（北师大版）必修五名师精品：3.1.2《不等关系与不等式》教案（含答案）

教学设计

1．2 不等关系与不等式

整体设计

教学分析

我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．本节课的研究是对初中实数学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展．在本节课的学习过程中，让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本性质来比较两个代数式的大小．教学中，教师应做好点拨，利用数轴这一简单的数形结合工具，做好归纳总结．

根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，思考、交流、探究得出比较两实数大小的方法，即求差比较法，也就是要比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号．而这又必然归结到实数运算的符号法则．比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这也归结为判断它们的差的符号．

三维目标

1．通过回忆初中内容，结合数轴得出实数的基本性质，能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小；掌握实数的运算性质与大小顺序间的关系．

2．通过本节学习，强化转化思想、数形结合思想的运用．

3．通过本节学习，激发学生探究数学问题的欲望，体会数学的奥妙与数学式子的结构美、对称美，从而激发学生的学习兴趣．

重点难点

教学重点：比较两实数(或代数式)的大小．

教学难点：准确理解实数运算的符号法则及一些代数式的恒等变形． 课时安排 1课时

教学过程

导入新课

思路1.(复习导入)让学生回忆并叙述初中所学的不等式的基本性质，即不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．让学生根据上一节的学习，将上面的文字语言用不等式表示出来，并进一步探究，由此而展开新课．

思路2.(类比导入)等式具有许多性质，其中有：在等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以(除数不为零)同一个数，所得的式子仍是等式．我们自然会联想到，不等式是否也会有此同样的性质呢？学生会进一步探究验证这个联想，由此而展开新课．

推进新课 新知探究 提出问题

①让学生回答等式有哪些性质？

②实数的基本性质是什么？怎样比较两个实数的大小？ ③不等式有哪些基本性质？这些性质有哪些作用？

活动：教师引导学生一起回忆等式的性质：等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以(除数不为零)同一个数，所得到的仍是等式．利用这些性质，我们可以对等式进行化简、变形或证明．那么不等式会不会也有类似的性质呢？也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以(除数不为零)同一个数，结果会不会不变呢？为此教师引导学生回忆初中学过的实数的基本性质．

[来源学科网]如图1，A、B为数轴上的两点，若点A对应的实数为a，点B对应的实数为b，因为点A在点B的右边，所以可得a＞b.a＞b表示a减去b所得的差是一个大于0的数，即正数，即a＞b?a－b＞0.它的逆命题也正确．

图1

类似地，如果a＜b，则a减去b是负数；如果a＝b，则a减去b等于0.它们的逆命题也正确．一般地，a＞b?a－b＞0；a＝b?a－b＝0；a＜b?a－b＜0.

这就是实数的基本性质的一部分，还有任意两个正数的和与积都是正数等．等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式以及解不等式的主要依据．根据实数的基本性质，要比较两个实数的大小，可以考查这两个实数的差．这是我们研究不等关系的一个出发点．

结合实数的基本性质，我们可以证明不等式的基本性质： 性质1，如果a＞b，那么a＋c＞b＋c，

即不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向． 性质2，如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc. 性质3，如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc.

以上这些关于不等式的基本性质是解决不等式问题的依据． 另外，我们知道不等关系有一个重要特征——传递性．

比如，小张比小李高，小李比小王高，那么小张一定比小王高；又如电脑录入文字，小李比小王录入速度快，小王比小张录入速度快，那么小李一定比小张录入速度快．

实数的大小关系也具有传递性：如果a＞b，b＞c，那么a＞c. 讨论结果：①～③略． 应用示例

思路1

例1 比较下列各组数的大小(a≠b)． a＋b2(1)与(a＞0，b＞0)；(2)a4－b4与4a3(a－b)．

211

＋ab

活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定．本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点．

a＋ba＋b2ab?a＋b?2－4ab?a－b?22

解：(1)－＝－＝＝，

2112a＋b2?a＋b?2?a＋b?

＋ab

?a－b?2a＋b22

∵a＞0，b＞0且a≠b，∴a＋b＞0，(a－b)＞0.∴＞0，即＞. 2112?a＋b?

＋ab

(2)a4－b4－4a3(a－b)＝(a－b)(a＋b)(a2＋b2)－4a3(a－b)

＝(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3－4a3)＝(a－b)[(a2b－a3)＋(ab2－a3)＋(b3－a3)] ＝－(a－b)2(3a2＋2ab＋b2)＝－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]， ∵2a2＋(a＋b)2≥0(当且仅当a＝b＝0时取等号)，

又a≠b，∴(a－b)2＞0,2a2＋(a＋b)2＞0.∴－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]＜0. ∴a4－b4＜4a3(a－b)．

点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差—变形—判断符号．变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.

变式训练

1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是( )． A．f(x)＞g(x) B．f(x)＝g(x) C．f(x)＜g(x) D．随x值变化而变化

2

解析：f(x)－g(x)＝x－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1＞0，∴f(x)＞g(x)． 答案：A

2．已知x≠0，比较(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小．

解：由(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1＝x2. ∵x≠0，得x2＞0.从而(x2＋1)2＞x4＋x2＋1.

cc

例2 已知a＞b＞0，c＜0，求证：＞. ab

活动：教师点拨学生根据不等式的性质自己探究．点拨学生注意不等式各性质的条件及结论，推理要有理有据、严谨细致、条理清晰．

11111cc

证明：∵a＞b＞0，∴ab＞0，＞0.于是a·＞b·，即＞.由c＜0，得＞. abababbaab

点评：本题是不等式性质的简单应用．不等式的性质应用于证明不等式，往往是从条件推出结论的变换关系. 变式训练

1．若a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是( )．

bb＋111A．＞ B．a＋＞b＋

aa＋1ab

2a＋ba11

C．a＋＞b＋ D．＞

baa＋2bb

1111

解析：方法一：由a＞b＞0?0＜＜?a＋＞b＋. abba

11

方法二：令a＝2，b＝1，排除A、D，再令a＝，b＝，排除B.

23

答案：C

2．有以下四个条件：

①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0.

11

其中能使＜成立的有__________个条件．

ab

1111

解析：①∵b＞0，∴＞0.∵a＜0，∴＜0.∴＜. baab11

②∵b＜a＜0，∴＞. ba1111

③∵a＞0＞b，∴＞0，＜0.∴＞. abab11

④∵a＞b＞0，∴＜. ab

答案：3

x

3．已知60＜x＜84,28＜y＜33，则x－y的取值范围为__________；的取值范围为y

__________．

解析：∵28＜y＜33，∴－33＜－y＜－28. 又60＜x＜84，∴27＜x－y＜56.

111x6084?20x

，，即＜＜3. ∵28＜y＜33，∴＜＜，∴∈?33y28y?3328?11y

20?

答案：(27,56) ??11，3?

α＋βα－βππ

例3 已知－≤α＜β≤，求，的取值范围．

2222

活动：教师引导学生回忆本题的背景，这类问题是学习三角函数内容时经常遇到的，由于当时所学知识有限，往往容易出错．这里我们在已知的基础上，运用不等式的基本性质得出所要得到的结果．

πππαππβπ

解：∵－≤α＜β≤，∴－≤＜，－＜≤. 22424424

πα＋βπ

上面两式相加，得－＜＜. 222

πβππβππα－βπ∵－＜≤，∴－≤－＜.∴－≤＜.

424424222

α－βπα－β

又知α＜β，∴＜0.故－≤＜0.

222

思路2

例1 试比较(x＋1)(x＋5)与(x＋3)2的大小．

活动：要比较任意两个实数或代数式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系．

222

解：由于(x＋1)(x＋5)－(x＋3)＝(x＋6x＋5)－(x＋6x＋9)＝－4＜0， 所以(x＋1)(x＋5)＜(x＋3)2. 变式训练

1．下列不等式：①a2＋3＞2a；②a2＋b2＞2(a－b－1)；③x2＋y2＞2xy. 其中恒成立的不等式的个数为( )．

A．3 B．2 C．1 D．0 解析：∵②a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0， ③x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0.∴只有①恒成立． 答案：C

2．已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则( )． A．a1＋a8＞a4＋a5 B．a1＋a8＜a4＋a5 C．a1＋a8＝a4＋a5 D．a1＋a8与a4＋a5大小不确定 解析：(a1＋a8)－(a4＋a5)＝a1＋a1q7－a1q3－a1q4

＝a1[(1－q3)－q4(1－q3)]＝a1(1－q)2(1＋q＋q2)(1＋q2)． ∵q≠1，∴上式大于0，即a1＋a8＞a4＋a5. 答案：A

例2 建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好．试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．

活动：教师点拨学生，解题的关键是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，可采用作差法．

解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a，b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a

a＋mam?b－a?a＋maaa

＜b，且≥10%，由于－＝＞0，于是＞.又≥10%，

bb＋mbb?b＋m?b＋mbba＋ma因此＞≥10%.

b＋mb

所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．

a＋ma

点评：一般地，设a，b为正实数，且a＜b，m＞0，则＞.这正是本章章头图体现

b＋mb

[来源学§科§网Z§X§X§K]的不等式. 变式训练

若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是( )．

11

A．＜ B．a2＞b2

abab

C．2＞2 D．a|c|＞b|c|

c＋1c＋1

ab

解析：方法一：∵a＞b，c2＋1＞0，∴2＞2.

c＋1c＋1

方法二：令a＝1，b＝－2，c＝0，代入A，B，C，D中，可知A，B，D均错． 答案：C

ee

例3 已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.

a－cb－d

11

活动：教师引导学生观察结论，由于e＜0，因此即证＜，引导学生作差，利

a－cb－d

用本节所学的不等式的基本性质．

11

?<，?－c>－d>0，??ee

??a－c＞b－d＞0?a－cb－d??证明：c＜d＜0?＞.

a－cb－d?a>b>0???e<0

点评：本例是灵活运用不等式的基本性质．证明时一定要推理有据，思路条理清晰.变式训练

11ba

若＜＜0，则下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④＋＞2中，正确的abab不等式有( )．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

11

解析：由＜＜0得b＜a＜0，ab＞0，则①正确，②错误，③错误，④正确．

ab

答案：B 知能训练

课本本节练习1,2. 课堂小结

1．教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法；从不等式的基本性质的探究，到不等式性质的推得；从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中．

2．教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方，利用不等式的性质容易忽略的方面及证明不等式时需注意的问题．

作业

课本习题3—1 B组1,3.

设计感想

1．本教案设计关注了教学方法的优化. 课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式．各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动．也就是说，世上没有万能的教学方法．针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的“施教灵药”．

2．本教案设计注重了难度控制．不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点．作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响．

[来源学+科+网Z+X+X+K]

[来源学。科。网Z。X。X。K]

3．本教案设计关注了学生思维能力的训练．训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线．采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化．变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升．这些都在本教案设计中得以体现．目的是充分发挥数学每一节课堂的教育功能，捕捉学生每一个闪光的智慧火花．

备课资料

一、备选例题

yz

【例1】 已知x＞y＞z＞0，求证：＞. x－yx－z

分析：证明简单不等式常依据不等式的基本性质及推论，也可作差比较．

1yz

证明：∵x＞y，∴x－y＞0.∴＞0.又y＞z，∴＞.①

x－yx－yx－y

∵y＞z，∴－y＜－z.∴x－y＜x－z.

11zz

∴0＜x－y＜x－z.∴＞.又z＞0，∴＞.②

x－yx－zx－yx－zyz

由①②，得＞. x－yx－z

小结：运用性质证明不等式时，应注意有理有据，严谨细致，还应条理清晰．上述的证明方法采用的证明思路是由条件到结论，也可采用由结论到条件的证明思路，同学们不妨尝试一下．

【例2】 试判断下列各对整式的大小：(1)m2－2m＋5和－2m＋5；(2)a2－4a＋3和－4a＋1.

解：(1)∵(m2－2m＋5)－(－2m＋5)＝m2－2m＋5＋2m－5＝m2， ∵m2≥0，∴(m2－2m＋5)－(－2m＋5)≥0.∴m2－2m＋5≥－2m＋5. (2)∵(a2－4a＋3)－(－4a＋1)＝a2－4a＋3＋4a－1＝a2＋2， ∵a2≥0，∴a2＋2≥2＞0.∴a2－4a＋3＞－4a＋1. 二、备用习题

1．如果a，b，c，d是任意实数，则( )．

ab

A．a＞b，c＝d?ac＞bd B．＞?a＞b

cc

1111

C．a3＞b3，ab＞0?＜ D．a2＞b2，ab＞0?＜ abab

2．已知a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b的大小关系是( )． A．a＞b＞－b＞－a B．a＞－b＞－a＞b C．a＞－b＞b＞－a D．a＞b＞－a＞－b 3．已知－1＜a＜b＜0，则下面不等式中正确的是( )． 1111A.＜＜b2＜a2 B.＜＜a2＜b2 abab1111C.＜＜a2＜b2 D.＜＜b2＜a2 baba

4．若a＜b＜0，则下列不等式中不能成立的是( )． 1111A.＞ B.＞ C．|a|＞|b| D．a2＞b2 aba－ba

ππ

5．若α，β满足－＜α＜β＜， 则α－β的取值范围是( )．

22

A．－π＜α－β＜π B．－π＜α－β＜0

πππC．－＜α－β＜ D．－＜α－β＜0

222

来源:Z+xx+k.Com]6．已知a≠0，比较(a2＋2a＋1)(a2－2a＋1)与(a2＋a＋1)(a2－a＋1)的大小． 7．已知a＞b，比较a3与b3的大小． 参考答案：

1．C A项中，当c，d为负数时，ac＜bd，A错；B项中，当c为负数时，a＜b，B

11

错；C项中，a3＞b3，得出a＞b，又由ab＞0可得＜，C项正确；D项中，若a，b均为

ab

11

负数，由a2＞b2得出a＜b，由ab＞0得出＞，D错．

ab

2．C 由a＋b＞0，b＜0可知a＞0，b＜0，故a，－b为正，－a，b为负，又由a＋b＞0知a＞－b，b＞－a，所以a＞－b＞b＞－a.

1111

3．D 由－1＜a＜b＜0知ab＞0，所以＜＜0，a2＞b2＞0.故＜＜b2＜a2.

baba

11

4．B 由a＜b＜0知ab＞0，故＞，|a|＞|b|，a2＞b2，A，C，D项成立．

ab

11

又由b＜0知－b＞0，a－b＞a，而a＜b，故a－b＜0.于是＞，故B项不成立．

aa－b

ππππ

5．B 由－＜α＜β＜知－＜－β＜，故－π＜α－β＜π，且α－β＜0.

2222

故－π＜α－β＜0.

6．(a2＋2a＋1)(a2－2a＋1)－(a2＋a＋1)(a2－a＋1) ＝[(a2＋1)2－(2a)2]－[(a2＋1)2－a2]＝－a2. ∵a≠0，∴－a2＜0.

∴(a2＋2a＋1)(a2－2a＋1)＜(a2＋a＋1)(a2－a＋1)．

b3a＋?2＋b2?. 7．a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)????2?4?

b3

a＋?2＋b2＞0，∴a3－b3＞0，即a3＞b3. ∵a＞b，∴a－b＞0.又??2?4

(设计者：沈传年)

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