简单的三角恒等变换 Microsoft Word 文档

1 3.2简单的三角恒等变换（一）

一．教学目标

1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。

2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。

3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．

二、教学重难点

认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．

三、教学过程：

（一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式

βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαs i n c o s c o s s i n )s i n (+=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s (-=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(?+-=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=+ ()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα

=+=+=22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；

22222cos2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-；

()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+=

=--． （二）新课讲解：

1、由二倍角公式引导学生思考：2αα与

有什么样的关系？ 例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222α

α

α

．

2 解：我们可以通过二倍角2cos 2cos

12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin

2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22α

α+=

． 又因为222

sin 1cos 2tan 21cos cos 2α

α

ααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？

代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．

例2．已知135sin =

α，且α在第三象限，求2tan α的值。 例3、求证：

（１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-???

?； （２）、sin sin 2sin cos 22θ?

θ?

θ?+-+=．

证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．

()sin sin cos cos sin αβαβαβ

+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．

两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-???

?； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβ?+=-=， 那么,22θ?

θ?

αβ+-==．

把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin cos 22θ?

θ?

θ?+-+=．

3 例3证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式。

3.2简单的三角恒等变换（二）

一、教学目标

1、通过三角恒等变形，形如x b x a cos sin +的函数转化为)sin(?+=x A y 的函数；

2、灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题。

二、教学重点与难点

重点：三角恒等变形的应用。

难点：三角恒等变形。

三、教学过程

（一）复习：二倍角公式。

（二）例题讲解

例1：.54sin ,20=<<απ

α已知 的值求αααα2cos cos 2sin sin )1(22++；的值求)45tan()2(πα-． 解：（1）由,54sin ,20=<<απ

α得,5

3cos =α .201

cos 3cos sin 2sin 2cos cos 2sin sin 2222=-+=++∴αααααααα （2）.7

1tan 11tan )45tan(,34cos sin tan =+-=-==ααπαααα 例2．.10tan 3150sin ）（利用三角公式化简?+? 解：）（原式?

?+?=10cos 10sin 3150sin ??+???=10cos )10sin 2310cos 21(250sin ?

??+???

?=10cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2 ????=10cos 40sin 40cos 2 110cos 10cos 10cos 80sin =??=??=. 例３．已知函数x x x x x f 4

4sin cos sin 2cos )(--=

（1） 求)(x f 的最小正周期；

4 （2） （2）当]2,

0[π∈x 时，求)(x f 的最小值及取得最小值时x 的集合． 例4．若函数]2

0[cos 22sin 3)(2π

，m x x x f 在区间++=上的最大值为6，求常数m 的值及此函数当R x ∈时的最小值及取得最小值时x 的集合。

注意： 常见的三角变形技巧有

①切割化弦；

②“1”的变用；

③统一角度，统一函数，统一形式等等．

3.2简单的三角恒等变换（三）

一、教学目标

1.熟练掌握三角公式及其变形公式．

2.抓住角、函数式得特点，灵活运用三角公式解决一些实际问题．

二、教学重难点

（1）和、差、倍角公式的灵活应用．

（2）如何灵活应用和、差、倍角公式的进行三角式化简、求值、证明．

三、教学过程

例1. 如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π

的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇

形的内接矩形.记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积.

例2：把一段半径为R 的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法能使横截面的面积最大？（分别设边与角为自变量）

解：（1）如图，设矩形长为l ，则面积224l R l S +=，

所以,4)()4(22222222l R l l R l S +-=-=当且仅当,22422

2

R R l ==

5 即R l 2=时，2S 取得最大值44R ，此时S 取得最大值22R ，矩形的宽为

R R

R 2222

=即长、宽相等，矩形为圆内接正方形. （2）设角为自变量，设对角线与一条边的夹角为θ，矩形长与宽分别为

θsin 2R 、θcos 2R ，所以面积θθθ2sin 2sin 2cos 22R R R S =?=.

而12sin ≤θ，所以22R S ≤，当且仅当12sin =θ时，S 取最大值22R ，所以当且仅当

?=902θ即?=45θ时， S 取最大值，此时矩形为内接正方形.

变式：已知半径为1的半圆，PQRS 是半圆的内接矩形如图，问P 点在什么位置时，矩形的

面积最大，并求最大面积时的值．

解：设,α=∠SOP 则,cos ,sin αα==OS SP

故S 四边形PQRS ααα2sin cos 2sin =?=

故α为?45时，1max =S

O

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