《数学物理方法》第一章

数学物理方法

绪论《数学物理方法》 既是理论物理学的基础， 又是物理学与数学联系的桥梁。

《数学物理方法》课程包括复变函数、 数学物理方程、积分变换和特殊函数四大 部分。

课程性质是既具有数学类型又具有物理类型的二 重性课程。本课程为后续的物理基础课 程和专业课程研究有关的数学物理问题 作准备，也为今后工作中遇到的数学物 理问题的求解提供基础。 学习《数学物理方法》,主要矛盾是如何学习 和掌握各种具体的计算方法，逐步培养利用数 学物理方法的知识解决物理问题的能力。

学习方法《数学物理方法》与《高等数学》是 分不开的，它涉及一元和多元微积分学、 幂级数、付里叶级数、微分方程、场论、 线性代数等。 要勤于思考，多做练习，“熟能生巧” 。当 学完《数学物理方法》以后，你会发现，你的 数学分析水平将有大幅提高。 答疑：

参考书1.梁昆淼. 数学物理方法. 高等教育出版 社，1998年6月第三版 2. 2.郭敦仁：《数学物理方法》,北京： 人民教育出版社 1965 3.胡嗣柱、倪光炯：《数学物理方法》, 上海：复旦大学出版社 1989 4.吴崇试：《数学物理方法》,北京： 北京大学出版社 2003

……

第一章

复数与复变函数

第一节 复数 第二节 复变函数的基本概念 第三节 复球面与无穷远点

第一节 复数复数的概念 复数 形如 z=x+i y 的数被称为复数， 其中x , y∈R。x=Rez,y=Imz分别 为z的实部和虚部，i为虚数单位， 其意义为i2=-1 复数四则运算？

复数相等

z1=z2当且仅当 Rez1= Rez2 且 Imz1= Imz2

复平面

(几何表示) 虚轴

z平面

复数z=x+iy

实轴

复数与平面向量一一对应 模 | z |≡ r = x + y2 2

0的幅角呢？ 主幅角

复数不能 比较大小

幅角 θ = 2kπ + arg z ≡ Argz

复数的表示 代数表示： z=x+iy 三角表示： z=r(cosθ+isinθ) 指数表示： z=reiθ 注意欧拉公式

在三角表示和指数表示下，两个复 数相等当且仅当 模相等且幅角相差2kπ

复数的运算 设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数 加减运算 z1 + z2 =(x1 + x2) +i(y1 + y2 )

复数加减法满足平 行四边形法则，或 三角形法则- z2 z1 +(- z2)

乘法运算

z1 z2 = ( x1 x2 y1 y2 ) + i ( x1 y2 + x2 y1 )= r1r2 [ cos(θ1 + θ 2 ) + i sin(θ1 + θ 2 ) ]i (θ1 +θ 2 )n n

= r1r2 e

z =r e

inθ

两个复数相乘等于 它们的模相乘，幅 角相加

z1 x1 x2 + y1 y2 x1 y2 x2 y1 = +i 2 2 2 2 z2 x2 + y2 x2 + y2r1 = [ cos(θ1 θ 2 ) + i sin(θ1 θ 2 ) ] r2

除法运算( Z 2 ≠ 0)

r1 i (θ1 θ2 ) = e r2两个复数相除等于 它们的模相除，幅 角相减

共轭复数及其运算复数z=x+iy的共轭复数为 z =x-iy

z

共轭复数 z是复数z关于实轴的对称点

根式函数称

满足方程 w = zn

( w ≠ 0, n ≥ 2) 的复数 w 为1 niθ

z

的 n 次方根，记作 w = z解： 则

w =ρ en

n in

= z = re

ρ =rn

e

in

=e

iθ

ρ=nrw = n rei n

n = θ + 2kπ ,θ + 2 kπ

k = 0,1, 2,L

,

k = 0,1, 2,L , n 1

n

θ + 2 kπ θ + 2 kπ z = r cos + i sin n n n

其中z = reiθ , k = 0,1, 2,L , n 1记

θ 是主幅角

θ θ w0 = r cos + i sin n n θ + 2π θ + 2π n w1 = r cos + i sin n n n

L w =?n

注意

根式函数是多值函数

例如

θ + 2 kπ θ + 2kπ z = r cos + i sin 2 2

其中z = reiθ , k = 0,1, θ是主幅角记

θ θ w0 = r cos + i sin 2 2 θ θ w1 = r cos + π + i sin + π 2 2

举例_______

z1 z1 设z1 = 5 5i, z2 = 3 + 4i, 求 和 z2 z2

设z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy 2为两个任意复数， 证明：z1 z2 + z1 z2 = 2 Re( z1 z2 )求(1 + i )100 和 4 1 + i

复数的发展复数概念的进化是数学史中最奇特的一 个篇章，那就是数系的历史发展完全没 有按照教科书所描述的逻辑连续性。人 们没有等待实数的逻辑基础建立之后， 才去尝试新的征程。在数系扩张的历史 过程中，往往许多中间地带尚未得到完 全认识，而天才的直觉随着勇敢者的步 伐已经到达了遥远的前哨阵地。

复数的引入早在16世纪，对一元二次、一元三次代数方程求解时就引 入了虚数的基本思想.1545年, 卡丹诺(Girolamo Cardano, 1501 ~ 1576, 意大利数学家) 在他的Ars Magna 《大术》书中，给出了虚数的符号和运算法则，但同时也对 这种运算的合法性表示怀疑.卡丹诺对虚数引入的基本思想： 一元三次方程 x + px + q = 0 (其中 p, q 为实数)的求根公3

式，通常也叫做卡丹诺(Cardano)公式：q q p q q p x = 3 + ( ) 2 + ( )3 + 3 ( ) 2 + ( )3 2 2 3 2 2 3

需特别指出： 需特别指出：可以证明当有三个不同的实根 若要用公式法来求解， 时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数 开方(参考 范德瓦尔登著《代数学》 丁石孙译 参考： 丁石孙译, 开方 参考：范德瓦尔登著《代数学》,丁石孙译 科学出版社，1963年)。至此，我们明白了这样 科学出版社， 年 。至此， 的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念。 的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念。 卡丹诺公式出现于十七世纪， 卡丹诺公式出现于十七世纪，那时虚数的地 位就应确定下来，但对虚数的本质还缺乏认识。 位就应确定下来，但对虚数的本质还缺乏认识。 “虚数”这个名词是由十七世纪的法国数学家笛 虚数” 虚数 卡儿( 虚数” 卡儿(Descartes

)正式取定的。“虚数”代表 )正式取定的。 虚数 的意思是“虚假的数”,“实际不存在的数”, 的意思是“虚假的数” 实际不存在的数” 后来还有人“论证” 后来还有人“论证”虚数应该被排除在数的世界 之外.由此给虚数披上了一层神秘的外衣。 之外 由此给虚数披上了一层神秘的外衣。 由此给虚数披上了一层神秘的外衣

十八世纪，瑞士数学家欧拉( Euler, 十八世纪，瑞士数学家欧拉(Leonhard· Euler, 1707-1783) 试图进一步解释虚数到底是什么数， 1707-1783) 试图进一步解释虚数到底是什么数， 他把虚数称之为“幻想中的数” 不可能的数” 他把虚数称之为“幻想中的数”或“不可能的数”。 他在《对代数的完整性介绍》(1768-1769年在俄 他在《对代数的完整性介绍》(1768-1769年在俄 国出版，1770年在德国出版 一书中说： 年在德国出版) 国出版，1770年在德国出版)一书中说：因为所有 可以想象的数或者比零大，或者比零小， 可以想象的数或者比零大，或者比零小，或者等于 即为有序数。所以很清楚， 零，即为有序数。所以很清楚，负数的平方根不能 包括在可能的有序数中， 包括在可能的有序数中，就其概念而言它应该是一 种新的数，而就其本性来说它是不可能的数. 种新的数，而就其本性来说它是不可能的数. 因为 它们只存在于想象之中. 它们只存在于想象之中.因而通常叫做虚数或幻想 中的数，于是Euler首先引入符号 作为虚数单位。 首先引入符号i 中的数，于是Euler首先引入符号i作为虚数单位。

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