第7章：直方图

第7章：直方图

一． 前言

现场工作人员经常都要需对许多的数据，这些数据均来自于制程中抽验或查检所得的某项产品之品质特征。如果我们应用统计绘图的方法，将这些数据加以整理，则制程中的品质散布的情形及问题点所在及制程、能力等，均可呈现在我们的眼前；我们即可得用这些情报来掌握问题点以进行改善对策。通常在生产现场最常利用的图表即为直方图。 二． 直方图的定义

A． 何谓直方图

为要容易的看出如长度、重量、硬度、时间等计量值的数据分配情形，所用来表示的图形。直方图是将所收集的测定值特性值或结果值，分为几个相等的区间作为横轴，并将各区间内所测定值依所出现的次数累积而成的面积，用柱子排起来的图形。因此，也叫做柱状图。 B． 使用直方图的目的： ? 了解分配的型态；

? 研究制程能力或测知制程能力； ? 工程解析与管测知数据之真伪； ? 计划产品之不良率；

? 求分配之平均值与标准差； ? 藉以订定规格界限； ? 与规格或标准值比较；

? 调查是否混入两个以上的不同群体； ? 了解设计管制是否合乎制程管制。 C．

解释名词：

1. 次数分配

将许多的复杂数据依其庆功异的幅度分成若干组，在各组内列入测定值的出现次数，即为次数分配。 2. 相对次数

在各组出现的次数除以全部之次数，即为相对次数。

3. 累积次数（F）

为自次数分配的测定值较小的一端将其次数累积计算，即为累积次数。

1

4. 全距（R）

在所有数据中最大值和最小值的差，即为全距。 5. 组距（H） 全距/组数=组距

6. 算数平均数（X）

数据的总和除以数据总数谓之，通常以X（X-bar）表示。

n

X= X1+X2+ n ? +Xn =

∑Xi X=Xo+h

∑uf n 7. 中位数（X）

将数据由小至大依序排列，位居中央的数称为中位数，若遇偶位数时，则取中央两数据之平均值。 8. 各组中点之简化值（U）

μ= Xi-Xo 组距（h）

Xo = 次数最多一组的组中

Xi = 各组组中点

9. 众数（Mode）

次数分配中出现次数最多组之值。 例： 不良数 3 5 7 9 次 数 11 15 18 24 次数最多为24，不良数是9，故众数为9。 10. 组中点（mid range）

一组数据中最大值与最小值之平均值。 （上组界+下组界）/2=组中点 11. 标准差（σ）

σ=σ0=h×

（∑μf）2

∑μ2f— n n

10 13 11 16 12. 样本标准差（S） 2（∑μf） 2

∑μf— n S=σn-1=h× n-1

2

三． 直方图的制作

1． 直方图的制作方法

步骤1：搜集数据并记录

搜集数据时，对于抽样分布必须特别注意，不可取部份样品，应就全部均匀的加以随机抽样。所搜集的数据应大于50以上。

例：某厂之成品尺寸规格为130至160mm，今按随机抽样方式抽取60个当样本，其测定值如附表，试制作直方图。

138 142 148 145 140 141 139 140 141 138 138 139 144 138 139 134 137 137 131 128 138 137 137 133 140 130 134 128 138 132 145 141 135 131 139 131 134 136 137 133 134 132 135 134 132 137 121 129 137 132 130 135 135 134 136 131 131 139 134 135 步骤2：找出数据中之最大值（L）与最小值（S） 先从各行或列中求出最大值，最小值，再予以比较。 最大值用“ ”框起来，最小值用框“ ”框起来。

138 142 148 145 140 141 139 140 141 138 138 139 144 138 139 134 137 137 131 127 138 137 137 133 140 130 134 128 138 132 145 141 135 131 139 131 134 136 137 133 134 132 135 134 132 137 121 129 137 132 130 135 135 134 136 131 131 139 134 135 得知： NO.1 L1=145 S1=131 NO.2 L1=142 S1=127 NO.3 L1=148 S1=130 NO.4 L1=145 S1=128 NO.5 L1=140 S1=121 NO.6 L1=141 S1=129

3

求得：L=148 S=121 步骤3：求全距

数据最大值（L）减最小值（S）=全距（R） 例：R=148-121=27

步骤4：决定组数

A． 组数过少，固然可得到相当简单的表格，但失却次数分配之本质与

意义；组数过多，虽然表列详尽，但无法达到简化的目的。通常，应先将异常值剔除后再行分组。 B． 一般可用数学家史特吉斯（Sturgcs）提出之公式，根据测定次数n 来

计算组数K，其公式为： K=1+3.32log n

例：n=60，则k=1+3.32log60=1+3.32(1:78)=6.9，即约可分为6组或7组。

C． 一般对数据之分组可参照下表 数据数 组数 例：取7组

~50 5~7 51~100 6~10 101~250 7~12 250~ 10~20 步骤5：求组距（h）

A． 组距=全距/组数（h=R/k）

B． 为便于计算平均数及标准差，组距常取为25或10的倍数。

例：h=27/7=3.86，组距取4

步骤6：求各组上组界，下组界（由小而大顺序）

A． 第一组下组界 = 最小值—最小测定单位/2

第一组上组界 = 第一组下组界 + 组界 第二组下组界 = 第一组上组界 ?? ?? B． 最小测定单位

整数位之最小测定单位为1

小数点1位之最小测定单位为0.1 小数点2位之最小测定单位为0.01

C． 最小数应在最小一组内，最大数应在最大一组内；若有数字小于最小一组下组界或大于最大一组上组界值时，应自动加一组。 例：

第一组 = 121-? = 120.5~124.5 第二组 = 124.5~128.5 第三组 = 128.5~132.5 第四组 = 132.5~136.5 第五组 = 136.5~140.5 第六组 = 140.5~144.5

4

第七组 = 144.5~148.5

步骤7：求组中点

组中点（值）=该组上组界 + 该组下组界/2 例：

第一组 = (120.5+124.5)/2 = 122.5 第二组 = (124.5+128.5)/2 = 126.5 第三组 = (128.5+132.5)/2 = 130.5 第四组 = (132.5+136.5)/2 = 134.5 第五组 = (136.5+140.5)/2 = 138.5 第六组 = (140.5+144.5)/2 = 142.5 第七组 = (144.5+148.5)/2 = 146.5

步骤8：作次数分配表

A． 将所有数据，依其数值大小书记于各组之组界内，并计算其次数。 B． 将次数相加，并与测定值之个数相比较：表中之次数总和应与测定值之总数相同。 次数分配表 组号 1 2 3 4 5 6 7 组界 120.5~124.5 124.5~128.5 128.5~132.5 132.5~136.5 136.5~140.5 140.5~144.5 144.5~148.5 组中点 122.5 126.5 130.5 134.5 138.5 142.5 146.5 合计 划记 | || ||||| ||||| || ||||| ||||| ||||| ||| ||||| ||||| ||||| |||| ||||| ||| 次数 1 2 12 18 19 5 3 60 步骤9：制作直方图 A． 将次数分配表图表化，以横轴表示数值之变化，以纵轴表示次数。 B． 横轴与纵轴各取适当的单位长度。再将各组之组界分别标在横轴上，各组界应为等距离。

C． 以各组内之次数为高，组距为底；在每一组上画成矩阵，则完成直方图；

D． 在图之右上角记入相关数据履历（数据总数n，平均值x，标准差σ??），并划出规格之上、下限。

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E． 记入必要事项：制品名、工程名、期间、制作日期、制作者。

SU=160 20 SL=130

N=60 制品名： 15 X=135.8 工程名： σ=4.87 期间： 10 s=σn-1=4.91 制作日期：

制作者： 5 120.5

124.5 120.5 128.5 132.5 136.5

140.5 144.5 148.5

说明：

1．

分组后再计算之σ，S为近似值；

2．

如直接以原始数据60个，依公式计算，可得真值。

N=60 x=135.8 σ=4.68 s=4.72

2．以计算机计算统计量

若手边有科学型计算机，可使用次数分配表中，输入组中点与次数，迅速求得各统计量n，x，σ与s。

如目前使用最普通之CASIL fx=3600PV，其计算步骤如下： 按键 功能说明 萤幕显示 MODE 3 进入统计计算系统 SD SHIFT KAC 清除记忆 0 122.5×1 DATA 输入组中点及次数数据 122.5 126.5×2 DATA 输入组中点及次数数据 126.5 130.5×12 DATA 输入组中点及次数数据 130.5 134.5×18 DATA 输入组中点及次数数据 134.5 138.5×19 DATA 输入组中点及次数数据 138.5 142.5×5 DATA 输入组中点及次数数据 142.5 146.5×3 DATA 输入组中点及次数数据 146.5 KOUT 3 输出统计量n 60 SHIFT x 输出统计量x 135.766 SHIFT xσn 输出统计量σ 4.871 SHIFT xσn-1 输出统计量s 4.912 KNOT 2 输出统计量∑x 8146 KNOT 1 输出统计量∑x2 1107379

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3．常见的直方图型态 A． 正常型

说明：中间高，两边低，有集中趋势 结论：左右对称分配（常态分配），显示制程在正常运转下。

B． 缺齿型（凹凸不平型）

说明：高低不一，有缺齿情形。不正常的分配，系因测定值或换算方

法有偏差，次数分配不当所形成。

结论：稽查员对测定值有偏好现象，如对5、10之数字偏好；或是假

造数据。测量仪器不精密或组数的宽度不是倍数时亦有此情况。

C．

切边型（断裂型） 说明：有一端被切断。

结论：原因为数据经过全检过，或制程本身有经过全检过，会出现的

形状。若剔除某规格以上时，则切边在靠近右边形成。

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D．

离岛型

说明：在右端或左端形成小岛

结论：测定有错误，工程调节错误或使用不同原料所引起。一定有异常原因存在，只在去除，即可合乎制和要求，制出合规格的制品。

高原型

说明：形状似高原状。

结论：不同平均值的分配混在一起，应层别之后再做直方图比较。

E． 双峰型

说明：有两个高峰出现

结论：有两种分配相混合，例如两部机器或两家不同供应商，有差异时，

会出现此种形状，因测定值受不同的原因影响，应予层别后再作直方图。

F． 偏态型（偏态分配）

说 明：高处偏向一边，另一边低，拖长尾巴。可分偏右边，偏左边。 偏右边：例如，微量成分的含有率等，不能取到某值以下的值时，所出

现的形状。

偏左边：例如，成分含有高纯度的含有率等，不能取到某值以上的值时，

就会出现的形状。

结 论：尾巴拖长时，应检讨是否在技术上能够接受，工具磨损或松动

时，亦有此种现象发生。

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4． 直方图之使用注意事项 A． 异常值应去除后再分组。

B． 对于从样本测定值推测群体形态，直方图是最简单有效的方法。

C． 应取得详细之数据资料（例如：时间、原料、测定者、设备、环境条件

等。）

D． 进行制程管理及分析改善时，可得用层别方法，将更容易找出问题的症

结点，对于品质的改善，有事半功倍的效果。 四． 直方图的应用 1．

测知制程能力，作为改善制程的依据。

自制程中所搜集的数据，经整理成为次数分配表，再绘成直方图后，即可由其集中与分散的情形来看出制程的好坏。直方图的重点在于平均值（X）的所在，经修匀后的分配如为常态分配，则自弯曲点中引一横轴之平行线，可求得表现差异性的标准差（σ）。良好的制程，平均数应接近规格中心，标准差则愈小愈佳。 2．

计算产品不良率

品质改善循环活动中，常需计算改善活动前、中、后之不良率，藉以此较有无改善成效。其不良率可直接自次数分配表中求得，说可自直方图中计算出来。

例如：某产品之重量直方图如图示，其规格为35±3g

50 50 40 40 38 30 30 30 28 20 20 20 15 12 10 10 8 6

29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

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由图中与规格界限比较，可知在规格下限以下的有35件，超出规格上限的有64件，供不应求有99件，占总数307件之32.25%，即不良率为32.25%。 3．

测知分配型态（参阅第一.3节）

由直方图之形状，得知制程是否异常。 4．

藉以订定规格界定。

在未订出规格界限之前，可依据所搜集编成之次数分配表，测知次数分配是否为常态分配，如为常态分配时，则可根据计算得知之平均数与标准差来订出规格界限。一般而言，平均数减去3个标准差得规格下限，平均数加上3个标准差则得规格上限，或按实际需要而订出。 5．

与规格或标准值比较

要明了制程能力的好坏，必须与规格或标准值比较才可显现出来；一般而言，我们希望制程能力（直方图）在规格界限内，且最好制程的平均值与规格的中心相一致。

A． 合乎规格 （1） 理想型

制程能力在规格界限内，且平均值与规格中心一致，平均数加减4倍标准差为规格界限。制程稍有变大或变小都不会超过规格值，是一种最理想的直方图，表示制品良好，能力足够。

规格 下限 制品范围 上限 （2） 一侧无余裕 制品偏一边，而另一边还有余裕很多，若制程再变大（或变小）很可能会有不良发生，必需设法使制品中心值与规格中心值吻合才好。

规格 下限 制品范围 上限 10

（3） 两侧无余裕

制品的最大值与最小值均在规格内，但都在规格上下限两端，也表示其中心值与规格中心值吻合，虽没有不良品发生，但若制程稍有变动，就会有不良品产生之危险，要设法提高制品的精度才好。

下限 规格 制品范围 上限 （4） 余裕大多

实际制程在规格界限内，但变尾距规格界限太远。亦即产品品质均匀，变异小。如果此种情形是因增加成本而得到，对公司而言并非好现象，故可考虑缩小规格界限或放松品质变异，以降低成本，减少浪费。

下限 规格 制品范围 上限 B． 不合乎规格 （1） 平均值偏左

如果平均值偏向规格下限并伸展至规格下限左边，或偏向规格上限并伸展至规格上限的右边，但制品呈常态分配，此即表示平均位置的偏差，应针对固定的设备、机器、原料等方向去追查。

SL

SU SL SU

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（2） 分散度过大

下限 （3） 完全在规格之外

规格

规格

上限 制品范围 制品范围 6． 调查是否混入两个以上不同群体

如果直方图呈现双峰型态，可能混合了两个不同群体，亦即制程为两种不同群体，诸如两个不同班别、不同生产线、不同的材料、不同的操作员、不同机台等。生产出来的制品混在一起。此时，需将其层别，将不同班别、生产线、材料、操作员、机台、制造出来的制品不摆在一起，以便趁早找出造成不良的原因。 7．

研究设计时的管制界限可否用于制程管制

计量值管制图如X-R管制图，当σ未知，以X作为中心线，X+A2R作为管制上限，X-A2R作为管制下限，做为设计的管制界限。当每天计算的结果（X，R）点绘在设计管制界限内，若未呈现任何规则，一般即可将此设计管制界限延伸为实际之制程管制界限。但是，如果产品本身订有规格界限时，尚应将所搜集的数据，作次数分配表，并绘成直方图，此直方图如能在规格界限内，始可将此管制界限作为管制制程之用。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/15aa.html