大学物理授课教案 - 第三章 - 动量守恒和能量守恒定律

第三章 动量守恒和能量守恒定律

第三章 动量守恒和能量守恒定律

§1-1质点和质点系的动量定理

一、质点的动量定理 1、动量

质点的质量m与其速度v?的乘积称为质点的动量，记为P?。

P??mv? 说明：⑴P?是矢量，方向与v?相同

⑵P?是瞬时量⑶P? 是相对量

⑷坐标和动量是描述物体状态的参量

2、冲量

牛顿第二定律原始形式

F??ddt(mv?)

由此有F?dt?d(mv?)

积分： ?t2??p2???tFdt???dP?p2?p1 1p定义：?t2tF?dt称为在t?111?t2时间内力F对质点的冲量。

记为 I???t2?tFdt 说明：⑴I?1⑵I?是矢量

⑶I?是过程量 是力对时间的积累效应 ⑷I?的分量式 ?I?t2?xFdt??t1x?I?y??t2tFydt 1??It2z??tF1zdt 1

3-1）3-2）（3-3）（

（

第三章 动量守恒和能量守恒定律

?F(t?t)?t2Fdt?t1x?x21t2?∵ ?Fy(t2?t1)??tFydt （3-4）

1?t2?Fz(t2?t1)??Fzdtt1??Ix?Fx(t2?t1)?∴分量式（3—4）可写成 ?Iy?Fy(t2?t1) （3-5）

?I?F(t?t)z21?zFx 、Fy、Fz是在t1?t2时间内Fx、Fy、Fz平均值。

3、质点的动量定理

???由上知 I?p2?p1 （3-6）

结论：质点所受合力的冲量=质点动量的增量，称此为质点的动量定理。

???说明：⑴I与p2?p1同方向

?Ix?p2x?p1x?⑵分量式?Iy?p2y?p1y （3-7）

?I?p?p2z1z?z⑶过程量可用状态量表示，使问题得到简化 ⑷成立条件：惯性系

⑸动量原理对碰撞问题很有用

二、质点系的动量定理

概念：系统：指一组质点

内力：系统内质点间作用力

外力：系统外物体对系统内质点作用力

?设系统含n个质点，第i个质点的质量和速度分别为mi、vi，对于第i个质点受合内??力为Fi内，受合外力为Fi外，由牛顿第二定律有

???d(mivi) Fi外?Fi内?dt对上式求和，有

?n?n?nd(mivi)dn?F?F??(mv????ii) i外i内dtdti?1i?1i?1i?1?因为内力是一对一对的作用力与反作用力组成，故F合内力?0，

?d?有 F合外力?P （3-8）

dt结论：系统受的合外力等于系统动量的变化，这就是质点系的动量定理。 式（3-8）可表示如下

2

第三章 动量守恒和能量守恒定律

??p2???Fdt?dP?p?p?21 （3-9） ?t1合外力?p1???即 I合外力冲量?p2?p1 （3-10）

t2结论：系统受合外力冲量等于系统动量的增量，这也是质点系动量定理的又一表述。

例3-1：质量为m的铁锤竖直落下，打在木桩上并停下。设打击时间?t，打击前铁锤速

率为v，则在打击木桩的时间内，铁锤受平均和外力的大小为？

解：设竖直向下为正，由动量定理知：

F?t?0?mv

mv ?F??t强调：动量定理中说的是合外力冲量=动量增量

例3-2：一物体受合力为F?2t（SI），做直线运动，试问在第二个5秒内和第一个5

秒内物体受冲量之比及动量增量之比各为多少？

解：设物体沿+x方向运动，

??55I1沿i方向） S（I1??Fdt??2tdt?25N·00??1010S（I2沿i方向） I2??Fdt??2tdt?75N·

55?I2/I1?3

∵?∴

?I2?(?p)2

I?(?p)1?1(?p)2?3 (?p)1例3-3：如图3-1，一弹性球，质量为m?0.020kg，

速率v?5m/s，与墙壁碰撞后跳回。设跳回 时速率不变，碰撞前后的速度方向和墙的法 线夹角都为??60 °，

?⑴求碰撞过程中小球受到的冲量I??

oA?1????2（平移）????2??1Bx??解：⑴I??

⑵设碰撞时间为?t?0.05s，求碰撞过程中

?小球 受到的平均冲力F??

?2y????如图3-1所取坐标，动量定理为I?mv2?mv1

图 3-1〈方法一〉用分量方程解

?Ix?mv2x?mv1x?mvcos??(?mvcos?)?2mvcos? ?I?mv?mv?mvsin??mvsin??0y2y1y? 3

第三章 动量守恒和能量守恒定律

??????I?Ixi?2mvcos?i?2?0.020?5?cos60?i?0.10iN·S

〈方法二〉用矢量图解

?????I?mv2?mv1?m(v2?v1)

??(v2?v1)如上图3-1所示。

∵?OBA???60?,∴?A?60?

故?OAB为等边三角形。

??????v2?v1?v?5m/s,(v2?v1)沿i方向

???∴I?mv2?v1?0.020?5?0.10N·S，沿i方向。 ??⑵I?F?t

?????F?I/?t?0.10i/0.05?2iN

???t2??注意：此题按I??Fdt求I困难（或求不出来）时，用公式I??p求方便。

t1§3-2动量守恒定律

由式（3-8）知，当系统受合外力为零时

?dp?0 (3-11) dt即系统动量不随时间变化,称此为动量守恒定律。

?说明：⑴动量守恒条件：F合外力?0，惯性系。

⑵动量守恒是指系统的总动量守恒，而不是指个别物体的动量守恒。 ⑶内力能改变系统动能而不能改变系统动量。 ??⑷F合外力?0时，若F合外力在某一方向上的分量为零，则在该方向上系统的动量分量守恒。

??⑸动量守恒是指p?常矢量（不随时间变化），∴此时要求F合外力?0。 ⑹动量守恒是自然界的普遍规律之一。

例3-4：如图3-2，质量为m的水银球，竖直地落到

光滑的水平桌面上，分成质量相等的三等份，

??沿桌面运动。其中两等份的速度分别为v1、v2，

?mv33大小都为0.30m/s。相互垂直地分开，试求第 三等份的速度。

解：〈方法一〉用分量式法解

研究对象：小球

受力情况：m只受向下的重力和向上的桌面施加的正压力，即在水平 方向不受力，故水平方向动量守恒。

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y?m1v1?o?x?m2v2图 3-2第三章 动量守恒和能量守恒定律

在水平面上如图3-2取坐标，有

x分量：m1v1cos??m2v2cos(90???)?m3v3?0

y分量：m1v1sin??m2v2sin(90???)?0

?m1?m2?m3 ?v?v?0.30m/s2?1?v?2v?2?0.30?0.42m/s∴?3? ??????45???135(即与v1成135）?v1????ov3??(v1?v2)〈方法二〉用矢量法解

???∵ m1v1?m2v2?m3v3?0

及 m1?m2?m3

???∴ v1?v2?v3?0

???即 v3??(v1?v2)

??(v1?v2)?v2??图 3-3即有图3-3。可得

???2v3?v3??(v1?v2)?v12?v2?2v?0.42m/s 得 ??45????135?

强调：要理解动量守恒条件

例3-5：如图3-4，在光滑的水平面上，有一质量为M长为l的小车，车上一端有一质

量为m的人，起初m 、M均静止，若人从车一端走到另一端时，则人和车相对地面走过的距离为多少？

解：研究对象：m、M为系统

∵此系统在水平方向受合外力为零， ∴在此方向动量守恒。

??〈方法一〉 mvm?MvM?0（对地）

???(vm?vmM?vM) ???m(vmM?vM)?MvM?0 ??即 mvmM?(m?M)vM?0 如图所取坐标，标量式为

mvmM?(m?M)vM?0

即 mvmM?(m?M)vM

积分（t?0，m在A处，t?t0，m在B处）

M ?vmMl BASMSmx图 3-4m?vmMdt?(m?M)?vMdt

00t0t0即 ml?(m?M)SM

ml得 SM?

m?MM由图3-4知：Sm?l?SM?l

m?M

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第三章 动量守恒和能量守恒定律

??<方法二〉 mvm?MvM?0

标量式：mvm?MvM?0

即 mvm?MvM 积分： m?vmdt?M?vMdt

00t0t0?mSm?MSM ①

可知： Sm?SM?l ② 由①、②得：

M?S??mm?Ml ?m?SM?lm?M?

例3-6：质量为m'的人手里拿着一个质量为m的物体，此人用以与水平方向成?角的速

率v向前跳去。当他达到最高点时，他将物体以相对于人为u的水平速率向后抛出，问：由于人抛出物体，他跳跃的距离增加了多少？（假设人可视为质点）

解：如图3-5，设P为抛出物体后人达到的最高点，

x1、x2分别为抛球前后跳跃的距离。

y研究对象：人、物体组成的系统， ∵ 该系统在水平方向上合外力=0，

P?设在P点，人抛球前、后相对地的速度分别为v、 ??v1，在P点抛球后球相对地速度为v2，有

??????(m'?m)v?m'v1?mv2?m'v1?m(v1?u) ?标量式： (m'?m)v?m'v1?m(v1?u) x1o即 (m'?m)v0cos??(m'?m)v1?mu x2m得： v1?v0cos??u

图 3-5m'?mvsin?muv0sin?m?x?x2?x1?(v1?v0cos?)t?u?0?

m'?mg(m'?m)g??????????强调：v2?v1?u，v2?v?u。因为u是与v1同时产生的，而人速度为v时，u还

没产生

∴ 在水平方向上系统的动量分量守恒。

?vx 6

第三章 动量守恒和能量守恒定律

§3-3碰撞

一、碰撞

碰撞

直接碰撞非直接碰撞

特点：⑴碰撞时物体间相互作用内力很大，其它力相对比较可忽略。

即碰撞系统合外力=0。故动量守恒。

?完全弹性碰撞：E守恒⑵机械能E??完全非弹性碰撞???非完全弹性碰撞?：?E不守恒

二、完全弹性碰撞 1、对心情况（一维）

如图3-6，以m?1与m2为系统，碰撞中p?常矢

m1v10?m2v20?m1v1?m2v2 12m21212121v10?2m2v20?2mv1?2mv2 ????10?20m1m2?1??2xm1m2m1m2碰前碰时碰后图 3-6（v?0，沿+x方向；反之，沿-x方向）

?v?(m1?m2)v10?2m2v20解得?： ?1?m?(mm1?m2 2?1)v20?2m1v10??v2?m1?m2讨论：⑴m?m?v1?v2012???vv（交换速度）

2?10⑵v?m2??m1,v1??v10,v2?020?0??m2??m1,v

1?v10,v2?2v10

2、非对心情况

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3-12）3-14）3-15） （ （

（

第三章 动量守恒和能量守恒定律

设m1?m2，且v20?0，可知，m1、m2系统动量及动能均守恒，即 ????v1?m1v10?m1v1?m2v2??1mv2?1mv2?1mv2 （3-16）

m11101122?222??m1???v10?v10?v1?v2m2 ??2 （3-17） 22?v20?0?v10?v1?v2????m2可知，v1、v2、v10是以v10为斜边的直角三角形，如图3-7。 ?v2§3-4动能定理

图 3-7一、功

定义：力对质点所做的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。 1、恒力的功

恒力：力的大小和方向均不变。 即

??如图3-8，功为 W?Fcos?S?F?S (3-18)

??W?F?S (3-19)

说明：⑴W为标量

??0???,W?0,力对物体做正功?2?????????,W?0,力对物体做负功 ?2????,W?0,力对物体不做功?2?⑵功是过程量 ⑶功是相对量

⑷功是力对空间的积累效应

?F（恒力）m??S（位移）图 3-8⑸作用力与反作用力的功其代数和不一定为零。

2、变力的功

????i设质点做曲线运动，如图3-9。F为变力，在第个位移元?Si中，Fi看作恒力，Fi?b?Si对物体做功为

???i?Wi?Ficos??Si?Fi??Si

???F2质点从a?b过程中，F对质点做的功为 ?S2???W???Wi??Fi??Si Fi?iiF1??S1a功的精确数值为

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图 3-9第三章 动量守恒和能量守恒定律

???b?b??W?lim?Fi??Si??F?dS??F?dr??S???Si?max?

?S?0iaa即： W??

ba??F?dS （3-20）

讨论：⑴恒力功

W??ba???b???F?dS?F??dS?F?S

aF(x)⑵直线运动 ??设F(x)?F(x)i，如图3-10，质点在a?b中， 功为

?b?b??W??F?dx??Fi?dxiaa??Fdx?曲线下面积代数和ab

oacbx⑶合力功

???设质点受n个力，F1，F2，…，Fn，合力功为

??b?b???W??F?dr??(F1?F2?????Fn)?dr

aab?b??b?????F1?dr??F2?dr??????Fn?dr?W1?W2?????Wn

aaa图 3-10?各分力功代数和

二、功率

定义：力在t?t??t内对物体做功为?W，下式

?W P??t称为在t?t??t时间间隔内的平均功率。下式

???WdWF?dr??P?limP?lim???F?V

?t??t?0?tdtdt称为瞬时功率，即

?? P?F?V （3-21）

三、质点的动能定理 1、动能

定义： Ek?12mv （3-20） 2式（3-20）中，m、v分别为物体质量和速率。称Ek为质点的动能。

说明：⑴Ek为标量；

⑵Ek为瞬时量；

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第三章 动量守恒和能量守恒定律

⑶Ek为相对量。

2、质点的动能定理

???设m做曲线运动，如图3-11，合力为F，在a、b二点速度分别为v1、v2。在c点??力为F，位移为ds，由牛顿定律有：

切线Ft?mat（切线上）

?即 bFtdv?Fcos??m

dsdtc?dv?Fcos?ds?mds ?dtF??ds?即 F?ds?vmdv(?v) ?v1dtan做如下积分： ab?v21212?F?ds?mvdv?mv2?mv1 ?a?v122图 3-11可写成：

1212W?mv2?mv1 （3-21）

22结论：合力对质点作的功等于质点动能的增量,称此为质点的动能定理。

??0??Ek?0?说明：⑴W??0??Ek?0

??0??E?0k?⑵W为过程量，Ek为状态量，过程量用状态量之差来表示，简化了计算过程。

⑶动能定理成立的条件是惯性系。

⑷功是能量变化的量度。

??球例3-7：如图3-12，篮球的位移为S，S与水平线成45?角， S?4m，球质量为m，求重力的功。

?S45?水平解：⑴研究对象：球

⑵重力为恒力

??W?F?S?FScos??FScos135?⑶

??mg?4cos135??22mg??强调：恒力功公式W?F?S的使用.

例3-8：如图3-13，远离地面高H处的物体质量为m，由静

止开始向地心方向落到地面，试求：地球引力对m 做的功。

?GmM?解：c点：F??2i

x?mg图 3-12xaHcbxRo 10

图 3-13

第三章 动量守恒和能量守恒定律

?b?bGmM??W??F?dx??(?2i)?dxi

aax11?GmM(?)

RH?R

??例3-9：力F?6ti(SI)作用在m?3kg的质点上。物体沿x轴运动，t?0时，v0?0。求

?前二秒内F对m作的功。

解：⑴研究对象：m

?⑵直线问题，F沿+x轴方向

b??〈方法一〉按W??F?dx作

a??bb在此有：W??6ti?dxi??6tdx

aa∵ F?ma?m∴ mdv?6td tvdv?6t dtt做如下积分： 3?dv??6td t0有 v?t

dx∵ ?v?t2即dx?t2dt

dt223∴ W??6t?t2dt?t4?24J

020〈方法二〉用动能定理作

11122W?mv2?mv?m(v2212?v1)

2221??3(24?0)?24J 2

例3-10：质量为10kg的物体作直线运动，受力与坐标关系如图3-14所示。若x?0时，

v?1m/s，试求x?16m时，v??

02解：在x?0到x?16m过程中，外力功为

W?力曲线与x轴所围面积代数和?40J

F(N)100-10图 3-14124816x(m)由动能定理为：

112W?mv2?mv21

22112即 40??10v2??10?1

22?v2?3m/s

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第三章 动量守恒和能量守恒定律

§3-5 保守力与非保守力 势能

一、万有引力、重力、弹性力的功及其特点 1、万有引力功及特点

?rbb?如图3-15，设质量为m物体在质量为M的引力场中运动， drm?（M不动），m从a?b中，引力功=？ cr?b??W??F?dr Fa?Mra?GmM?a在任一点c处， F??3r（变力）

rbGmM??图 3-15?W???3r?dr （3-22）

ar??????∵ r2?r?r∴2rdr?r?dr?dr?r

??????又 ∵ r?dr?dr?r∴r?dr?rdr

b?11?mM?W???G3rdr?GmM??? （3-23）

arrra??b特点：万有引力只与物体始末二位置有关，而与物体所经路程无关。 2、重力功及特点

?如图3-16，质点m经acb路径由a?b，位移为S，在地面附近重力可视为恒力，

故功为

yc

bxyayboam?mg??S

图 3-16??W?p?s?mgscos??mg(ya?yb) （3-24）

特点：重力功只与物体始末二位置有关，而与其运动路径无关。 3、弹性力功及特点

如图3-17，(k?m)称为弹簧振子，m处于x处时，它受弹性力为

?????x?0,F沿x轴负向F?Fi??kxi??

?x?0,F沿x轴正向mk

12 ox1图 3-17xx2第三章 动量守恒和能量守恒定律

m从坐标x1~x2过程中，弹性力做功为

????x2?x2?W??F?dx???kxi?dxi(dx?dxi)

x1x1x21212??k?xdx??(kx2?kx1) （3-25）

x122特点：弹性力功仅与物体始末位置有关而与过程无关。

如：物体可以从x1处向左移，然后向右平移至x2处，也可以从x1处直接移到

x2处。但是，无论怎样从x1处移到x2处，弹性力做的功都是上述结果。

二、保守力和非保守力 1、保守力与非保守力

?如果力F对物体做的功只与物体始末二位置有关而与物体所经路径无关，则该力称为保守力，否则称为非保守力。数学表达依次为：

??F??dl?0 （3-26）

l

及

???F?dl?0 （3-27）

l由上可知，重力、弹性力、万有引力均为保守力，而摩擦力、汽车的牵引力等都是非保守力。 三、势能

对任何保守力，则它的功都可以用相应的势能增量的负值来表示，即：

W??(Epb?Epa) （3-28）

结论：保守力功=相应势能增量的负值 。

????[*从理论上讲，∵?F?dl?0∴??F?0即F是无旋的，

???∵??F?0∴F与?Ep有对应关系，Ep可定义为与F相应的势能。也就是说，保

l守力场中才能引进势能的概念。可见，引进势能概念是有条件的。注意：势能是相对的，属于系统的。]

mM （3-29） 万有引力势能：Ep??G(势能零点取在无限远处）r重力势能：Ep?mgh(势能零点取在某一水平面上） （3-30）

弹性势能：Ep?12 （3-31） kx(势能零点取在弹簧原长处）2说明： （1）保守力场中才能引进势能概念

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第三章 动量守恒和能量守恒定律

（2）势能是属于系统的 （3）势能是相对的

§3-6 功能原理 机械能守恒定律

一、质点系的动能定理

??系统中有n个物体，第i个物体受合外力为Fi外，合内力为Fi内，在某一过程中，合

外力功为Wi外，合内力功为Wi内，由单个质点的动能定理，对第i个质点有：

11Wi外?Wi内?mivi22?mivi21 （3-32）

22i?1,2,???。对上式两边求和，有

nnnn1122W?W?mv?mv????ii2ii1 （3-33） i外i内i?1i?1i?12i?12W外?W内?Ek2?Ek1 （3-34）

结论：合外力功与合内力功之和等于系统动能的增量。称此为系统的动能定理。 二、功能原理

作用在质点上的力可分为保守力和非保守力，把保守力的受力与施力者都划在系统中，则保守力就为内力了，因此，内力可分为保守内力和非保守内力，内力功可分为保守内力功和非保守内力功。 由质点动能定理

W外?W内?Ek2?Ek1

有

?W外?W非保守?Ek2?Ek1?W保守内?Ek2?Ek1???Ep2?Ep1?(保守力功?势能增量负值）

W外?(W保守内?W非保守）?Ek2?Ek1

????Ek2?Ep2???Ek1?Ep1?

W外?W非保守??Ek2?Ep2???Ek1?Ep1? （3-35）

结论：合外力功+非保守内力功=系统机械能（动能+势能）的增量。称此为功能原

理。

说明：⑴功能原理中，功不含有保守内力的功，而动能定理中含有保守内力的功。

⑵功是能量变化或转化的量度 ⑶能量是系统状态的单值函数

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第三章 动量守恒和能量守恒定律

三、机械能守恒定律

由功能原理知，当W外?W非保守?0时，有 Ek2?Ep2?Ek1?Ep1 （3-36） 结论：当W外?W非保守?0时，系统机械能=常量，这为机械能守恒定律。（注意守恒条件）

例3-11：如图3-18，在计算上抛物体最大高度H时，有人列出了方程（不计空气阻力）

1212 ?mgH?mv0cos2??mv022列出方程时此人用了质点的动能定理、功能原理和机械能守恒定律中的那一个？

解：⑴动能定理为

合力功=质点动能增量 2112 ??mgH?m?v0cos???mv022⑵功能原理为

外力功+非保守内力功=系统机械能增量 （取m、地为系统）

2?1??12??0?0??m?v0cos???mgH???mv0?0?

?2??2?⑶机械能守恒定律

∵W外?W非保内?0

∴Ek2?Ep2?Ek1?Ep1

y?v0?oHEp?0图 3-18x即 ?m?v0cos???mgH?mv02?0

21212可见，此人用的是质点的动能定理。

例3-12：如图3-19，质量为m的物体，从四分之一圆槽A点静止开始下滑到B。在B处速率为v，槽半径为R。求m从A→B过程中摩擦力做的功。

B??解：〈方法一〉按功定义W??F?ds，m在任一点c处，切线方向的牛顿第二定律方程

A为

mgcos??Fr?mat?m?Fr??mAdv dtdv?mgcos? dtB?B???W??Fr?ds??Fr?dscos?

A 15

第三章 动量守恒和能量守恒定律

dv?????Frds????mgcos??m??ds

AAdt??BdvB?m?ds??mgcos?ds

AdtABBmA水平o?d?Ep?0?m?vdv??2mgcos?Rd?

00v??12cds?mv?mgR

2?〈方法二〉用质点动能定理 ???mg?m受三个力，N，Fr，mg

切线112由W合?mv2有 mv12?图 3-19221??W?W??WNmv2?0 rp21????E??mgh即 0?Wr?mgR?mv2(Wp) p21∴ Wr?mv2?mgR

2〈方法三〉用功能原理

取m、地为系统， ∵ 无非保守内力

??∴ W非保内?0，F外功为W外?Wr（N不作功，及槽对地的力也不做功）

?Fr?vB由 W外?W非保守??Ek2?Ep2???Ek1?Ep1?有

?1?Wr?0??mv2?mgR???0?0?

?2?1即Wr?mv2?mgR

2注意：此题目机械能不守恒。

例3-13：质量为m1、m2的二质点靠万有引力作用，起初相距l，均静止。它们运动到

1距离为l时，它们速率各为多少？

2解：以二质点为系统，则系统的动量及能量均守恒，即

m1v1?m2v2?0 ①

Gm1m2Gm1m2112 ② m1v12?m2v2???22l/2l由①、②解得：

?2Gv?m?12?m1?m2?l ? ?2G?v?m21??m1?m2?l?

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第三章 动量守恒和能量守恒定律

dv?????Frds????mgcos??m??ds

AAdt??BdvB?m?ds??mgcos?ds

AdtABBmA水平o?d?Ep?0?m?vdv??2mgcos?Rd?

00v??12cds?mv?mgR

2?〈方法二〉用质点动能定理 ???mg?m受三个力，N，Fr，mg

切线112由W合?mv2有 mv12?图 3-19221??W?W??WNmv2?0 rp21????E??mgh即 0?Wr?mgR?mv2(Wp) p21∴ Wr?mv2?mgR

2〈方法三〉用功能原理

取m、地为系统， ∵ 无非保守内力

??∴ W非保内?0，F外功为W外?Wr（N不作功，及槽对地的力也不做功）

?Fr?vB由 W外?W非保守??Ek2?Ep2???Ek1?Ep1?有

?1?Wr?0??mv2?mgR???0?0?

?2?1即Wr?mv2?mgR

2注意：此题目机械能不守恒。

例3-13：质量为m1、m2的二质点靠万有引力作用，起初相距l，均静止。它们运动到

1距离为l时，它们速率各为多少？

2解：以二质点为系统，则系统的动量及能量均守恒，即

m1v1?m2v2?0 ①

Gm1m2Gm1m2112 ② m1v12?m2v2???22l/2l由①、②解得：

?2Gv?m?12?m1?m2?l ? ?2G?v?m21??m1?m2?l?

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