2016届浦东新区高三一模数学卷及答案

浦东新区2015学年度第一学期期末质量测试

高三数学试卷 （含答案）

2016.1

注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚.

2. 本试卷共有32道试题，满分150分，考试时间130分钟.

一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.

注：填写其他等价形式则得分

1．已知集合{}{}=3,2A x x B x x ≤=<，则R A C B = []2,3

2．已知向量()2,1,(1,)a b m =-=平行，则m = 12

-

3．关于,x y 的一元二次方程组23122x y x y +=??-=?的系数矩阵 2312?? ?-?? 4．计算：11

32lim 32n n

n n n ++→∞-+ 3 5．若复数z 满足1012i i z

=-（i 为虚数单位），则z

6．()10

21x +的二项展开式中的第八项为 3960x 7．某船在海平面A 处测得灯塔B 在北偏东30?方向，与A 相距6.0海里.船由A 向正北方向航行8.1海里达到C 处，这时灯塔B 与船相距_____4.2______海里（精确到0.1海里）

8．已知3cos(),,252ππααπ??-=∈ ???

，则sin 3π

α??+= ??? 9．如图，已知正方体1111D C B A ABCD -，21=AA ，E 为棱1CC 的中点，则AE 与平面11BCC B 所成的角

为552arctan ．（2arcsin 3

，）（结果用反三角表示） 10．已知函数()f x 的图像与()2x g x =的图像关于直线y x =对

称，令()(1)h x f x =-，则关于函数()h x 有下列命题：

①()h x 的图像关于原点对称； ②()h x 的图像关于y 轴对称；

③()h x 的最大值为0； ④()h x 在区间(1,1)-上单调递增。

其中正确命题的序号为____②③_____（写出所有正确命题的序号）。

1

11．有一列向量{}n a ：111222(,),(,),,(,),n n n a x y a x y a x y ===如果从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列。已知等差向量列{}n a ，满足1(20,13)a =-，3(18,15)a =-，那么这列向量{}

n a 中模最小的向量的序号n =__4或5__。

12．已知()()2sin ,f x x g x π=则()f x 与()g x 图像交点的横坐标之和为__17___.

二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.

13．如果0a b >>，那么下列不等式中不．

正确的是…………………………………（ B ） ()A 11a b < ()B 11a b

> ()C 2ab b > ()D 2a ab > 14．设:1x α=且2y =，:3x y β+=，α是β成立的…………………………（ A ）

()A 充分非必要条件 ()B 必要非充分条件 ()C 充要条件 ()D 既非充分又非必要条件

15．方程2244kx y k +=表示焦点在x 轴的椭圆，则实数k 的取值范围是…………（ D ）

()A 4k > ()B 4k = ()C 4k < ()D 04k <<

16．甲、乙、丙、丁四人排成一排，其中甲、乙两人相邻的概率是…………（ C ）

()A 14 ()B 13 ()C 12

()D 16 17．直线0ax by +=与圆220x y ax by +++=的位置关系是………………………（ B ）

()A 相交 ()B 相切

()C 相离 ()D 不能确定 18．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为,,10,11,9x y ，已知这组数据的平

均数为10，方差为2，则x y -的值为……………………………………………………（ A ） ()A 4 ()B 3 ()C 2 ()D 1

19．设函数()()f x x R ∈满足()()sin f x f x x π+=+，当0x π≤<时，()0f x =，则23()6

f π=……………………………………………………………………………………（ A ）

()A 12 ()B ()C 0 ()D 12

- 20．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S ，那么圆柱的体积等于…………… ( D )

()A S S 2 ()B πS S 2 ()C S S 4 ()D πS S 4

21．已知函数()f x 存在反函数1()f x -，若函数()1y f x =+过点()3,3，则函数()1f x -恒过点…………………………………………………………………………………………（ B ）

()A ()4,3 ()B ()3,4 ()C ()3,2 ()D ()2,3

22．一个弹性小球从10米自由落下，着地后反弹到原来高度的45处，再自由落下，又弹回到上一次高度的45处，假设这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的总路程为……………………………………………………………………………………………（ C ）

()A 50 ()B 80 ()C 90 ()D 100

23．符合以下性质的函数称为“S 函数”：①定义域为R ，②()f x 是奇函数，③()f x a <（常数0a >），④()f x 在(0,)+∞上单调递增， ⑤对任意一个小于a 的正数d ，至少存在一个自变量0x ，使0()f x d >。下列四个函数中12()arctan a

f x x π= ， 22()1

ax x f x x =+ ，310()0

010

a x x f x x a x x ?->??==???--

24．将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角

形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心

为点O ，其中,x y 分别为点O 到两个顶点的向量. 若将点O 到正六角星12

个顶点的向量，都写成为ax by +的形式，则a b +的最大值为（ C ）

()A 3 ()B 4 ()C 5 ()D 6

三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的

步骤．

注：其他解法相应给分 25．（本题满分8分）

已知OC ,OB ,OA 交与点O ，OB //

AD 21，F ,E 分别为OC ,BC 的中点.

求证：//DE 平面AOC ． A B

O D F E C

证明：在OBC ?中，因为F ,E 分别为OC ,BC 的中点，所以1//2

FE OB ……………………………………………………………………………2分 又因为1//2

AD OB ，所以由平行公理和等量代换知，//FE AD ， 所以四边形ADEF 是平行四边形……………………………………………………4分 所以AF //DE …………………………………………………………………………6分 又因为AF 平面AOC ，所以//DE 平面AOC …………………………………8分

26．（本题满分8分）

已知函数()2sin f x x =,将函数()y f x =的图像向右平移

6π个单位，再把横坐标缩短到原来的12

（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =的解析式，并写出它的单调递增区间．

解：由()y f x =，将函数()y f x =的图像向右平移

6π个单位，得2sin()6y x π=-……2分 再把横坐标缩短到原的

12（纵坐标不变），得到()2sin(2)6g x x π=-。…………………4分 由222,262k x k k Z π

π

π

ππ-≤-≤+∈，可得,63k x k k Z ππππ-

≤≤+∈ 所以()y g x =的单调递增区间为,,63k k k Z π

πππ?

?-+∈????

………………………………8分

27．（本题满分8分，第1小题4分、第2小题4分）

已知两个向量()()2221log ,log ,log ,1a x x b x =+=

（1）若a b ⊥，求实数x 的值；

（2）求函数1(),,24

f x a b x ??=?∈????的值域。 解：（1）()222,1lo

g log log 0a b x x x ⊥∴+?+=

22log (log 2)0x x ??+=

22log 0log 2x x ∴==-或

经检验114

x x ==或为所求的解；………………………………………………4分 （2）由条件知()2222()log (log 2)log 11f x x x x =?+=+-

[]21,2,log 2,14x x ??∈∴∈-????

[]()[]222log 11,2log 10,4x x ∴+∈-?+∈

所以值域为[]1,3-。………………………………………………………………8分

28．（本题满分10分，第1小题4分、第2小题6分)

已知数列{}n a 的前n 项的和23122n S n n =

-， （1）求{}n a 的通项公式n a ；

（2）当2≥n 时，λλ≥+

+n n a a 1恒成立，求λ的取值范围. 解: （1）=n S n n 2

1232- 231-=-=∴-n S S a n n n ()2≥n …………………………………………2分 当1=n 时也成立, 11a =

23-=∴n a n

（2）λλ

≥++n n a a 1?λλ≥-++2

313n n ?()())1(32313--+n n n λ≥

设=n b ()())

1(32313--+n n n =-+n n b b 1()()-++n

n n 34313()())1(32313--+n n n ()()()132313--+=n n n n 0> ∴n b 的最小值为3282=b ,328≤∴λ. 29．（本题满分14分，第1小题4分、第2小题5分、第3小题5分）

在平面直角坐标系xOy 中，对于点),(00y x P 、直线:l 0=++c by ax ，我们称

δ=),(00y x P 到直线:l 0=++c by ax 的方向距离。

（1）设椭圆14

22

=+y x 上的任意一点),(y x P 到直线02:,02:21=+=-y x l y x l 的方向距离分别为21δδ、，求21δδ的取值范围。

（2）设点)0,(t E -、)0,(t F 到直线l ：02sin 2cos =-+ααy x 的方向距离分别为1η、2η，试问是否存在实数t ，对任意的α都有121=ηη成立？若存在，求出t 的值；不存在，说明理由。

（3）已知直线l ：0=+-n y mx 和椭圆E ：122

22=+b

y a x （0>>b a ），设椭圆E 的两个焦点21,F F 到直线l 的方向距离分别为1λ、2λ满足221b >λλ，且直线l 与x 轴的交

123i 1n -点为A 、与y 轴的交点为B ，试比较AB 的长与a b +的大小。

解答：（1）由点),(y x P 在椭圆1422=+y x 上，所以4

12

2x y -= 由题意521y x -=δ、5

22y x +=δ，于是5425422221-=-=x y x δδ………………2分 又22≤≤-x 得402≤≤x ，即5

45421≤≤-δδ…………………………………………4分 （也可以先求出585)4(2222221=+=+y x δδ，再利用基本不等式易得5

45421≤≤-δδ） （2）假设存在实数t ，满足题设，

由题意αααη221sin 4cos 2cos +--=t α

ααη222sin 4cos 2cos +-=t ， 于是1sin 4cos )2cos )(2cos (2221=+---=α

αααηηt t ………………………………………………6分 0cos )3(sin 4cos cos 4222222=-?+=-ααααt t 对任意的α都成立

只要032=-t 即可，所以3±=t

故存在实数t ，3±=t ，对任意的α都有121=ηη成立。……………………………9分

（学生通过联想，判断直线02sin 2cos =-+ααy x 是椭圆14

22

=+y x 的切线，又证明221b =ηη从而得到3±=t 也给分）

（3）设21,F F 的坐标分别为)0,(c -、)0,(c ，于是2

22b a c -= 211m n mc ++-=λ、221m

n mc ++=λ于是222

22211b m c m n >+-=λλ2222a m b n +>? 又)0,(m n A -，),0(n B 即2222||n m

n AB +=……………………………………………12分 所以22222222

2222)(2b a ab b a a m b m

b a n m n +=++≥+++>+ 综上AB >a b +…………………………………………………………………………14分

30．（本题满分6分）

如图，点(1,0)A -、(1,0)B ，点C 在x 轴正半轴上，过线段BC 的n 等分点i D 作与BC 垂直的射线i l ，在i l 上的动点

P 使APB ∠取得最大值的位

置记作i

P （1,2,3,,1i n =-）。是否

存在一条圆锥曲线，对任意的

正整数2n ≥，点(1,2,

,1)i P i n =-都在这条曲线上？说明理由。

解：存在一条双曲线，对任意的正整数2n ≥，点(1,2,

,1)i P i n =-都在这条双曲线上……

1分 如图所示，(1,0),(1,0)A B -，设||BC b =，),(y x P ，则1,0x y >>，i x b n =， PAC PBC APB ∠-∠=∠

tan 1

y PAC x ∠=+，tan 1y PBC x ∠=- 所以211tan 1(1)(1)

y y x x APB y x x --+∠=+-+ 2(1)(1)x x y y

=-++……………………3分 当1,,3,2,1-=n i 一定时，||BC n i x =

为常数

所以(1)(1)x x y y

-++≥APB ∠tan 取得最大值，……………5分 当且仅当

(1)(1)x x y y -+=时等号成立， 故22

1x y -=，1,0x y >>，i P 在一条双曲线上。…………6分

31．(本题满分12分，第1小题3分、第2小题4分、第3小题5分) 定义符号函数()1,0sgn 1,0x x x ≥?=?-

. 已知()(),,sgn 1.a b R f x x x a x b ∈=--+ （1）求()2(1)f f -关于a 的表达式，并求()2(1)f f -的最小值.

（2）当12

b =时，函数()f x 在()0,1上有唯一零点，求a 的取值范围. （3）已知存在a ，使得()0f x <对任意的[]1,2x ∈恒成立，求b 的取值范围. 解：（1）3,2(2)(1)22122135,123,1a a f f a b a b a a a a a a -≥??-=-+---=---=-+<

所以()2(1)f f -最小值为1-。…………………………………………………………3分

（2）当12b =时，()1,121,12

x x a x f x x x a x ?-+≥??=??--+

=?-=。12x a x ?-=………………5分 令()1,()2g x x a h x x =-=

。在同一坐标系中分别作出这两个函数在()0,1上的图像。 由图像可得{}13,2,22a ?

???∈-∞+∞ ???????

.…………………………………………7分 （3）当[]1,2x ∈时，()f x x x a b =-+.由()0f x <得b x a x -<-

， 所以0b <且b b x a x x

<-<-对任意的[]1,2x ∈恒成立， 即b b x a x x x

+<<-对任意的[]1,2x ∈恒成立， 从而只需求()b g x x x =+在[]1,2x ∈的最大值和()b h x x x =-在[]1,2x ∈的最小值，而且要满足()()max min g x h x <。 ()0,b b g x x x <∴=+在[]1,2x ∈上单调递增，所以()()max 222

b g x g ==+

。 对于函数()b h x x x

=-，[]1,2x ∈时，()min 1,10412,42b b h x b b b ?--<

（i ）1021,3212

b b b b -<

????∈--? ?+<-???? （ii ）414122b b b -≤≤-???-≤≤-?+

综上，2,3b ?

?∈-∞- ???

。………………………………………………………………12分

32．(本题满分12分，第1小题4分、第2题第①问3分、第2题第②问5分)

已知两个无穷数列{}{},n n a b 分别满足111

2n n a a a +=??-=?，1112n n b b b +=-???=??，其中*n N ∈，设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，

（1）若数列{}{},n n a b 都为递增数列，求数列{}{},n n a b 的通项公式；

（2）若数列{}n c 满足：存在唯一的正整数k （2k ≥），使得1k k c c -<，称数列{}n c 为“k 坠点数列”

①若数列{}n a 为“5坠点数列”，求n S ；

②若数列{}n a 为“p 坠点数列”，数列{}n b 为“q 坠点数列”，是否存在正整数m ，使得1m m S T +=，若存在，求m 的最大值；若不存在，说明理由。

解答：

（1）数列{}{},n n a b 都为递增数列，∴12n n a a +-=，21212,2,n n b b b b n N *++=-=∈，

∴21n a n =-，…………………………………………………………………………2分

11,12,2

n n n b n --=?=?≥?；………………………………………………………………………4分 （2）①∵数列{}n a 满足：存在唯一的正整数=5k ，使得1k k a a -<，且12n n a a +-=，

∴数列{}n a 必为1,3,5,7,5,7,9,11,???，即前4项为首项为1，公差为2的等差数列，从第5项开始为首项5，公差为2的等差数列，……………………………………5分

故22,4415,5

n n n S n n n ?≤?=?-+≥??；………………………………………………………7分 ②

∵2214n n b b +=，即12n n b b +=±，1||2n n b -∴= 而数列{}n b 为“q 坠点数列”且11b =-，∴数列{}n b 中有且只有两个负项． 假设存在正整数m ，使得+1m m S T =，显然1m ≠，且m T 为奇数，而{}n a 中各项均为奇数，∴m 必为偶数．…………………………………………………………………………9分

()211321(1)m S m m +≤++???++=+

i.当q m >时， 121122

223m m m m T --=-++???++=-

当6m ≥时，223(1)m m ->+，故不存在m ，使得1m m S T +=成立

ii.当q m =时， 121122230m m m T --=-++???+-=-< 显然不存在m ，使得1m m S T +=成立

iii ．当q m <时，()()1321112+22223m m m m m T ----≥-++???++-+=-

当1223(1)m m --≤+时，才存在m ，使得1m m S T +=成立 所以6m ≤

当6m =时，6q <，构造：{}n a 为1,3,1,3,5,7,9,???，{}n b 为1,2,4,8,16,32,--??? 此时3p =，5q =，所以m 的最大值为6。………………………………………12分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/15fe.html