第8章_群和半群

群和半群

第8章 半群和群

群和半群

8.1 半群和独异点半群和独异点的定义

子半群和子独异点半群同态和独异点同态

群和半群

8.1.1 半群和独异点的定义代数系统A=<S,*>,若*是满足结合律的二元运算，则A称为半群。 若*同时满足交换律，则称为阿贝尔半群。 存在幺元的半群称为独异点，也称(含)幺半群，单位 半群。

若*同时满足交换律，则称为阿贝尔独异点。

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例 <∑+, ·>是最典型的半群，只满足结合律

<∑*, · >是最典型的独异点，只满足结合律，有幺元 ,ε<N,+,0>是独异点，可交换独异点 <SS, ,1S>是独异点，不满足交换律，部分元素有逆元

群和半群

b) 设S={a,b},*定义如右表： 即a,b都是右零元 ∵ x,y,z S ① x*y S ∴运算封闭 ② x*(y*z)=x*z=z

*

a

b

a b

a a

b b

(x*y)*z=z∴结合律成立 ∴〈S,*〉是一半群，该半群称为二元素右零半群

群和半群

半群的性质:1.独异点运算表中任何两行或两列均不相同 证明：设独异点<S,*>的幺元为e, a,b S,若a b ∵a*e b*e, <S,*>运算表中a,b两行不同， 由a,b任意性，运算表中任两行不同 ∵ e*a e*b, <S,*>运算表中a,b两列不同， 由a,b任意性，运算表中任两列不同.

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2.有限半群一定含有幂等元证明：设〈S,*〉是半群,S是有限集，需证 a S,有a*a=a b S,因为运算封闭， b2=b*b S, b3,b4… S

S有限 i,j∈N+,j>i 有bi=bj bi =bj =bj- i*bi 令p=j-i bi =bj =bp*bi(1)

当q≥i ,bq=bp·q b

又∵p≥1 ∴ k ∈N+ 有kp≥i由(1) bkp=bp*bkp=bp*(bp*bkp)

k个

= bp*(bp*(bp*bkp))=...= bp*…bp* bkp =bkp*bkp ∴令a=bkp S 则a*a=a ∴ a是幂等元.

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8.1.2 子半群和子独异点设<S,*>为半群，T为S的非空子集。若T关于*封闭， 则称<T,*>是<S,*>的子半群，记为T≤S。设<S,*,e>为独异点，T为S的非空子集。若T关于* 封闭，且e∈T,则称<T,*,e>是<S,*,e>的子独异点，记 为T≤S。

例

半群<I, · >有子半群<Ev, · >,<Od, · > 独异点<I, · ,1>有子独异点<Od, · ,1>

群和半群

独异点<∑*, · >,设A ∑,则<A*, · > 是 ,ε ,ε <∑*, · >的子独异点； ,ε 独异点<∑*, · >,设T={s| ||s||>10},<T, ·>是 ,ε <∑*, · >的子半群，但不是子独异点； ,ε 独异点<N,+,0>,设nN={nm|m N}, <nN,+,0>是 <N,+,0>的子独异点； 独异点<SS, ,1S>,其中S上的单射集合，满射集合和 双射集合都是<SS, ,1S>的子独异点。

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定理

设<S,*,e>为可交换独异点，T为S中所有幂等元的 集合，则<T,*,e>是<S,*,e>的子独异点。

证： (1)T对于*的封闭性 a,b∈T,a*a=a,b*b=b,又由于*是可交换、可结合的，所 以 (a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b=a*a*b*b=a*b ∴ (a*b)也是幂等元，a*b∈T. (2)e∈T. ∵ e*e∈T, ∴e∈T. 所以<T,*,e>是<S,*,e>的子独异点。

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8.1.3 半群同态和独异点同态定义

设<S1,*>和<S2, >是半群，函数h:S1→S2.若 a,b∈S1,有h(a*b)=h(a) h(b),则称h为从<S1,*>到<S2, >的半群同态。 设<M1,*,e1>和<M2, ,e2 >是独异点，函数h:M1→M2. 若 a,b∈M1,有h(a*b)=h(a) h(b),且h(e1)=e2,则称h为从 <M1,*,e1>到<M2, ,e2 >的独异点同态。

例8.1.4

群和半群

设∑={a,b},<∑*, · >上的函数h:∑*→∑*定义如下： ,ε i)h(ε )=ε ; ii)h(a· s)=ab· h(s), h(b· s)=ba· h(s) 则h是<∑*, · >上的自同态。 ,ε

证：对s用归纳法证明 s,t∈∑*:h(s· t)=h(s)· h(t) i)s=ε 时,h(ε · t)=h(t)= ε · h(t)=h(ε ) · h(t), ii)假设s=x时成立，即h(x· t)=h(x)· h(t) 则当s’=a· x时，h(s’·t)=h(a· t)=ab· t) x· h(x· = ab· h(x)· h(t)=h(a· h(t)=h(s’)· x)· h(t) 当s’=b· x时同理可证。 ∴ s,t∈∑*:h(s· t)=h(s)· h(t) 又h(ε )=ε , 所以h是∑*上的自同态。

群和半群

定理 半群<S,*>与<SS, >同态 证：定义h:S→SS为： a∈S,h(a)=fa, 其中fa:S→S, x∈S,fa(x)=a*x, 则h是同态映射，因为： a,b∈S, c∈S h(a*b)(c)=fa*b(c)=(a*b)*c=a*b*c (h(a) h(b))(c)=(fa fb)(c)=fa(fb(c))=a*(b*c)=a*b*c 所以h(a*b)(c)=(h(a) h(b))(c), 即h(a*b) =h(a) h(b). 所以h是同态映射， 半群<S,*>与<SS, >同态。 例8.1.5

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定理 (独异点表示定理)任意独异点都同构于某一变换独异点 设S为集合， <SS, , 1S >的子独异点称为变换独异点。 任意独异点都同构于某一变换独异点。 证：设<S,*,e>是任一独异点。 (1)作h:S→SS,a fa,则由定理8.1.2知，h是半群同态。 又因为h(e)=fe=1S,所以h是从<S,*,e>到<SS, ,1S>的独异 点同态。

群和半群

(2)(同构) i)h是单射. a,b∈S,若h(a)=h(b),即fa=fb, 则fa(e)=fb(e),a*e=b*e,即a=b. ii) h不一定是满射，其值域h(S) SS 但，由定理7.2.3,<h(S), >是<SS, >的子代数。 (h(S)对合成运算 封闭) 又∵ 1S=h(e)∈h(S), ∴<h(S), , 1S >是<SS, ,1S>的 子独异点。 h:S→ SS ,限制在h(S)上为满射。 所以， <S,*,e>同构于 <h(S), ,1S>。

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8.2 群的定义及性质群的定义 群的判定

群的性质元素的阶

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8.2.1 群的定义代数系统〈G,*〉,其中二元运算*满足下列性质： 1) 结合律，即 a,b,c G,a*(b*c )= (a*b)*c 2) 存在幺元e,即 a G,e*a=a*e=a 3) G中每个元素存在逆元 即 a G, a-1 G,使a*a-1=a-1*a=e

则〈G,*〉称为群。

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有限群 若G是有限集，称〈G,*〉为有限群，|G|称为群的阶； 若G是无限集，称〈G,*〉为无限群。

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阿贝尔群 若*满足交换律，称〈G,*〉为阿贝尔群，或可交 换群或加法群。 此时，‘*’符号可用‘+’代替； a-1可写为-a; a的n次幂an可写为na; 幺元e可写为0

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