成贤教材-高数B下9.2.2极坐标系下二重积分的计算

9.2.2极坐标系下二重积分的计算

有些二重积分，区域D的边界曲线用极坐标方程表示比较方便，且被积函数用极坐标变量?, ?表达比较简单。这时，就可以在极坐标系下计算二重积分。 （一）把二重积分

??f(x,y)d?化为极坐标形式

D设函数f(x,y)在闭区域D上连续。区域D的边界曲线为???1(?)和???2(?)，?????，其中?1(?)，?2(?)在[?,?]上连续。

假设从极点 O出发且穿过闭区域D内部的射线与D的边界曲线相交不多于两点。 用以极点为中心的一族同心圆：??常数，以及

???i???i???i???i??i从极点出发的一族射线：??常数，把D分成n个 小闭区域，除了包含边界点的一些小闭区域外，小 闭区域的面积?? 可计算如下：

???i? ?i??i???iD x o 11212 ??i?(?i???i)???i??i???i?(2?i???i)??i???i

2221 ?[ ?i?(?i???i)]???i???i??i???i???i

2D 其中?i表示相邻两圆弧的半径的平均值。在这小区域内取圆周???i上一点(?i,?i)，该点的直角坐标设为?i, ?i，则由直角坐标与极坐标的关系有?i??icos?i，?i??isin?i， 故limd?0i?1?f(?i, ?i)??i?lim?f(?icos?i, ?isin?i)?i???i???i d?0i?1Dnn???2(?) D 即

??f(x,y)d????f(?cos?,?sin?)?d?d?。①

D? o ???2(?) D ? （二）把二重积分的极坐标形式化为二次积分 一般地，先对? 积分后对? 积分。 1．极点在积分区域D的外部

x ? ??x 设积分区域为D：?，其中函数?1(?)，?2(?)在[?,?]上连续。

???1(?)????2(?)?????? ??f(?cos?,?sin?)?d?d???d??D ?

??2(?) ?1(?)f(?cos?, ?sin?)?d? ②

1

若积分区域为

D

：

? ??(?)??????f(?cos?,?sin?)?d?d??d?f(?cos?, ?sin?)?d? ????? ? 0??0????(?)D???(?) 2．极点在积分域D的内部

D ?0???2?D 设积分区域为：?，则有

0????(?)?o x ??f(?cos?,?sin?)?d?d???D 2? 0d???(?) 0f(?cos?, ?sin?)?d?

???2(?) D 在极坐标系中，闭区域D的面积?可以表示为 ????d?????d?d?

DD? o ? ???1(?) x 图 1

若闭区域D如图1，则?? 若闭区域D如图2，则 ?????d?d???d??D???2(?)?1(?)?d??1?22[?(?)??(?)]d?。 21??2???d?d????d??0D??(?)1?2?d???(?)d?

?2D ? ?例1．计算下列二重积分 （1）

o ? x

图 2

??DR2?x2?y2d?，D为圆x2?y2?Rx所围成的区域。

解：把区域D的边界曲线的直角坐标方程x2?y2?Rx化为极坐标方程，得 ??Rcos?，于是有

??Rcos? ???????? D：?22

??0???Rcos? ∴

o x

??DR?x?yd???222??2 ?2d?? Rcos? 013 ?3R???d??R?2(1?sin?)d? ??3222 ?23?214323 ?23 ?3322 ?R?(1?sin?)d??R[?d???2sin?d?]?R[??1]?(??)R。

0 0 03233333 2

（2）

yy ?arctand?，D：1?x2?y2?4，y?0，y?x所围成的区域。???? x4D??2 ??1 ???0??? 解：D：?4，

??1???2??o x

22?233?2ysin? ??arctand???4d??arctan ???d???4?d???d?? 0 132264xcos?01D例2．将二次积分 解

? 0dx? 1?x 1 1?x2f(x,y)dy化为极坐标下的二次积分。

D：

：

???0???? 1 1?x2 1?22dxf(x,y)dy?d?f(?cos?,?sin?)?d? .????11 0? 1?x 0 ???1?sin??cos???sin??cos?例3．计算二重积分I?2222D?{(x,y)0?y?x, x?y?2x}。 ，其中x?ydxdy?????4 Dy 解：I???? 42cos?28 43??d???d??cos?d? ? 03 ?44??2cos?

??oz x ????4 ?16202(1?sin?)d(sin?)?2。 ? 039? 4例4．球体x2?y2?z2?4a2被圆 柱面x2?y2?2ax(a?0)所截得的 （含在圆柱面内的部分）立体的体积。

o y ??0????x 解：由对称性，得V?4??4a2?x2?y2dxdy其中积分区域为D：?2。 ?D?0???2acos?y ?V?4??4a?x?ydxdy?4?2d??D02222acos?04a???d?

? 22??2acos? 323323?23 ?a?2(1?sin?)d??a(?)。

03323

3

?o 2a

x例5．求三叶玫瑰线??asin3?所围成的面积。 解：S?61?d??6D??? 6????asin3?6d??d?00??6??16?2asin3?d?

002?o x

?3a2?2626(1?cos6?)d??3asin3?d??020??23a21?a?[??sin6?]6?. 0264例6．计算无穷积分I?解：因为e?x2? 0 ??e?x2dx.

的原函数不能用初等函数表示，所以无法直接计算这个广义积分，在这里利y 用二重积分进行计算。 设H???e?(xD22?y2)dxdy ，D?{(x,y)x?0,y?0}。

o 2x H???eD?(x?y)dxdy?? ?? 0e?x2dx?? ?? 0e?y2dy?I2.

?2 用极坐标计算H。 ∵D?{(?,?)0?????, 0??? }，

?? ????2???1??2???2∴H? ∴ I?，。 I?e?x2dx?d?e?d???[?e]0?，

0 0 042224? 2???二重积分的一般换元法则

定理 设函数f(x,y)在xoy平面上的闭区域D上连续，变换T：?上的闭区域D?变为xoy平面上的D，且满足 （1）x(u,v),y(u,v)在D?上具有一阶连续偏导数， （2）在D?上，J?u,v???x?x(u,v)，将uov平面

y?y(u,v)???x,y??0，

??u,v? ??f?x,y?dxdy???f[x(u,v),y(u,v)]J(u,v)dudv。

DD?（3）变换T：D??D是一对一的，则有

此公式称为二重积分的换元公式。

注：J(u,v)只在 D?内个别点上，或一条线上为零，而在其他点上不为零，那么换元公式仍成立。

4

在极坐标变换??x??cos???x,y?cos???sin?下， J??,??????，

???,??sin??cos??y??sin? 按二重积分的换元公式，便得：

??f?x,y?dxdy???f(?cos?,?sin?)?d?d?。

DD?这里D? 是 D在?o?平面上对应的区域。在上节内所证的相同公式上用的是D而不是D?，因为在那里把(?,?)看作同一平面上点(x,y)的极坐标，故积分区域仍记为D。 例7．计算

v22Dxydxdy，其中由围成。 y?x,y?2x,xy?2,xy?3??Dy32D?2???12y33??解：令?u?，则?x?uv1，

x???y??uv?3?v?xyDoox12uD的边界曲线y2?x?u?1, y2?2x?u?2, xy?2?v?2, xy?3?v?3 D?D??{ (u,v) 1?u?2, 2?v?3 } ， J?u,v????x,y?1111?????，

2??u,v???u,v?3u3y2y2y???x,y??2xxxyx311211135dudv??du?vdv?ln2?v2?ln2。

23u31u3226

??xydxdy???v??DD?例8．计算

??D1?xa22?yb22dxdy，其中D为椭圆

xa22?yb22?1所围成的区域。

?x?a?cos?解：作广义极坐标变换：?，则

y?b?sin???x2y2???D??(x,y)2?2?1??D???(?,?)0???1, 0???2??，

ab??????x,y?acos??a?sin?J??,?????ab?，

???,??bsin?b?cos?

??D1?x2a2b2?y2dxdy???1??2ab?d?d??ab?D?12d??1??2?d???ab。 0032? 5

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