数学文卷&183;2014届江西省安福中学高二下学期期中考试

2014届江西省安福中学高二下学期期中考试

数学（文）

（测试时间：120分钟 卷面总分：150分）

一、选择题（每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）

1．已知命题p,q，若命题“ p”与命题“p q”都是真命题，则（ ）

A．p为真命题，q为假命题 B．p为假命题，q为真命题

C．p，q均为真命题 D．p，q均为假命题

22. 设z 1 i（i是虚数单位），则 z2 （ ）z

A．1 i B． 1 i C．1 i D． 1 i

3. 下列函数中，与函数y

＝定义域相同的函数为（ ）

lnx1sinxA．y＝ B．y＝ C．y＝xex D．y＝ xsinxx

1,x 0 1,x为有理数， 4. 设f(x)＝ 0,x 0 ， g(x)＝ 则f(g( ))的值为（ ） 0,x为无理数， 1,x 0

A．1 B．0 C．－1 D．

5．集合M＝{x|lgx>0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝( )

A．(1,2) B．[1,2) C．(1,2] D．[1,2]

6．已知P: x2 x 0,那么P的一个必要不充分条件是（ ）

121A. 0 x 1 B. 1 x 1 C. x D. x 2 232

57．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f(－2)＝( )

1111A．－2 B．－4 C. 4 D. 2

8．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )

A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)

9. 设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20min，

在乙地休息10min后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30min，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为（ ）

10．正方体 ABCD A1B1C1D1中，且M M为侧面ABB1A1所在平面上的一个动点，

到平面ADD1A1的距离是M到直线BC距离相等，则动点M的轨迹为( )

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆

二、填空题（本题5小题，每小题5分，共25分）

11．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是____________．

12．若曲线y x4的一条切线l与直线x 4y 8 0垂直，则l的方程为。

13．若直线x y 2与抛物线y2 4x交于A、B两点，则线段AB的中点坐标是

114．定义在R上的偶函数f(x)在[0，+∞）上是增函数，且f() 0 ，则不等式3

xf(log1) 0 的解集是

8

15．有下列4个命题：

①函数y f(x)在一点的导数值为0是函数y f(x)在这点取极值的充要条件；

②若椭圆x2 my2

1，则它的长半轴长为1； ③对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x 1)f'(x) 0，则必有

f(0) f(2) 2f(1)

x2y2

④经过点（1,1）的直线，必与椭圆 1有2个不同的交点。 42

其中真命题的为 （将你认为是真命题的序号都填上）

三、解答题（本题5小题，共75分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。）

x2y2

16．（12分）双曲线的离心率等于2，且与椭圆 1有相同的焦点，求此259

双曲线方程．

17．(12分)已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|x2－3x≤10}．

(1)若a＝3，求(CRP)∩Q；

(2)若P Q，求实数a的取值范围．

18．(12分) 已知命题P：存在x R，(m 1)(x2 1) 0， 命题Q：任意

x R，x2 mx 1 0 恒成立。若P且Q为假命题，求实数m的取值范围？

20. (13分)已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且f(x)最小值是－1，函数g(x)

与f(x)的图像关于原点对称．

（1）求f(x)和g(x)的解析式；

（2）若h(x)＝f(x)－λg(x)在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

21．（14分）已知函数f(x)＝x－ln(x＋a)的最小值为0，其中a>0.

（1）求a的值；

（2）若对任意的x∈[0，＋∞)，有f(x)≤kx2成立，求实数k的最小值．

高二年级期中考试数学答案（文）

三、解答题（本题5小题，共75分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。）

)双曲线的离心率等于2，且与椭圆x2

16. (12分y2

25 9 1有相同的焦点，求此双曲线方程．

∵ 椭圆x2

25 y2

解：9 1的焦点坐标为（－4，0）和（4，0）， x2y2

则可设双曲线方程为a2 b2 1（a＞0，b＞0），

∵ c＝4，又双曲线的离心率等于2，即c

a 2，∴ a＝2．

∴ b2 c2 a2＝12．故所求双曲线方程为x2y2

4 12 1．

17．(12分)已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|x2－3x≤10}．

(1)若a＝3，求( RP)∩Q；

(2)若P Q，求实数a的取值范围．

[解析] (1)因为a＝3，所以P＝{x|4≤x≤7}，

RP＝{x|x<4或x>7}．

又Q＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}，

所以( RP)∩Q＝{x|x<4或x>7}∩{x|－2≤x≤5}

＝{x|－2≤x<4}．

(2)若P≠ ，由P Q，

得 a＋1≥－2， 2a＋1≤5，解得0≤a≤2；

2a＋1≥a＋1.

当P＝ ，即2a＋1<a＋1时，a<0，此时有P＝ Q，所以a<0为所求．

综上，实数a的取值范围是(－∞，2]．

18．(12分)已知命题P：存在x R,(m 1)(x2 1) 0， 命题Q：任意x R,x2 mx 1 0 恒成立。若P且Q为假命题，求实数m的取值范围？

19. (12分)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x＋x2.

(1)求x>0时，f(x)的解析式；

(2)若关于x的方程f(x)＝2a2＋a有三个不同的解，求a的取值范围．

[解析] (1)任取x>0，则－x<0，

∴f(－x)＝－2x＋(－x)2＝x2－2x.

∵f(x)是奇函数，

∴f(x)＝－f(－x)＝2x－x2.

故x>0时，f(x)＝2x－x2.

(2)∵方程f(x)＝2a2＋a有三个不同的解，

1∴－1<2a2＋a<1.∴－1<a2

20. (13分)已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且f(x)最小值是－1，函数g(x)与f(x)的图像关于原点对称．

(1)求f(x)和g(x)的解析式；

(2)若h(x)＝f(x)－λg(x)在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

[解析] (1)依题意，设f(x)＝ax(x＋2)＝ax2＋2ax(a>0)．

f(x)图像的对称轴是x＝－1，∴f(－1)＝－1，

即a－2a＝－1，∴a＝1，∴f(x)＝x2＋2x.

∵函数g(x)的图像与f(x)的图像关于原点对称，

∴g(x)＝－f(－x)＝－x2＋2x.

(2)由(1)得h(x)＝x2＋2x－λ(－x2＋2x)＝(λ＋1)x2＋2(1－λ)x.

①当λ＝－1时，h(x)＝4x满足在区间[－1,1]上是增函数；

λ－1②当λ<－1时，h(x)图像对称轴是x＝ λ＋1

λ－1则1，又λ<－1，解得λ<－1； λ＋1

λ－1③当λ>－1≤－1， λ＋1

又λ>－1，解得－1<λ≤0.

综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0]．

－1.

1－2k1①当k≥≤0，g′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，因此g(x)在[0，＋∞)上单调22k

递减．从而对于任意的x∈[0，＋∞)，总有g(x)≤g(0)＝0，即f(x)≤kx2在[0，＋∞)上恒成立．

1故k≥ 2

1－2k1－2k1－2k1②当0<k<，对于x∈(0)，g′(x)>0，故g(x)在(0)内单调递22k2k2k

1－2k增．因此当取x0∈(0，时，g(x0)>g(0)＝0，即f(x0)≤kx20不成立． 2k

1故0<k< 2

1综上，k的最小值为. 2

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