?0.7F(u?2).

由此，得U的概率密度为

g(u)?G?(u)?0.3F?(u?1)?0.7F?(u?2)

X Y y1 1 241 81 6y2 y3 P{X?xi}?Pi 11 81231 8411 32

x1 x2 14341 ?0.3f(u?1)?0.7f(u?2).

25. 25. 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀

分布，求P{max{X,Y}≤1}.

解：因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有

P{Y?yj}?pj

23.设某班车起点站上客人数X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘

客在中途下车的概率为p（0

解

mnm?1?, 0?x?3, f(x)??3??0, x?0,x?3;?1?, 0?y?3, f(y)??3??0, y?0,y?3.因为X，Y相互独立，所以

】

n?m(1)

P{Y?m|X?n}?Cp(1?p).

(2)

,0?m?n,n?0,1,2,??1?, 0?x?3,0?y?3, f(x,y)??9??0, x?0,y?0,x?3,y?3. P{max{X,Y}?1}?1. 9P{X?n,Y?m}?P{X?n}?P{Y?m|X?n}

推得

26. 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为

31

Y ??1 0 1 X ??1 0 1 a 0 0.2 0.1 b 0.2 0 0.1 c P{X?Z}?P{Y?0}?0.1?b?0.2?0.1?0.1?0.2?0.4.习题四

1.设随机变量X的分布律为 X ??1 0 1 2 P 1/8 1/2 1/8 1/4 求E（X），E（X2），E（2X+3）. 【

解

】

(1)

其中a,b,c为常数，且X的数学期望E(X)=??0.2,P{Y≤0|X≤0}=0.5，记Z=X+Y.求： （1） a,b,c的值； （2） Z的概率分布； （3） P{X=Z}.

解 (1) 由概率分布的性质知，

a+b+c+0.6=1 即 a+b+c = 0.4.

由E(X)11111E(X)?(?1)??0??1??2??;

82842(2)

??0.2，可得

?a?c??0.1.

再

11115E(X2)?(?1)2??02??12??22??;

828441(3) E(2X?3)?2E(X)?3?2??3?4

由 22.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.

【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为 X 0 1 2 3 4 5 P{X?0,Y?0}a?b?0.1P{Y?0X?0}???0.5P{X?0}a?b?0.5,

得

a?b?0.3.

P 解以上关于a，b，c的三个方程得

a?0.2,b?0.1,c?0.1.

(2) Z的可能取值为?2，?1，0，1，2，

142332415C5CCCCCCCCC901090109010901090?0.583?0.340?0.070?0.007?5100?055555C100C100C100C100C100C100故

E(X)?0.58?3?0

0.3?4?010.?0?702?0.?00?7?3P{Z??2}?P{X??1,Y??1}?0.2，

?0.501,

5P{Z??1}?P{X??1,Y?0}?P{X?0,Y??1}?0.1，

D(X)??[xi?E(X)]2Pi

i?0P{Z?0}?P{X??1,Y?1}?P{X?0,Y?0}?P{X?1,Y??1}?0.3

，

?(0?0.501)2?0.583?(1?0.501)2?0.340???(5?0.501?0.432.3.设随机变量X的分布律为 X P ??1 0 1 p1 p2 p3 且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3. 【解】因P1又

P{Z?1}?P{X?1,Y?0}?P{X?0,Y?1}?0.3，

P{Z?2}?P{X?1,Y?1}?0.1，

即Z的概率分布为 Z P ?2 ??1 0 1 2 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 (3)

?P2?P3?1……①,

32

E(X)?(?1)PPP1?0?2?1?3?P3?P1?0.1……②,

22E(X2)?(?1)2?P?0?P?1?P123?P1?P3?0.9(2)

E[V]?E[YZ?4X]?E[YZ]?4E(X)

因Y,Z独立E(Y)?E(Z)?4E(X)

?11?8?4?5?68.

……③

由①②③联立解得P1?0.4,P,P2?0.13?0.5.

7.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D

（Y）=16，求E（3X??2Y），D（2X??3Y）. 【

解

】

(1)

4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问

从袋中任取1球为白球的概率是多少？ 【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则

E(3X?2Y)?3E(X)?2E(Y)?3?3?2?3?3.

(2)

P(A)全概率公式?P{A|X?k}?P{X?k}

k?0ND(2X?3Y)?22D(X)?(?3)2DY?4?12?9?16?192.

8.设随机变量（X，Y）的概率密度为

k1??P{X?k}?Nk?0N1n??E(X)?.NN5.设随机变量X的概率密度为

N?kP{X?k}k?0Nf（x，y）=??k,0?x?1,0?y?x,

其他.?0,】

1x

【

试确定常数k，并求E（XY）.

解

????因

??????f(x,y)dxdy??dx?kdy?001k?1,21故

?x,0?x?1,?f（x）=?2?x,1?x?2,

?0,其他.?求E（X），D（X）. 【

解

??k=2

E(XY)???????????xyf(x,y)dxdy??xdx?2ydy?0.200x.

9.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为

】

E(X)??

??xf(x)dx??x2dx??x(2?x)dx

011212?e?(y?5),?2x,0?x?1,fX（x）=? fY（y）=?0,其他;?0,?求E（XY）.

【解】方法一：先求X与Y的均值

12E(X)??x?2xdx?,

03y?5,其他.

3?13??2x???x???x???1.

3?1?3?0?E(X)??故

2????xf(x)dx??xdx??x2(2?x)dx?0121327 61D(X)?E(X2)?[E(X)]2?.

6E(Y)????5ye?(y?5)dy令z?y?55?edz??0???z??0ze?zdz?5?1?66.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望. （1） U=2X+3Y+1； （2） V=YZ??4X. 【

解

】

(1)

由X与Y的独立性，得

2E(XY)?E(X)?E(Y)??6?4.

3 方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为

E[U]?E(2X?3Y?1)?2E(X)?3E(Y)?1

?2?5?3?11?1?44.

?2xe?(y?5),0?x?1,y?5, f(x,y)?fX(x)?fY(y)??其他,?0,33

1?π?4?π22??11??2)?E(X)?[E(X)]?2???. ??(y?5)2?(y?5)D(X2?2k?E(XY)???xy?2xedxdy??2xdx??yedy??6?4. k4k??5005310.设随机变量X，Y的概率密度分别为

12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋

于是 2?2e?2x,x?0,?4e?4y,fX（x）=? fY（y）=?0,x?0;??0,求（1） E（X+Y）;（2） E（2X??3Y2）. 【

????y?0,

y?0.】

中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X，求E（X）和D（X）.

【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X的

可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知

-2x解

?2x9?0.750, (X)??xfX(x)dx?x?2edx?[?xe]?edx??012??139?2xedx?.P{X?1}???0.204, ? ?021211????1329?4yyf(y)dyy?4edy?.P{X?2}????0.041, E(Y)? ???Y?04121110 3219P{X?3}?????0.005.

????211211109E(Y2)??y2fY(y)dy??y2?4e?4ydy?2?.

??0于是，得到X的概率分布表如下： 48X 0 1 2 3 113??. 从而(1)E(X?Y)?E(X)?E(Y)?P 0.750 0.204 0.041 0.005 244???2x??00

P{X?0}?(2)

由此可得

115E(2X?3Y2)?2E(X)?3E(Y2)?2??3??

28811.设随机变量X的概率密度为

E(X)?0?0.750?1?0.204?2?0.041?3?0.005?0.301.

??cxe?kf（x）=???0,22x,x?0,

x?0.22E(X2)?02?750?12?0.204?22?0.041?32?0.005?0.41D(X)?E(X2)?[E(X)]2?0.413?(0.301)2?0.322.13.一工厂生产某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度

求（1） 系数c;（2） E（X）;（3） D（X）. 【解】(1) 由

?????f(x)dx??cxe?kxdx?0??c?1得22k为

x?1?4?e,x?0,f（x）=?

4?x?0.?0,c?2k2.

(2)

????E(X)????xf(x)d(x)??0x?2k2xe?kxdx

x22为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.

【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值：100元和??200元

?2k2???0x2e?k22πdx?.

2kx2?2k2xe?k22(3)

E(X)??故

2????xf(x)d(x)??2??x01. k2

P{Y?100}?P{X?1}??

??11?x/4edx?e?1/4 4P{Y??200}?P{X?1}?1?e?1/4.

故

E(Y)?100?e?1/4?(?200)?(1?e?1/4)?300e?1/4?200?33

34

(元).

14.设X1，X2，…，Xn是相互独立的随机变量，且有E（Xi）=μ，D（Xi）

=σ，i=1，2，…，n，记

n11n2X??Xi,S，S2=(Xi?X)2. ?ni?1n?1i?12

从而

nn2?1?12E(s)?E?(?Xi?nX)??[E(?Xi2)?ni?1?n?1i?1?n?12

n21?[?E(Xi2)?nE(X)]n?1i?1?2（1） 验证E(X)=μ，D(X) =

n；

?

n212（2） 验证S2=(?Xi?nX)；

n?1i?1????1???n?(?2?u2)?n??u2????2.n?1??n??2

15.对随机变量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)=??1,

计算：Cov（3X??2Y+1，X+4Y??3）.

（3） 验证E（S2）=σ2. 【

证

】

(1)

【

解】

n1n1Cov(3X?2Y?1,X?4Y?3)?3D(X)?10Cov(X,Y)?8D?1n?1E(X)?E??Xi??E(?Xi)??E(Xi)??nu?u.

ni?1n ?ni?1?ni?1nn?3?2?10?(?1)?8?3??28 1?1n?1D(X)?D??Xi??2D(?Xi)Xi之间相互独立2?DXi ?nnni?1i?1?i?1?(因常数与任一随机变量独立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类

?1?2?n??. n2n2似).

16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

(2) 因

?(Xi?1nni?X)??(X?X?2XXi)??X?nX?2X?Xi

22i2ii?1i?1i?1n2n2n?122?,x?y?1,f（x，y）=?π

?其他.?0,试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的. 【解】设D

?{(x,y)|x2?y2?1}.

????X?nX?2X?nX??Xi2?nX2ii?1i?1n21故S?(?Xi2?nX).

n?1i?122n2

E(X)?????????xf(x,y)dxdy?1xdxdy ??πx2?y2?1

212π1=??rcos??rdrd??0. π00(3) 因

E(Xi)?u,D(Xi)??同理E(Y)=0.

,

故

而

E(Xi2)?D(Xi)?(EXi)2??2?u2.

同

理

因

CovX(Y,?)?X,)故

????????? xdyx[?Ex(?)]y?[EY()f]x(y,)E(X?)u,?D(n?2

112π12???2xydxdy?π?0?0rsin?cos?rdrd??0πx2?y?1,

由此得

E(X)?2?2n?u2.

?XY?0,故X与Y不相关.

35

下面

1?x2讨论独立性，当|x|≤1时，

X Y ??1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 fX(x)?1?1?x212dy?1?x2. ππ??1 0 1 . 当|y|≤1时，fY(y)1?1?y2?1?y212dx?1?y2ππ验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.

【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律

显然

f(x)?f(x,y).

易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表

XY(y)?f故X和Y不是相互独立的.

17.设随机变量（X，Y）的分布律为

X ??1 0 1 P 3238 8 8 Y ??1 0 1 P 328 8 38 XY ??1 0 1 P 28 48 28 36

由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0. 从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0, 即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的. 又

19.设（X，Y）的概率密度为

?XY?Cov(X,Y)?D(X)?D(Y)?13611?1818??1 2331P{X??1}?P{Y??1}????P{X??1,Y??1}

888从而X与Y不是相互独立的.

18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三

角形区域上服从均匀分布，求Cov（X，Y），ρXY. 【解】如图，SD=

ππ?1?sin(x?y),0?x?,0?y?,f（x，y）=?222

?其他.?0,求协方差Cov（X，Y）和相关系数ρXY.

解

??12【

，故（X，Y）的概率密度为

】

π/2E(X)??

???????xf(x,y)dxdy??π200dx?π/201x?sin(x?y)dy?2E(X)??dx?

题18图

从而

2π201π2πx?sin(x?y)dy???2.

2822?2,(x,y)?D, f(x,y)??0,其他.?E(X)???xf(x,y)dxdy??0dx?0D22111?xπ2πD(X)?E(X)?[E(X)]???2.

16222同理

1x?2dy?

312xdy?

62ππ2πE(Y)?,D(Y)???2.

4162又

π/2π/2E(X)???xf(x,y)dxdy??0dx?0D1?xE(XY)??故

0dx?0πxysin(x?y)dxdy??1,

2从而

21?1?1D(X)?E(X2)?[E(X)]2?????.

6?3?18同理E(Y)?π?ππ?π?CovX(Y,?)EX(Y?)E(X?)EY(??)???1????244???2?π?4????22Cov(X,Y)(π?4)π?4??而 ?XY??2??2??2π?8π?32π?D(X)?D(Y)ππ??211?x1162E(XY)???xyf(x,y)dxdy???2xydxdy??dx?2xydy?.

0012DD?11?所以 20.已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为??，试求Z1=X??2Y

14??1111Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)?E(Y)?????123336和Z2=2X??Y的相关系数.

.

从

【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.

而 从而

11?,D(Y)?. 318 37

D(Z1)?D(X?2Y)?D(X)?4D(Y)?4Cov(X,Y)?1?4?4?4?1?13,品是次品的概率.

23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件

次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，

D(Z2)?D(2X?Y)?4D(X)?D(Y)?4Cov(X,Y)?4?1?4?4?1?4,求：（1）乙箱中次品件数Z的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产

Cov(Z1,Z2)?Cov(X?2Y,2X?Y)

【解】（1） Z的可能取值为0，1，2，3，Z的概率分布为

k?kC3?C33P{Z?k}?C36?2Cov(X,X)?4Cov(Y,X)?Cov(X,Y)?2Cov(Y,Y)

?2D(X)?5Cov(X,Y)?2D(Y)?2?1?5?1?2?4?5.,

k?0,1,2,3.

故

?Cov(Z1,Z2)55Z1Z2?D(Z??13.

1)?D(Z2)13?42621.对于两个随机变量V，W，若E（V2

），E（W2

）存在，证明：

［E（VW）］2

≤E（V2

）E（W2

）.

这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy??Schwarz）不等式. 【证】令

g(t)?E{[V?tW]2},t?R.

显然

0?g(t)?E[(V?tW)2]?E[V2?2tVW?t2W2]

?E[V2]?2t?E[VW]?t2?E[W2],?t?R.

可见此关于t的二次式非负，故其判别式Δ≤0， 即0???[2E(VW)]2?4E(W2)?E(V2)

?4{[E(VW)]2?E(V2)?E(W2)}.

故[E(VW)]2?E(V2)?E(W2)}.

22.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数λ=1/5的指数分布.

设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F（y）.

【解】设Y表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生

故障的等待时间X~E(λ),E(X)=1?=5.

依题意Y=min(X,2). 对于y<0,f(y)=P{Y≤y}=0. 对于y≥2,F(y)=P(X≤y)=1.

对于0≤y<2,当x≥0时，在(0,x)内无故障的概率分布为 P{X≤x}=1??e??λx,所以

F(y)=P{Y≤y}=P{min(X,2)≤y}=P{X≤y}=1??e??y/5.

Z=k 0 1 2 3 Pk 1920 920 12020 因

此

，

E(Z??12???)????90

02(2) 设A表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概

率公式有

3P(A)??P{Z?k}?P{A|Z?k}

k?0

?120?0?919213120?6?20?6?20?6?4. 24.假设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（μ,1），

内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T（单位：元）与销售零件的内径X有如下关系

?若X?10T=??1,,?20,若10?X?12, ???5,若X?12.问：平均直径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？

【

解

】

E(T)??P{X?10}?20P{10?X?12}?5P{X?12}

??P{X?u?10?u}?20P{10?u?X?u?12?u}?5P{X???(10?u)?20[?(12?u)??(10?u)]?5[1??(12?u)]?25?(12?u)?21?(10?u)?5.故

dE(T)du?25?(12?u)?(?1)?21?(10?u)?(?1) 令 0(这里?得

38

25e?(12?u)2/2?21e?(10?u)2/2当t≥0时，利用卷积公式得



两边取对数有

fT(t)??故得

????f1(x)?f2(t?x)dx??5e?5x?5e?5(t?x)dx?25te?5t0t

11ln25?(12?u)2?ln21?(10?u)2.

22解

得

?25te?5t,t?0, f(t)??u?11?12ln2521?11?12ln1.19?10.9128(毫米)

由此可得，当u=10.9毫米时，平均利润最大. 25.设随机变量X的概率密度为

?f(x)=?1?cosx,0?x?π,?22 ?0,其他.对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于π/3的次数，求Y2的数学期望.

（2002研考）

?π?1,X?,【解】令 Y?3i??(i?1,2,3,4)

??0,X?π?3.4则Y??Yi~B(4,p).因为

i?1p?P{X?π3}?1?P{X?π3}及

P{X?ππ/313}??02cosx12dx?2,

所以E(Y11i)?2,D(Y4Y)?4?1i)?,E(2?2, D(Y)?4?12?12?1?E(Y2)?(EY)2,

从而E(Y2)?D(Y)?[E(Y)]2?1?22?5.

26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间Ti(i=1,2)服从参数为

5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间T=T1+T2的概率密度fT(t)，数学期望E（T）及方差D（T）. 【解】由题意知：

f(t)???5e?5t,t?0,i?0,t?0.

因T1,T2独立，所以fT(t)=f1(t)*f2(t). 当t<0时，fT(t)=0;

T?0,t?0.由于T1i ~E(5),故知E(Ti)=

5,D(T)=1i25(i=1,2) 因此，有E(T)=E(T21+T2)=5.

又因TT21,2独立，所以D（T）=D（T1+T2）=25.

27.设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正

态分布，求随机变量|X??Y|的方差.

【

解

】

设

Z=X??Y

，

由

于

X~N???1?2??0,?????1?2??2???,Y~N?0,?????2????, ?且X和Y相互独立，故Z~N（0，1）. 因

D(X?Y)?D(Z)?E(|Z|2)?[E(|Z|)]2

?E(Z2)?[E(Z)]2,

而

E(Z2)?D(Z)?1,E(|Z|)????|z|1???2πez2/2dz

?2???z2/22π?0zedz?2π，

所以

D(|X?Y|)?1?2π. 28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0

相互独立，当出现一个不合格产品时，即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X，求E（X）和D（X）. 【解】记q=1??p,X的概率分布为P{X=i}=qi??1p,i=1,2,…，

故

?E(X)??iqi?1?p?p(?qi)??p?i?1i?1?q???1?q???p(1?q)2?1p. 又

39

E(X2)??i2qi?1p??(i2?i)qi?1p??iqi?1p

i?1i?2i?1???于是

D(U)?D(X?Y)?1121???. 18183618

?q2???11i?pq(?q)????pq???pp i?2?1?q?2pq11?q2?p???2?2.(1?q)3ppp?30.设随机变量U在区间[??2,2]上服从均匀分布，随机变量

X=???1,若U?1，??1,若U??1， Y=?

1,若U?1.1,若U??1，??试求（1）X和Y的联合概率分布；（2）D（X+Y）.

所以 【解】 （1） 为求X和Y的联合概率分布，就要计算（X，Y）的4个可

能取值(??1,??1),(??1,1),(1,??1)及(1,1)的概率.

P{x=??1,Y=??1}=P{U≤??1,U≤1}

?1dxdx1?P{U??1}?????

??4?244P{X=??1,Y=1}=P{U≤??1,U>1}=P{?}=0,

?12?p11?pD(X)?E(X2)?[E(X)]2?2?2?2.

pppP{X=1,Y=??1}=P{U>??1,U≤1}

题29图

29.设随机变量X和Y的联合分布在点（0，1），（1，0）及（1，1）为顶

点的三角形区域上服从均匀分布.（如图），试求随机变量U=X+Y的方差.

【解】D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)

=D(X)+D(Y)+2[E(XY)??E(X)·E(Y)]. 由条件知X和Y的联合密度为

?P{?1?U?1}??dx1?

?144121P{X?1,Y?1}?P{U??1,U?1}?P{U?1}?.

故得X与Y的联合概率分布为

dx1?44?2,(x,y)?G, f(x,y)??0,t?0.?G?{(x,y)|0?x?1,0?y?1,x?y?1}.

从而

?(?1,?1)(?1,1)(1,?1)(1,1)??. (X,Y)~?111??0?424?(2)

因

D(X?Y)?E[(X?Y)2]?[E(X?Y)]2,

而X+Y及（X+Y）2的概率分布相应为

??202??0X?Y~?111?, (X?Y)2~?1因此 ????424??211131223E(X)??xfX(x)dx??2xdx?,E(X)??2xdx?,

0001122?0, 从而E(X?Y)?(?2)??2?14144D(X)?E(X2)?[E(X)]2???.

1129182?2, E[(X?Y)]?0??4?3122,D(Y)?. 同理可得 E(Y)?所218fX(x)??????f(x,y)dy??2dy?2x.

1?x14?. 1??2?以

5E(XY)???2xydxdy?2?xdx?ydy?,

01?x12G11D(X?Y)?E[(X?Y)2]?[E(X?Y)]2?2.

31.设随机变量X的概率密度为f(x)=

(1) 求E（X）及D（X）；

541Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)?E(Y)????,

12936

1?xe2，（??∞

40

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