2016-2017学年江苏省海安高级中学高三12月月考数学（详细答案版）

海安中学2017届高三12月月考数学试题

一、填空题：共14题

1．已知集合??={??|?1

【答案】{??|?1

【解析】本题主要考查集合的运算.

??={??|?1

2．若复数(1+??i)(1+i)是纯虚数(i是虚数单位),则实数??的值为.

【答案】1

【解析】本题主要考查复数的概念和复数的运算. 1+??i 1+i =1+ 1+?? i???，

由纯虚数的概念可得1+??≠0，1???=0 ，解得??=1. 故答案为1.

3．在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点为坐标原点,焦点坐标为(0?,?1),则抛物线C

的标准方程是. 【答案】??2=4??

【解析】本题主要考查抛物线的标准方程和性质. 由题可设抛物线的标准方程为??2=2????,由2=1得??=2， 则抛物线C的标准方程是??2=4??. 故答案为??2=4??.

4．一组数据9.8, 9.9, 10,a, 10.2的平均数为10,则该组数据的方差为.

??

【答案】0.02

【解析】本题主要考查样本的平均数与方差. 由

9.8+ 9.9+ 10+??+ 10.2

5

=10,得??=10.1，

0.15

??2= 9.8?10 2+ 9.9?10 2+ 10?10 2+ 10.1?10 2+ 10.2?10 2=故答案为0.02.

=0.02.

5．运行如图所示程序框图后,输出的结果是.

【答案】10

【解析】本题主要考查程序框图. 模拟程序运行，可得 ??=1,??=0,

满足??>?4,执行循环体，??=?2,??=0, 满足??>?4,执行循环体，??=?2,??=?1, 满足??>?4,执行循环体，??=?2+2=0,??=?2, 满足??>?4,执行循环体，??=4,??=?3, 满足??>?4,执行循环体，??=10,??=?4, 不满足??>?4,结束循环，输出??的值为10. 故答案为10.

6．若“|???1|<3”是“(??+2)(??+??)<0”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是.

【答案】(?∞,?4)

【解析】本题主要考查解不等式及充分必要条件. 由 ???1 <3得?2

当??<2时，不等式(??+2)(??+??)<0的解为?22时，不等式(??+2)(??+??)<0的解为???

要使“|???1|<3”是“(??+2)(??+??)<0”的充分不必要条件，则???>4，即??

7．函数??(??)= 3cos(3?????)?sin(3?????)是奇函数,则角??的值为.

【答案】??π?3,??∈??

【解析】本题主要考查奇函数的性质、诱导公式、两角和的三角函数及正弦函数的性质. 若函数??(??)= 3cos(3?????)?sin(3?????)是奇函数,

则?? 0 = 3cos ??? ?sin ??? = 3cos??+sin??=2sin ??+3 =0， ∴??+3=??π,∴??=??π?3,??∈??. 故答案为??π?3,??∈??.

8．已知??∈{1,2,3},??∈{1,2,3,4,5},直线??1:????+????=3,直线??2:??+2??=2,则这两条直线

π

π

π

π

π

的交点在第一象限的概率为. 【答案】5

【解析】本题主要考查直线的交点坐标和古典概型.

两直线方程联立可得交点坐标为 2?????，2????? , 若交点在第一象限，

?2??+6?????

则 22???3

2?????

?2??+6

2???3

2

??>3??<3

?? 1 ,或 ??<2?? 2 ， ??>23，化简得3>0??<2??>2>0

则满足条件 1 的 ??,?? 有2个: 1,4 , 1,5 ； 满足条件 2 的 ??,?? 有4个: 2,1 , 2,2 , 3,1 , 3,2 , 则这两条直线的交点在第一象限的概率为15=5. 故答案为5.

9．已知圆锥的母线长为5,侧面积为15π,则此圆锥的体积为.(结果保留π).

2

2+4

2

【答案】12π

【解析】本题主要考查圆锥的侧面积和体积.

由题得??=π????=5π??=15π,∴??=3,∴圆锥的高??= ??2???2=4, ∴圆锥的体积??=3π??2???=12π. 故答案为12π.

1

10．在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:

??212

+

??23

=1和直线l:?????+9=0.在l上取点M,

经过点M且与椭圆C有共同焦点的椭圆中,长轴最短的椭圆的标准方程为. 【答案】

??245

+

??236

=1

【解析】本题主要考查椭圆的标准方程和性质,两点间的距离公式，点关于直线的对称点.

椭圆的焦点为??1 3,0 ,??2 ?3,0 ,由题知，所求椭圆的长轴为??到两焦点的距离之和，求出??1 3,0 关于直线l:?????+9=0的对称点?? ?9,12 ,

直线??1??交直线l与点??,则??到两焦点的距离之和为直线l上到两焦点的距离之和的最小点，所以所求椭圆的长轴长为

2??= ??2?? = ?9+3 2+ 12?0 2=6 5， ∴??=3 5,??2=??2?9=36,

∴所求椭圆的标准方程为45+36=1. 故答案为

2????,0≤????＜,

2?11．在数列{????}中,????≥0且????+1＝ 1(??∈??).若??2＝??3,则??2所有可能的

2?????1,????≥

21

??245

??2

??2

+

??236

=1.

取值集合为. 【答案】{0,1}

【解析】本题主要考查数列的递推式. 当0≤??2＜2时，??3＝2??2=??2，∴??2=0； 当??2≥2时，??3＝2??2?1=??2，∴??2=1， 则??2所有可能的取值集合为{0,1}. 故答案为{0,1}.

12．若实数??,??,??满足2??+2??=2??+??,2??+2??+2??=2??+??+??,则c的最大值为.

1

1

【答案】log23

【解析】本题主要考查指数函数和基本不等式，考查整体思想和运算能力. 由2??+2??=2??+??=2???2??≤ 2

??+2??

4

2

????

得，2+2≥4，

1

1

1

3

2

由2??+2??+2??=2??+??+??= 2??+2?? ?2??得，2??=1?2??+2??≥1?4=4，

解得??≤log23， 当且仅当??=??=1，??=log23时等号成立 . 则??的最大值为log23. 故答案为log23.

????? =. 13．在????????中,????=2,?????????=1,????????的面积为 3,则????【答案】4 【解析】本题主要考查三角形面积公式、余弦定理、同角三角函数的基本关系及向量的数量积公式.

由三角形面积公式可得??=????sin??= 3,∴sin??=

2由余弦定理得cos??=

??2+??2???2

2????

1

2 3????

13

4

4

44

,

=

????? 2+2?????4

2????

=

2?????32????

,

又sin2??+cos2??=1， ∴cos??=19，????=

13

194

, ????? =????cos??=13. ∴????

4

故答案为4.

14．已知函数??(??)=cos2??+??sin??(??∈??)在(0,??π)内恰有2017个零点,则正整数n的值

13

为.

【答案】1345

【解析】本题主要考查正弦函数的性质、倍角公式、二次函数的性质. ?? ?? =cos2??+??sin??=?2sin2??+??sin??+1，

∴令sin??=??,?? ?? =?2??2+????+1,若?? ?? =0的两根均小于1，则零点个数必为偶数，∵一个周期内有3个零点，两根中必有一个为1或?1.若一根为1，则??=1，另一根为?2，∴??=2×672=1=1345,恰有2017个零点；∵一若一根为?1，则??=?1，另一根为2，个周期内有3个零点，∴??=2×672+1=1345,恰有2018个零点. 综上，??=1345. 故答案为1345.

二、解答题：共10题

1

1

15．已知向量??=(cos??,?sin??),??=(cos??,sin???2 3cos??),??∈??.设??(??)=?????.

(1)求函数??(??)的最小正周期;

(2)若??(??)=,且6≤??≤2,求sin2??的值.

13

【答案】(1)??(??)=cos2???sin??(sin???2 3cos??)

=cos2???sin2??+2 3sin??cos??

= 3sin2??+cos2?? 1 3=2(sin2??+cos2??)

22=2sin(2??+6),

所以??(??)的最小正周期为π. (2)由(1)得sin(2??+6)=13, 由6≤??≤2得2≤2??+6≤6π,

所以cos(2??+)=? 1?sin2(2??+)=?,

6

6

13

π

π

5

π

π

π

π

7

??

12

π24

π

π

此时sin2??=sin[(2??+6)?6]

π??ππ

=sin(2??+)cos?cos(2??+)sin

6666=13×

12

32

ππ

+13×2=

515+12 326

. 【解析】本题主要考查向量的数量积、倍角公式、两角和与差的正弦公式、正弦函数的性质、同角三角函数的基本关系.

(1)代入数量积公式，利用倍角公式及两角和的正弦公式化简，代入正弦函数的周期公式可得结论；

(2) 由(1)得sin(2??+6)=13,利用同角三角函数的基本关系及三角函数在各象限内的符号可得cos(2??+6)，利用角的代换及两角差的正弦公式可得结论.

16．如图,在六面体???????????1??1??1??1中,????1//????1,??1??=??1??,????=????.

π

??

12

求证:(1)????1⊥????; (2)????1//????1.

【答案】(1)取线段????的中点??,连结????、??1??, 因为??1??=??1??,????=????, 所以????⊥????,????⊥??1??.

又????∩??1??=??,????、??1???平面??1????,所以????⊥平面??1????. 而????1?平面??1????,所以????1⊥????. (2)因为????1//????1,

????1?平面??1??????1,????1?平面??1??????1, 所以????1//平面??1??????1.

又????1?平面??1??????1,平面??1??????1∩平面??1??????1=????1, 所以????1//????1.同理得????1//????1, 所以????1//????1.

【解析】本题主要考查空间中两直线的位置关系，考查线面平行、线面垂直的判定与性质、平行线的传递性.

(1)取线段????的中点??,连结????、??1??,利用等腰三角形构造垂直关系，证明线面垂直，从而可得结论；

(2)由线线平行可得线面平行，构造平行平面的交线，利用平行线的传递性可得结论.

17．已知圆O:??2+??2=4与??轴负半轴的交点为A,点P在直线l: 3??+?????=0上,过

点P作圆O的切线,切点为T.

(1)若a＝8,切点??( 3,?1),求直线AP的方程; (2)若PA=2PT,求实数a的取值范围.

【答案】(1)由题意,直线PT切于点T,则OT⊥PT,又切点T的坐标为(4,?3), 所以??????=?

3,??????3

=???

1

????

= 3, 故直线PT的方程为??+1= 3(??? 3),即 3??????4=0.

所以

3??????4=0,??=2 3,解得 即??(2 3,2),

??=2, 3??+???8=0,

2?0 所以直线AP的斜率为??=2故直线AP的方程为??=

2

=3+2 =3+11 3?1

, 2

3?1

(??+2),

即???( 3+1)??+2=0.

(2)设??(??,??),由PA＝2PT,可得(??+2)2+??2=4(??2+??2?4), 即3??2+3??2?4???20=0,

满足PA＝2PT的点P的轨迹是一个圆(???3)2+??2=所以??=

| 3×???| ( 3)2+1

232649

, ≤,即|2 3???|?≤?16, 3

3

3

16+2 33

8

解得

?16+2 33

≤??≤

. 【解析】本题主要考查求直线的方程、直线与圆的位置关系.

(1)由切线得二直线垂直，斜率之积为?1，可得直线????的斜率及方程，二直线方程联立求出??点坐标，从而可得直线????的方程；

(2)设出??点坐标，将条件转化得到点P的轨迹，将问题转化为直线与圆有公共点，可得a的取值范围.

18．如图,OM,ON是两条海岸线,Q为大海中一个小岛,A为海岸线OM上的一个码头.已知

tan∠??????=?3,????=6?km,Q到海岸线OM,ON的距离分别为3km,线ON上再建一个码头B,使得水上旅游线路AB(直线)经过小岛Q. (1)求水上旅游线路AB的长;

6 105

km.现要在海岸

(2)若小岛正北方向距离小岛6km处的海中有一个圆形强水波P,水波生成th时的半径为??=3 ????(其中0

【答案】(1)以点O为坐标原点,直线OM为??轴,建立直角坐标系如图所示.

则由题设得:??(6,0),直线ON的方程为 ??=?3??,??(??0,3)(??0>0). 由|3??0+3| 10=

6 105

,解得??0=3,所以??(3,3).2分

故直线AQ的方程为??=?(???6), ??=?3??,??=?3,

由{得{

??=9,??+???6=0

即??(?3,9),故????= (?3?6)2+92=9 2, 答:水上旅游线????的长为9 2km. (2)设试验产生的强水波圆P,由题意可得P(3,9), 生成??小时时,游轮在线段AB上的点C处, 则????=18 2??,0?≤????≤?2,所以??(6?18??,18??).

若强水波不会波及游轮的航行即????2>??2对??∈[0,2]恒成立. 即????2=(18???3)2+(18???9)2>??2=9????, 当??=0时恒成立,

当??≠0时,即??∈(0,2]时,??<72??+

1

10??

1

1

?48.

10??

令??(??)=72??+

510??

?48,??∈(0,2],??(??)=72??+

12

1

?48≥24 5?48,

当且仅当??= ∈(0,]时等号成立,

6

所以当0

(1)以点??为坐标原点,直线????为??轴,建立直角坐标系，由点到直线的距离公式，结合直线????的方程，得出??点坐标，利用两点间的距离公式可得????的长；

(2)强水波不会波及游轮的航行即????2>??2对??∈[0,2]恒成立.代入进行分类讨论可得结论.

1

19．设数列{????},{????},{????}满足??1=??,??1=1,??1=3,且对于任意??∈???,都有????+1=

????+????

2

,????+1=

????+????

2

. (1)若数列{????}和{????+????}都是常数列,求实数??的值; (2)求数列{?????????}的通项公式;

(3)设{????}是公比为??的等比数列,数列{????},{????}的前n项和分别为????,????.若2????+1?????<

2对一切正整数??均成立,求实数??的取值范围. 【答案】(1)因为????+1+????+1=????+所以??=

??1+??12

????+????2

5

,且{????}、{????+????}是常数列,

=2;

(2)由已知得????=2????+1?????,????=2????+1?????,

所以2????+1?????=2????+1?????,即?????????=?2(????+1?????+1), 又因为??1???1=2,所以

????+1?????+1?????????

=?2, 1

1

即数列{?????????}是以2为首项,?2为公比的等比数列, 故?????????=2?(?2)???1; (3)由已知得????=2????+1?????,

所以??1+??2+?+????=2(??2+??3+?+????+1)?(??1+??2+?+????), 即2????+1?????=(??1+??2+?+????)+2??1=(??+??2+?+????)+2, 故??+??2+?+????<2恒成立,记????=??+??2+?+????, 当??≥1时,??=1即不成立,舍去; 当??

??(1?????)1???11

=(?????1)?

??

1

?????1

, 3???12??

当n为偶数时,令(?????1)????1>2???>log(???)不成立,舍去; 当0

??

1

??(1?????)1???

1

,即当取大于log(???)

3???12??

的偶数时,

=

??1???

?

????+11???

<

??1???

, 所以1???≤2,解得0

当?1

1

【解析】本题主要考查数列与不等式恒成立问题.

将{????}{????}相加，得到??1+??1=4，????+????=4,????=??,可得结论； (2)将{????}{????}相减可得递推关系，由等比数列的概念及通项可得结论；

(3)由已知得????=2????+1?????,利用等比数列的前??项和公式和不等式恒成立思想变形化简，根据??的取值分类讨论即可.

20．已知函数f(x)＝

＋(a,b,λ为实常数). ??????????

1??

(1)若λ＝-1,a＝1.

①当b＝-1时,求函数f(x)的图象在点( 2,f( 2))处的切线方程; ②当b＜0时,求函数f(x)在[,]上的最大值.

32

(2)若λ＝1,b＜a,求证:不等式f(x)≥1的解集构成的区间长度D为定值.(注:定义区间(??,??),(??,??],[??,??),[??,??]的长度为?????)

【答案】(1)①当b＝-1时,f(x)＝???1???+1=??2?1,则f′(x)＝(??2?1)2,可得f′( 2)＝-4 2, 又f( 2)＝2,故所求切线方程为y-2＝-4 2(x- 2), 即4 2x＋y-10＝0.

②当λ＝-1时,f(x)＝?,

???1?????

则f′(x)＝-(???1)2＋(?????)2＝(???1)2(?????2)＝因为b＜0,则b-1＜0 ,且b＜故当b＜x＜当

??+12

??+12

??+12

1

1

(???1)2?(?????)2

2(???1)(???

??+1

)2(???1)2(?????)211

112?4??

11

.

＜2

??+12

1

时,f′(x)＞0,f(x)在(b,)上单调递增;

＜x＜2时,f′(x)＜0,f(x)在(

??+112

1

1??+112

,)单调递减. 2

(Ⅰ)当

≤3,即b≤-3时,f(x)在[3,2]单调递减,

1

9???9

11

所以[f(x)]max＝f(3)＝2?6??; (Ⅱ)当3＜

1

??+12

＜2,即-3＜b＜0时,[f(x)]max＝f(

4

1

11??+12

)＝???1. 4

,?3

,??≤?32?6??(2)f(x)≥1即?????＋?????≥1.

①当x＜b时,x-a＜0,x-b＜0,此时解集为空集.

②当a＞x＞b时,不等式(*)可化为(x-a)＋(x-b)≤(x-a)(x-b),

1

1

2

展开并整理得,x-(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≥0, 2

设g(x)＝x-(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b),

2

因为△＝(a-b)＋4＞0,所以g(x)有两不同的零点,设为x1,x2(x1＜x2),

又g(a)＝b-a＜0,g(b)＝a-b＞0,且b＜a, 因此b＜x1＜a＜x2,

2

所以当a＞x＞b时,不等式x-(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≥0的解为b＜x≤x1.

③当x＞a时,不等式(*)可化为(x-a)＋(x-b)≥(x-a)(x-b),

2

展开并整理得,x-(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≤0,

由②知,此时不等式的解为a＜x≤x2,

其长度为(x1-b)＋(x2-a)＝x1＋x2-a-b＝a＋b＋2-a-b＝2. 故不等式f(x)≥1的解集构成的区间长度D为定值2.

【解析】本题主要考查导数的综合应用、解一元二次不等式，考查分类讨论思想和综合分析问题、解决问题的能力.

(1)利用导数的几何意义求出切线斜率，写出切线的点斜式方程；求导，利用导数求出函数在定区间上的最大值；

(2)根据一元二次不等式和二次函数的关系，分类讨论两根，可得结论.

21．已知二阶矩阵A=[

1????

],矩阵A属于特征值??1=?1的一个特征向量为????=[],属于?????1

3

特征值??2=4的一个特征向量为????=[].求矩阵A.

2【答案】由特征值、特征向量定义可知,A????=??1????,

?????=?1,3??+2??=12,1????1

即[][]=?1×[],得{同理可得 解得??=2,??=3,??=

3??+2??=8,?????1?1?????=1. 2 3

2,??=1.因此矩阵A=[].

2 1

【解析】本题主要考查矩阵的特征值与特征向量.

由特征值、特征向量定义转化为已知的特征值、特征向量，代入求得矩阵.

22．在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程为

??=2cos??,(??为参数).以直角

??=sin??

坐标系原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为??cos(???4)=2 2.点P为曲线C上的动点,求点P到直线l距离的最大值. 【答案】??cos(???4)=2 2化简为??cos??+??sin??=4, 则直线l的直角坐标方程为??+??=4.

π

π

设点P的坐标为(2cos??,??sin??),得P到直线l的距离??=即??=

| 5sin(??+??)?4| 2|2cos??+sin???4| 2, ,其中cos??=

1 ,sin??=52 5. 10当sin(??+??)=?1时,??max=2 2+ .

2

【解析】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程，点到直线的距离公式.

利用??cos??=??,??sin??=??将l的极坐标方程化为直角坐标方程，设出点P的坐标，利用点到直线的距离公式可得结论.

23．在正方体???????????1??1??1??1中,O是AC的中点,E是线段D1O上一点,且D1E＝λEO.

(1)若λ=1,求异面直线DE与CD1所成角的余弦值; (2)若平面CDE⊥平面CD1O,求λ的值.

,?????? 【答案】(1)不妨设正方体的棱长为1,以 ????,??????1 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系?????????. 则A(1,0,0),??(2,??2,??0),??(0,??1,??0),D1(0,0,1),E(4,??4,??2), =(1,??1,??1),????于是????1=(0,???1,??1). 442

?????????1 3 ,??????. 由cos?????＝1?＝| ????|?| ????|6

1

11111

3所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为 .

6

＝0,m· (2)设平面CD1O的向量为m=(x1,y1,z1),由m·????????1＝0 ?????=0,得 2121取x1＝1,得y1＝z1＝1,即m=(1,1,1).

???1+??1=0,

=(,??,??). 由D1E＝λEO,则E(2(1+??),??2(1+??),??1+??),????2(1+??)2(1+??)1+?? ＝0,n· ＝0. 又设平面CDE的法向量为n＝(x2,y2,z2),由n·???????? 取x2=2,得z2＝-λ,即n＝(-2,0,λ). 得????

??

??

1

??

??

1

1

1

n＝0,得λ＝2. 因为平面CDE⊥平面CD1F,所以m·

【解析】本题主要考查利用空间向量求异面直线的夹角及两平面的位置关系.

,?????? (1) 以 ????,??????1为单位正交基底建立空间直角坐标系，求出????,????1，利用向量的夹角公式即可求出异面直线所成角的余弦值；

(2)求出平面CD1O和平面CDE的法向量，根据面面垂直，可得两法向量垂直，数量积为零，从而可出求λ的值.

24．一种抛硬币游戏的规则是:抛掷一枚硬币,每次正面向上得1分,反面向上得2分.

(1)设抛掷5次的得分为??,求??的分布列和数学期望E??; (2)求恰好得到n(??∈???)分的概率.

???5

()5(i=5,6,7,8,9,10), 【答案】(1)所抛5次得分??的概率为P(??＝i)=C5

2

1

???55

E??= 10??=5???C5(2)=2.

115

(2)令pn表示恰好得到n分的概率. 不出现n分的唯一情况是得到n-1分以后再掷出一次反面. 因为“不出现n分”的概率是1-pn,“恰好得到n-1分”的概率是pn-1, 因为“掷一次出现反面”的概率是2,所以有1-pn=2pn-1, 即pn-3=-2(?????1?3).

于是{?????3}是以p1-3=2?3=-6为首项,以-2为公比的等比数列.所以pn-3=-6(?2)???1,即pn＝3[2+(?2)??].

答:恰好得到n分的概率是3[2+(?2)??].

【解析】本题主要考查随机事件的分布列和期望，考查等比数列的应用.

(1)列出??的所有可能取值，根据组合数公式分别求出每种取值对应的概率，写出分布列，代入期望公式求出数学期望；

(2) 设????表示恰好得到??分的概率，根据题意可得1?????=2?????1，将其转化为?????3=?6(?2)???1.根据等比数列的性质即可求得????.

2

1

1

1

1

1

1

12

21

2

1

1

2

1

1

2

1

2

1

1

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