k5第15课时 直线与圆的位置关系(1)

知识就是力量

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普通高中课程标准实验教科书—数学第一册[苏教版]

第15课时 直线与圆的位置关系（1）

教学目标

（1）依据直线和圆的方程，能熟练求出它们的交点坐标；

（2）能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系判断直线和圆的位置关系，

（3）理解直线和圆的三种位置关系与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解的

对应关系；

（4）会初步处理直线与圆相交时所得的弦长有关的问题，渗透方程思想，巩固基本量的求法． 教学重点

依据直线和圆的方程，求它们的交点坐标，理解直线和圆的三种位置关系与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解的对应关系． 教学难点

直线与圆相交时所得的弦长有关的问题． 教学过程

一、问题情境

1．情境：圆心到直线的距离决定直线与圆的位置关系，那么已知圆(x?1)2?(y?2)2直线l1:x?4，l2:y?0，l3:x?y?1?0．

2．问题：判断该圆与三条直线的位置关系 ． 二、学生活动

通过以前的知识，借助圆心到直线的距离作出判断，同时思考从方程的角度能否判断它们的位置关系． 三、建构数学

1．直线l与圆C的方程分别为：

?4和

Ax?By?C?0,x2?y2?Dx?Ey?F?0．

如果直线l与圆C有公共点，由于公共点同时在l和C上，所以公共点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个方程有公共解，那么以公共解为坐标的点必是l与C的公共点．

由l与C的方程联立方程组?2．位置关系：

相离 相切 相交 ?Ax?By?C?0,我们有如下结论： 22?x?y?Dx?Ey?F?0, - 1 -

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d?r 方程组无解 d?r 方程组仅有一组解 d?r 方程组有两组不同的解 四、数学运用 1．例题：

例1．求直线4x?3y?40和圆x2?y2?100的公共点坐标，并判断它们的位置关系．

?4x?3y?4022解： 直线4x?3y?40和圆x?y?100的公共点坐标就是方程组?2的解． 2x?y?100?14?x?,2?x1?10,??5所以公共点坐标为(10,0),(14,48)．

解这个方程组，得??y?0,55?1?y2?48.?5?22所以，直线4x?3y?40和圆x?y?100有两个公共点，即直线和圆相交．

22例2．自点A(?1,4)作圆(x?2)?(y?3)?1的切线l,求切线l的方程． 解法1当直线l垂直于x轴时，直线l:x??1与圆相离，不满足条件 当直线l不垂直于x轴时，可设直线l的方程为 y?4?k(x?1),即kx?y?(k?4)?0

如图，因为直线与圆相切，

所以圆心(2,3)到直线l的距离等于圆的半径，

3?1解得k?0或k??．

4k2?1因此，所求直线l的方程是y?4或3x?4y?13?0

解法2：当直线l垂直于x轴时，直线l:x??1与圆相离，不满足条件．

当直线l不垂直于x轴时，可设直线l的方程为y?4?k(x?1),由于直线l与圆相切，所以方

?y?4?k(x?1),程组?仅有一组解． 22?(x?2)?(y?3)?1由方程组消去y，得关于x的一元二次方程

(1?k2)x2?(2k2?2k?4)x?k2?2k?4?0，因为一元二次方程有两个相等实根，所以判

32222别式??(2k?2k?4)?4(1?k)(k?2k?4)?0解得k?0或k??因此，所求直线l4故

- 2 -

2k?3?(k?4)知识就是力量

的方程是y?4或3x?4y?13?0．

变式：（1）当点A的坐标为(2,2)时，切线l的方程．

（2）当点A的坐标为(1,1)，切线l的方程． 解：（1）由题意得：A(2,2)在圆(x?2)2?(y?3)2?1上

所以直线AO的方程为x?2，因为AO与切线l垂直，所以切线l的方程为y?2 说明：求圆的切线方程首先应判断点是否在圆上．

（2）由题意：当直线l垂直于x轴时，直线l:x?1与圆相切，满足条件． 当直线l不垂直于x轴时，可设直线l的方程为y?1?k(x?1), 即kx?y?(1?k)?0，由于直线l与圆相切，

?kx?y?(1?k)?0,所以方程组?仅有一组解， 22(x?2)?(y?3)?1?由方程组消去y，得关于x的一元二次方程(k2?1)x2?2(k2?2k?2)x?(k2?4k?7)?0 判别式??4(k2?2k?2)2?4(k2?1)(k2?4k?7)?0，解得k?经检验知k

2．练习：课本第104页 练习 第1题．

五、回顾小结：

1．直线和圆的三种位置关系与圆心到直线的距离和半径之间的大小关系的对应关系； 2．直线和圆的三种位置关系与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解的对应关系．

六、课外作业：

课本第106页 练习 第2，3，5题．

课本第107页 习题 第2题．

?3?3， 4??3?3． 4 - 3 -

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