卓越教案-中考数学动点问题

动点专题

一、应用勾股定理建立函数解析式

例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G.

(1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.

(2)设PH?x,GP?y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x的取值范围).

(3)如果△PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长.

B

P

y N G x

O M H A

图1

二、应用比例式建立函数解析式

例2（2006年·山东）如图2,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=x,CE=y. (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y与x之间的函数解析式；

(2)如果∠BAC的度数为?,∠DAE的度数为?,当?,?满足怎样的关系式时,(1)中y与x之间的函数解析式还成立?试说明理由.

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A D B 图2

C

E

三、应用求图形面积的方法建立函数关系式

例4（2004年·上海）如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A的半径为1.若点O在BC边上运动(与点B、C不重合),设BO=x,△AOC的面积为y.

(1)求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域.

A (2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当⊙O与⊙A相切时, △AOC的面积.

C B O H

图8

一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题．

1．（09年徐汇区）如图，?ABC中，AB?AC?10，BC?12，点D在边BC上，且BD?4，以点D为顶点作?EDF??B，分别交边AB于点E，交射线CA于点F． （1）当AE?6时，求AF的长；

（2）当以点C为圆心CF长为半径的⊙C和以点A为圆心AE长为半径的⊙A相切时，

求BE的长； （3）当以边AC为直径的⊙O与线段DE相切时，求BEA的长．

F

E

DB

C

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（二）线动问题

2,在矩形ABCD中，AB＝3，点O在对角线AC上，直线l过点O，且与AC垂直交AD于点E.(1)若直线l过点B，把△ABE沿直线l翻折，点A与矩形ABCD的对称中心A＇重合，求BC的长； (2)若直线l与AB相交于点F，且AO＝

1AC，设AD的长为x，五边4A O E 形BCDEF的面积为S.①求S关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；

l

D A′

3②探索：是否存在这样的x，以A为圆心，以x?长为半径的圆与

4直线l相切，若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

解决动态几何问题的常见方法有:

B C

一、 特殊探路，一般推证

例2：（2004年广州市中考题第11题）如图，⊙O1和⊙O2内切于A，⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为2，点P为⊙O1上的任一点（与点A

BO1PCO2ABP不重合），直线PA交⊙O2于点C，PB切⊙O2于点B，则PC的值为

36（A）2 （B）3 （C）2 （D）2

二、 动手实践，操作确认

例4（2003年广州市中考试题）在⊙O中，C为弧AB的中点，D为弧AC上任一点（与A、C不重合），则

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（A）AC+CB=AD+DB (B) AC+CB

(C) AC+CB>AD+DB (D) AC+CB与AD+DB的大小关系不确定

例5：如图，过两同心圆的小圆上任一点C分别作小圆的直径CA和非直径的弦CD，延长CA和CD与大圆分别交于点B、E，则下列结论中正确的是（ * ） （A）DE?AB （B）DE?AB

（C）DE?AB（D）DE,AB的大小不确定

DE

三、 建立联系，计算说明

例6：如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为 .

COAB

ADM

BNC以圆为载体的动点问题 例1. 在Rt?ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合），当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由。（03年广州市中考）

例2. 如图2，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＋BC＜DC，若腰DC上有动点P，使AP⊥

BP，则这样的点有多少个？

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中考动点专题答案

一、应用勾股定理建立函数解析式

1.解:(1)当点P在弧AB上运动时,OP保持不变,于是线段GO、GP、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=

23NH=

21?OP=2. 32?OP2?PH2?36?x2, ∴MH(2)在Rt△POH中, OH在Rt△MPH中,

?11OH?36?x222

.

11MP?PH2?MH2?x2?9?x2?36?3x242∴

.

y=GP=

23MP=

136?3x23 (0

(3)△PGH是等腰三角形有三种可能情况:

136?3x2?x,解得x?6. 经检验, x?6是原方程的根,且符合题意. 3136?3x2?2,解得x?0. 经检验, x?0是原方程的根,但不符合题意. ②GP=GH时, 3③PH=GH时,x?2.

①GP=PH时,

综上所述,如果△PGH是等腰三角形,那么线段PH的长为二、应用比例式建立函数解析式

2.解:(1)在△ABC中,∵AB=AC,∠BAC=30°, ∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°. ∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB, ∴△ADB∽△EAC, ∴

6或2.

A ABBD,

?CEAC.

D B 图2

C

E 11x?, ∴y? ∴

xy1(2)由于∠DAB+∠CAE=?∴90????,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=90???2,且函数关系式成立,

?2=???, 整理得???2?90?.当???2?90?时,函数解析式y?1x成立.

三、应用求图形面积的方法建立函数关系式 例4 解:(1)过点A作AH⊥BC,垂足为H.

∵∠BAC=90°,AB=AC=2 5 / 27

2, ∴BC=4,AH=

12BC=2. ∴OC=4-x.

∵S?AOC

?1OC?AH2, ∴

y??x?4 (0?x?4).

76

(2)①当⊙O与⊙A外切时, 在Rt△AOH中,OA=x?1,OH=2?此时,△AOC的面积

x, ∴(x?1)2?22?(2?x)2. 解得x?

.

.

y=4?717?66②当⊙O与⊙A内切时,

7. 2

71171此时,△AOC的面积y=4??.综上所述,当⊙O与⊙A相切时,△AOC的面积为或

2226在Rt△AOH中,OA=x?1,OH=x?2, ∴(x?1)2?22?(x?2)2. 解得x?

.

专题二：动态几何型压轴题 一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题．

1.解：（1） 证明?CDF∽?EBD∴

CFCD? ，代入数据得BDBEAFCF?8，∴AF=2

（2） 设BE=x,则d的方法CF?AC?10,AE?10?x,利用（1）

E?32， x?10?x?32，Bx 相切时分外切和内切两种情况考虑： 外切，10DCx?42；

内切，10?10?x?32x，x?10?217．?0?x?10

∴当⊙C和⊙（3）当以边

A相切时，BE的长为42或10?217．

相切时，BEAC为直径的⊙O与线段DE?20． 3（二）线动问题 [ 略解]

(1)∵A’是矩形ABCD的对称中心∴A’B＝AA’＝∵AB＝A’B，AB＝3∴AC＝6 BC (2)①

12AC

l

A E O ，

?33

，

D A′

AC?x2?9，

12AO?x?941AF?(x2?9)12x2?9AE?

4x 6 / 27

B C

∴S?AEF

1(x2?9)2?AE?AF?296x(x2?9)2?x4?270x2?81?，S?3x? (3?x?33)

96x96x②若圆A与直线l相切，则x?使圆A与直线l相切．

31288?x?9，x1?0(舍去)，x2?∵x2??3∴不存在这样的x，44551、如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90o，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t≥0)．

(1) 直接用含t的代数式分别表示：QB＝______，PD＝______．

(2) 是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究

如

何改变点Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；

(3) 如图②，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．

2、如图，在矩形ABCO中，AO=3，OC=4，以O为坐标原点，OC为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系。设D，E分别是线段AC，OC上的动点，它们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动，设运动时间为t秒。 （1）求直线AC的解析式；

（2）用含t的代数式表示点D的坐标； （3）当t为何值时，△ODE为直角三角形？

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3、如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，BC=12，点E，F分别是线段AD，AC上的动点（点E不与点A，D重合），且∠CEF=∠ACB。

（1）求AC的长和点D的坐标； （2）说明△AEF与△DCE相似；

（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标。

4、如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0,4），现有两动点P、Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时PQ=25. （1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；

（2）连接AQ并延长交x轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF，则△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值. （3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？

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5、已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且∠AOC=60°，点B的坐标是(0,83)，点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，同时，点Q从点O开始以每秒a（1≤a≤3）个单位长度的速度沿射线OA方向移动，设

P C D Q O x A y B t(0?t?8)秒后，直线PQ交OB于点D.

（1）求∠AOB的度数及线段OA的长；

4a?3,OD?33（2）当时，求t的值及此时直线PQ的解析式；

（3）当a为何值时，以O，Q，D为顶点的三角形与?OAB相似？当a 为何值时，以O，Q，D为顶点的三角形与?OAB不相似？请给出你的结论，并加以证明.

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6、已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点

0)B(810)，，C(0，4)，点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单的坐标分别为A(8，，位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒． （1）求直线BC的解析式；

2（2）若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的7？

（3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设△OPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；

（4）当动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q，使四边形CQPD为矩形？请求出此时动点P的坐标；若不能，请说明理由．

B y C D y C D B

O P A x O A （此题备用）

x 7、（2012福建漳州）如图，在平行四边形OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60o，OC=4cm．OA=8cm．动点P从点O出发，以1cm／s的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同时从点O出发，以acm／s的速度．．沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：点C的坐标是(______，______)，对角线OB的长度是_______cm；

(2)当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出t的取值范围；

(3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．

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8、如图，在Rt△ABC中，∠C =900，AC = 4cm , BC = 5 cm，点D 在BC 上，且CD = 3 cm ，现有两个动点P，Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P以1 厘米／秒的速度沿AC 向终点C 运动；点Q 以1 . 25 厘米／秒的速度沿BC 向终点C 运动．过点P作PE∥ BC 交AD 于点E ，连接EQ。设动点运动时间为t秒（t > 0 )。

（1）连接DP ，经过1 秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由； （2）连接PQ ，在运动过程中，不论t 取何值时，总有线段PQ与线段AB平行。为什么？ （3）当t 为何值时，△EDQ为直角三角形。

9、如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=122，点C的坐标为（－18，0）。 （1）求点B的坐标；

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（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式； （3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点

的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

10、如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）． （1）求G点坐标； （2）求直线EF解析式；

（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

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11、如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边0A、08分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2—7x+12=0的两根(OA<0B)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒l个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒． (1)求A、B两点的坐标。

(2)求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．

(3)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

12、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒，当一个点运动到终点时，另一个点也停止运动． （1）点E、F移动的过程中，当?BEF为直角三角形时，求出t的值；

（2）四边形AFEC的面积能否达到19.8cm2？若能，请求出t值，若不能，请说明理由； （3）点E、F移动的过程中，当?BEF为等腰三角形时，求出t的值；

（4）若点F运动到B点时继续沿射线AB方向运动，点E运动到C点时继续在线段CD上向D点运动，到D点后停止运动，点F也随之停止运动；请问以点B、D、E、F为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，请求出t的值，若不能，请说明理由。 .

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o

DCEAFB

13.如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝23，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP＝3．一动

点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速动动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速动动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动．在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧，设动动的时间为t秒(t≥0)．

(1)当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；

(2)在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；

(3)设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

14、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC上的一点，且CE＝8，BC＝12，CD＝43，∠C＝30°，∠B＝60°。点P是线段BC边上一动点（包括B、C两点），设PB的长是x。

（1）当x为何值时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形。 （2）当x为何值时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形。 （3）P在BC 上运动时，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否为菱形。

ADB 14 / 27

PEC

4

1、【答案】解：(1) QB＝8－2t，PD＝t。

3 (2) 不存在。理由如下：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴ AB＝10。 ∵ PD∥BC，∴ △APD∽△ACB。∴ 5∴ BD＝AB－AD＝10－t。

3

∵ BQ∥DP，∴ 当BQ＝DP时，四边形PDBQ是平行四边形。 412

∴8－2t＝t，解得：t＝。

35

1241216512

当t＝时，PD＝×＝，BD＝10－×＝6，∴ DP≠BD。

535535∴PDBQ不能为菱形。

45设点Q的速度为每秒v个单位长度，则BQ＝8－vt，PD＝t，BD＝10－t。

33

4510

要使四边形PDBQ为菱形，则PD＝BD＝BQ，当PD＝BD时，即t＝10－t，解得：t＝。

333104101016

当PD＝BQ时，t＝时，即×＝8－v，解得：v＝。

333315

16

∴要使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，点Q的速度为单位长度/秒。

15 (3) 如图，以C为原点，以AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系。依题意，可知0≤t≤4。

当t＝0时，点M1的坐标为(3，0)； 当t＝4时，点M2的坐标为(1，4)。 设直线M1M2的解析式为y＝kx＋b，

?3k＋b＝0?k＝－2∴ ?，解得：?。 ?k＋b＝4?b＝6

ADAPADt5

＝，即：＝，∴ AD＝t。 ABAC1063

∴直线M1M2的解析式为y＝－2x＋6。 ∵点Q(0，2t)，P(6－t，0)，

6－t

∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标为(，t)。

2

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∴经过1 秒后，四边形EQDP不能成为平行四边形。 （2）∵AP=t厘米，BQ=1.25t厘米，AC=4厘米，BC=5厘米， ∴PC4?tQC5?1.25t4?tPCQC?， ???。∴。 AC4BC54ACBC 又∵∠C=∠C，∴△PQC∽△ABC。∴∠PQC=∠B。∴PQ∥AB。 ∴在运动过程中，不论t 取何值时，总有线段PQ与线段AB平行。 （3）分两种情况讨论： ①当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4－t，DQ=1.25t－2 又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC。 ∴EQDQ4?t1.25t?2??，即， ACDC43解得t=2.5。 ②当∠QED=90°时， ∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，∴△EDQ∽△CDA。 ∴DQRt?EDQ斜边上的高。 ?DARt?CDA斜边上的高Rt△EDQ斜边上的高为4－t，Rt△CDA斜边上的高为2.4， ∴1.25t?24?t?，解得t =3.1。 52.4综上所述，当t为2.5秒或3.1秒时，△EDQ为直角三角形。 9、【答案】解：（1）过点B作BF⊥x轴于F，

在Rt△BCF中

∵∠BCO=45°，BC=122，∴CF=BF=12 。 ∵C 的坐标为（－18，0），∴AB=OF=6。 ∴点B的坐标为（－6，12）。

（2）过点D作DG⊥y轴于点G，

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∵OD=2BD，∴OD=

2OB。 3∵AB∥DG，∴△ODG∽△OBA 。 ∵

DGODOG2???，AB=6，OA=12，∴DG=4，OG=8。∴D（－4，8），E（0，4）。 ABOBOA3设直线DE解析式为y=kx+b（k≠0）

??4k?b?8?k??1∴ ?，解得?。∴直线DE解析式为y=－x+4。

b?4 b?4??（3）结论：存在。

点Q的坐标为：（22 ，－2

2），（－22 ，2 2），（4，4），（－2，2）。

【考点】一次函数综合题，等腰直角三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，菱形的判定和性质。

【分析】（1）构造等腰直角三角形BCF，求出BF、CF的长度，即可求出B点坐标。

（2）已知E点坐标，欲求直线DE的解析式，需要求出D点的坐标．构造△ODG∽△OBA，由

线段比例关系求出D点坐标，从而可以求出直线DE的解析式。

（3）如图所示，符合题意的点Q有4个：

设直线y=－x+4分别与x轴、y轴交于点E、点F， 则E（0，4），F（4，0），OE=OF=4，EF=42。 ①菱形OEP1Q1，此时OE为菱形一边。

则有P1E=P1Q1=OE=4，P1F=EF－P1E=42－4。 易知△P1NF为等腰直角三角形， ∴P1N=NF=

2P1F=4－22。 2设P1Q1交x轴于点N，则NQ1=P1Q1－P1N=4－（4－22）=22。 又ON=OF－NF=22，∴Q1（22 ，－22）。

②菱形OEP2Q2，此时OE为菱形一边。此时Q2与Q1关于原点对称，∴Q2（－22，22）。 ③菱形OEQ3P3，此时OE为菱形一边。

此时P3与点F重合，菱形OEQ3P3为正方形，∴Q3（4，4）。 ④菱形OP4EQ4，此时OE为菱形对角线。

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由菱形性质可知，P4Q4为OE的垂直平分线，

由OE=4，得P4纵坐标为2，代入直线解析式y=－x+4得横坐标为2，则P4（2，2）。 由菱形性质可知，P4、Q4关于OE或x轴对称，∴Q4（－2，2）。

综上所述，存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标为： Q1（22，－22），Q2（－22，22），Q3（4，4），Q4（－2，2）。

10、【答案】解：（1）由已知得，FG=AF=2，FB=1。

∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=90°。

∴BG?FG2?FB2?22?12?3。∴G点的坐标为（3，4－3）。 （2）设直线EF的解析式是y=kx+b，

在Rt△BFG中，cos?BFG?FB1。∴∠AFE=∠EFG=60°。 ?，∴∠BFG=60°

FG2∴AE=AFtan∠AFE=2tan60°=23。∴E点的坐标为（0，4－23）。 又F点的坐标是（2，4），

??b?4?23?k?3?∴?， 解得?。

2k?b?4b?4?23????∴直线EF的解析式为y?3x?4?23。 （3）存在。M点的坐标为（3?431?431+43， 3），（， ?3），（， 8?3 ）。 333【考点】一次函数综合题，矩形的性质，折叠性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。 【分析】（1）根据折叠性质可知FG=AF=2，而FG=AB－AF=1，则在Rt△BFG中，利用勾股定理求出BG的长，从而得到CG的长，从而得到G点坐标。

（2）由题意，可知△AEF为含30度角的直角三角形，从而可求出E点

坐标；又F点坐标已知，所以可利用待定系数法求出直线EF的解析式。

（3）分FG为平行四边形边和对角线两种情况讨论，探究可能的平行四

边形的形状：

若以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，则可能存在以

下情形：

①FG为平行四边形的一边，且N点在x轴正半轴上，如图1所示。

23 / 27

过M1点作M1H⊥x轴于点H，易证△M1HN1≌△GBF， ∴M1H=GB=3，即yM1=3。

由直线EF解析式y?3x?4?23，求出xM1?∴M1（3?43。 33?43， 3）。 3②FG为平行四边形的一边，且N点在x轴负半轴上，如图2所示。 仿照与①相同的办法，可求得M2（1?43， ?3）。 3③FG为平行四边形的对角线，如图3所示。

过M3作FB延长线的垂线，垂足为H．易证△M3FH≌△GN3C， 则有M3H=CG=43，所以M3的纵坐标为8－3。 代入直线EF解析式，得到M3的横坐标为∴M3（1+43。 31+43， 8?3）。 3综上所述，存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为：

M1（3?431?431+43， 3），M2（， ?3），M3（， 8?3 ）。 33311、【答案】解：（1）由x2－7 x +12=0解得x1=3，x2=4。

∵OA＜OB ，∴OA=3 , OB=4。∴A(0，3)， B(4，0)。

(2) 由OA=3 , OB=4，根据勾股定理，得AB=5。

由题意得，AP=t, AQ=5－2t 。分两种情况讨论： ①当∠APQ=∠AOB时，如图1，△APQ∽△AOB。

∴

t5?2tAPAQ，即??35AOAB 解得 t=

152018。∴Q（，。 ）111111②当∠AQP=∠AOB时，如图2， △APQ∽△ABO。

∴

t52t?1230APAQ25，即? 解得 t= 。∴Q（，。 ? ）

531313ABAO134224248（3）存在。M1（， ）， M2（， ），M3（?， ）。

555555【考点】动点问题，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的性质，平行四边形的判定。 【分析】（1）解出一元二次方程，结合OA＜OB即可求出A、B两点的坐标。 （2）分∠APQ=∠AOB和∠AQP=∠AOB两种情况讨论即可。

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（3）当t=2时，如图，OP=2，BQ=4，∴P（0，1），Q（， 若以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则 ①当AQ为对角线时，点M1的横坐标与点Q的横坐标

相同，纵坐标为

412）。 554221222+2=。∴M1（， ）。

555512242?2=。∴M2（， ）。 5555 ②当PQ为对角线时，点M2的横坐标与点Q的横坐标相同，纵坐标为

③当AP为对角线时，点Q、M3关于AP的中点对称。 由A(0，3)，P（0，1）得AP的中点坐标为（0，2）。 由Q（， 4441212848）得M3的横坐标为2?0?=?，纵坐标为2?2?=。∴M3（?，。 ）

55555555综上所述，若以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则M点的坐标为 （， 4224248）或（， ）或（?， ）。 55555513、【答案】(1)当等边△EFG的边FG恰好经过点C时(如图)，∠CFB＝60°，BF＝3－t，在Rt△CBF中，

BC23

BC＝23，∴tan∠CFB＝，∴tan 60°=，∴BF＝2，∴t＝3－t ＝2，∴t＝1．

BFBF

(2)当0≤t＜1时，S= 23 t＋43；当1≤t＜3时，S=

373

t 2+33 t＋；当3≤t＜4时，22

S= －43 t＋203；当4≤t＜6时，S= 3 t2－123 t＋363．

(3)存在，理由如下：

BC3

在Rt△ABC中，tan∠CAB＝=，∴∠CAB=30°．

AB3

又∵∠HEO=60°，∴∠HAE=∠AHE=30°． ∴AE=HE=3－t或t－3．

13

（ⅰ）当AH=AO=3时（如图②），过点E作EM⊥AH于M，则AM=AH=．

22

25 / 27

32AM

在Rt△AME中，cos∠MAE＝，即cos 30°=，∴AE=3，

AEAE即3－t=3或t－3=3，t=3－3或3＋3．

（ⅱ）当HA=HO时（如图③），则∠HOA=∠HAO=30°， 又∵∠HEO=60°，∴∠EHO=90°．

∴EO=2HE=2AE．又∵AE＋EO=3，∴AE＋2AE=3． ∴AE=1．即3－t=1或t－3=1，t=2或4．

（ⅲ）当OH=OA时（如图④），则∠OHA=∠OAH=30°，[来源:] ∴∠HOB=60°=∠HEB．∴点E和O重合，∴AE=3． 即3－t=3或t－3=3，t=6（舍去）或t=0．

综上所述，存在5个这样的值，使△AOH是等腰三角形，即： t=3－3或t=3＋3或t=2或t=4或t=0． 14、答案： ∴DG＝23，CG＝6 ∴DG＝AF＝23 ∵∠B＝60° ∴BF＝2。 ∵BC＝12

∴FG＝AD＝4……………………………………………………………2分

显然，当P点与F或点G重合时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形。 所以x=2或x=6…………………………………………………………2分 (2) ∵AD=BE=4，且AD∥BE ∴当点P与B重合时，

即x=0时。点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形………………………………2分 又∵当点P在CE中点时，EP＝AD＝4，且EP∥AD，

∴x=8时，点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形…………………………………2分 （3）由（1）（2）知，∵∠BAF＝30° ∴AB＝2BF＝4

∴x=0时，且PA＝AD，即以点P、A、D、E为顶点的四边形为菱形。……………1分

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∵AB＝BE，且∠B＝60° ∴△ABE为正三角形。 ∴AE＝AD＝4。

即当x=8时，即以点P、A、D、E为顶点的四边形为菱形。………………………1分

ADB

PFEGC

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