【数学】四川省雅安市2015届高三第三次诊断性考试(理)

雅安市高中2015级第三次诊断性考试 (理)

（本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，答题时间120分钟） 注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3.考试结束后，将答题卡收回。

第Ⅰ卷 （选择题，50分）

一、选择题：(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.)在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

21. 已知集合M?xx?x?0，N???1,0?,则M?N?（ ）

??A. ??1,0,1? B. ??1,1? C. ?0?

D. ?

2. 已知向量a＝(1,2)，b＝(x，－4)，若a∥b，则x=（ ） A．4

B．－4

C．2

D．-2

3. 设a,b∈R,则“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的（ ） A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 4. 设α为锐角，若cos(?? 4

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

?6)＝5，则sin(2??

?3)的值为（ ）

A．

12 2524 25 B．

24 2512 25C. -

D．-5. 执行如图所示的程序框图,若输入n的值为3,则输出s的值是（ ）

1

A. 1 B. 2 C. 4

D. 7

6. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）

A. 8?2? 3B. 8?? 3C. 8?2?

D.

2? 37. 已知直线l：x?ky?5?0与圆O:x2?y2?10交于A,B两点且OA?OB?0，则k（ ） A.2

B. ?2

C. ?2

D.

?2 8. 若实数a，b满足a2＋b2≤1，则关于x的方程x2－2x＋a＋b＝0有实数根的概率是（ ）

A.

3131? B．? 42?4?2C．

31? 52?D．

31? 5?9.过抛物线x?4y的焦点作直线l交抛物线于A,B两点，分别过A,B作抛物线的切线l1,l2,则l1与l2的交点P的轨迹方程是（ ） A.y??1

B.y??2 C.y?x?1 D. y??x?1

*10. 对于定义在正整数集且在正整数集上取值的函数f(x)满足f(1)?1，且对?n?N,有

2

f(n)?f(n?1)?f(f(n))?3n?1,则f(2015)?（ ）

A. 2014 B. 2015 C. 2016 D. 2017

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11. 已知(1＋2i) z＝3－i(i为虚数单位)，则复数z = 12. 在二项式(x-22n)的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和x为 .

13. 若函数f(x)?(a?2)x2?2ax?1有零点，但不能用二分法求其零点，则a的值______ ππ1

x＋?cos?x－?与直线y＝在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为14．曲线y＝2sin??4??4?2

P1，P2，P3，…，则|P2P4|＝________

15. 以下命题，错误的是_________（写出全部错误命题）

①若f(x)?x3?(a?1)x2?3x?1没有极值点，则?2?a?4

mx?11在区间??3,???上单调，则m?

3x?3lnx1?m有两个零点，则m? ③若函数f(x)?xe②f(x)?④已知f(x)?logax(0?a?1),k,m,n?R且不全等，

?则f(k?mm?nk?n)?f()?f()?f(k)?f(m)?f(n) 222三、解答题：(本大题共6个小题,75分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16．（本题满分12分）

已知向量p＝(2sin x，3cos x)，q＝(－sin x,2sin x)，函数f(x)＝p·q (1)求f(x)的单调递增区间；

(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f(C)＝1，c＝1，ab＝23， 且a>b，求a，b的值． 17. （本题满分12分）

雅安市某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．

3

（1）求直方图中x的值；

（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；

（3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率） 18. （本题满分12分）

如图1在Rt?ABC中，?ABC?90，D、E分别为线段AB 、AC的中点，

?AB?4,BC?22．以DE为折痕，将Rt?ADE折起到图2的位置，使平面A?DE?平

面DBCE，连接A?C,A?B，设F是线段A?C上的动点，满足CF??CA?． （1）证明：平面FBE?平面A?DC；

°（2）若二面角F?BE?C的大小为45，求?的值．

19.（本小题满分12分）

已知数列?an?的前项n和为Sn，点(n,Sn)(n?N)均在函数f(x)?3x?2x的图象

?2上。

（1）求数列?an?的通项公式；

4

（2）设bn?3,Tn是数列?bn?的前n项和，求使得2Tn???2015对所有n?N?anan?1都成立的实数?的范围 20. (本小题满分13分)

6x2y2已知椭圆2+2?1,(a?b?0)的离心率e=，直线y?x与椭圆交于A，B两点，

ab3C为椭圆的右顶点, OA?OC?（1）求椭圆的方程；

3 2EF（2）若椭圆上存在两点E,F使OE?OF??OA,??(0,2)，求?O21. （本题满分14分））

已知f(x)?mx?alnx?m,g(x)?（1）求g(x)的极值；

（2）设m=1,a=0，求证对?x1,x2??3,4?(x1?x2),f(x2)?f(x1)?恒成立；

面积的最大值。

ex，其中m,a均为实数， xeex2ex?1g(x2)g(x1)（3）设a?2，若对?给定的x0??0,e?，在区间?0,e?上总存在t1,t2(t1?t2)使得

f(t1)?f(t2)?g(x0)成立，求m的取值范围。

雅安市高中2015级第三次诊断性考试试题(理)参考答案及评分意见

5

一、1.C 2.D 3.A 4.B 5.C 6.A 7.B 8.A 9.A 10.C 二、11. 16.解:

(1)f(x)＝－2sin2x＋23sin xcos x ＝－1＋cos 2x＋23sin xcos x

π

＝3sin 2x＋cos 2x－1＝2sin(2x＋)－1 …………………………3分

6πππ

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

262ππ

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

36

ππ

kπ－，kπ＋?(k∈Z)．…………………………6分 ∴f(x)的单调增区间是?36??π

(2)∵f(C)＝2sin(2C＋)－1＝1，

6π

∴sin(2C＋)＝1，

6

πππ

∵C是三角形的内角，∴2C＋＝，即C＝ …………………………8分

626a2＋b2－c23

∴cos C＝＝，即a2＋b2＝7.

2ab212

将ab＝23代入可得a2＋2＝7，解得a2＝3或4.

a∴a＝3或2，∴b＝2或3.

∵a>b，∴a＝2，b＝3 ……………………………12分. 17. 解:

（1）由直方图可得：

17-i 12. -1 13. 2或-1 14. ? 15. ①②③ 5520?x?0.025?20?0.0065?20?0.003?2?20?1．

所以 x=0.0125． ………………………………3分 （2）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：

0.003?2?20?0.12，

因为1200?0.12?144，

所以1200名新生中有144名学生可以申请住宿． ………………………………9分

6

（3）X的可能取值为0,1,2,3,4.

1由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为4，

81?3??1??3?27P(X?0)????P(X?1)?C14?????42564?????4?64, , 27?1??3??1??3?3P(X?2)?C?????P(X?3)?C34??????4??4?128,?4??4?64,

24223431?1?P(X?4)?????4?256． ………………………………10分

所以X的分布列为：

4X P EX?0?0 1 2 3 4 81256 2764 27128 364 1256 812727311?1??2??3??4??1EX?4??125664128642564．（或）

所以X的数学期望为1． ………………………………12分 18.解: （1）

平面A?DE?平面DBCE,A?D?DE

∴A?D?平面DBCE ∴A?D?BE∴DE?D,E分别为中点

11BC?2,BD?AB?2 ………………………………2分 22在直角三角形DEB中，tan?BED?BDBD2?2,tan?CDE?? DECB21?tan?BEDtan?CDE?0

∴?BED??CDE?90得BE?DC∴BE?平面A?DC，又BE?平面FEB, ∴平面FEB?平面A?DC ………………………………6分 （2）作FG?DC,垂足为G,则FG?平面DBCE,

设BE交DC于O点，连OF，

7

由（1）知，?FOG为二面角F－BE－C的平面角 …………………7分 由FG//A?D,FGCF???,A?DCA?∴FG??A?D?2?

同理，得CG=?CD，DG=（1??）CD=2（31??）DO?BD?DE2323?31??）?，∴OG?DG?DO?2（ BE33在Rt?OGF中，由tan?FOG?FG?OG2?2（31??）?233?1 …………10分

得，??1?3 ………………………………12分 3方法2：BE?平面A?DC，设BE交DC于O点，连OF，

则?FOC为二面角F－BE－C的平面角 ………………………………7分 又

DB?2,CB?22 ∴CD?23 43 ………………………………8分 3由DO:OC?1:2得OC?在直角三角形A?DC中?A?CD?30?,A?C?4，?FOC?45?∴?OFC?105? 由

OCCF43CF3CF?4????1??得从而得， ………12分 ???3CA3sin105sin75方法3：（向量法酌情给分）

以D为坐标原点DB，DE，DA?分别为OX，OY，OZ轴建立空间直角坐标系，各点坐标分别为D（0，0，0），A?（0，0，2），B（2，0，0）， C（2，22，0），E（0，2，0）.

（1）BE?(?2,2,0),DC?(2,22,0),DA??(0,0,2)

∵BE?DC??4?4?0,∴BE?DC, ∵BE?DA??0,∴BE?DA? 又DCDA??D，∴BE?平面A?DC

又BE?平面FBE

所以平面FBE?平面A?DC …………………………………6分

（2）设CF??CA??CF??(?2,22,2)?F(2?2?,22?22?,2?)

8

设平面BEF的法向量为

n?(x,y,z)BE?(?2,2,0),BF?(?2?,22?22?,2?)

???2x?2y?0， ????2??x?(22?22?)?y?2??z?0取n?(?,2?,3??2) …………………………………8分 又

平面BEC的法向量为n??(0,0,1)

?∴cos45?|3??2|3?2?(3??2)2?22得3??6??2?0 2解得??1? 19. 解：

33，又∵0???1 ∴??1? ……………12分 33（1）?点(n,S)在函数f(x)?3x2?2x的图象上， ?Sn?3n?2n

当n?1时，a1?S1?3?2?1 …………………………2分 当n?2时，an?Sn?Sn?1?(3n?2n)?3(n?1)?2(n?1)

?6n?5 …………………………5分 当n?1时，6n?1?1符合

?an?6n?5(n?N) …………………………6分 （2）?bn??22?2?331?11??????, anan?1(6n?5)?6(n?1)?5?2?6n?56n?1?1??1??11?1???11?????????????? ?2??7??713??6n?56n?1?? ?Tn? ?1?1??1?? ……………………………10分 2?6n?1? ?2Tn＜1

9

又?2Tn???2015对所有n?N都成立 ?1???2015

故??2016 ………………………………12分 20. 解：

（1）根据题意，不妨设A(t,t)且t?0, OA?(t,t) , OC?(0,a)

??a?t?3 ………………………………1分 2t2t2+2?1 ………………………………2分 2abc6? a3a2?b2?c2

联立①②③④解得：a2?3,b2?1

x2２?椭圆的方程为：+y?1 ………………………………6分

3（2）设E(x1,y1),F(x2,y2)，EF中点为M(x0,y0)，

??2x0?x1?x2??OE?OF??OA,???2y?y?y?012??分

3?2 ………………………………73?2?x122?y?1?1?3E,F在椭圆上，则 ?2 相减可得

?x2?y2?12??322x1-x222?y1?y2?0 3kEF?y1?y21x?x21???1??

x1?x23y1?y23 10

?直线EF的方程为：y?31?3?????x???

??43?4?x2?y2?1整理得： 即x??3y?3?,代入34y2?23?y??2?1?0

3?2?1?，y1.y2? ………………………………9分 ?y1?y2?42EF??x1?x2???y1?y2?22 ?10y1?y2

?103?2?4??2?1?2

4??2 ?102原点O?0,0?到直线EF的距离为h?3? ………………………………11分 10S?ABC?1EFh 23?4??2 ………………………………12分 ?4?3?2?4??2?4

3?2?4??23??? 422当??21. 解： （1）?g(x)?2时等号成立，所以?OEF得最大值为3。…………………………13分 2ex?e(x?1)',?g(x)?,????,1??,?1,????,?g(x)极大值g(1)?1，无xxee极小值； ………………………………4分

11

（2）m=1,a=0，

?f(x)?x?1,在[3,4]上 是增函数

?ex?ex,在[3,4]上是增函数 g(x)ex2ex1 -g(x2)g(x1)设3?x1?x2?4，则原不等式转化为f(x2)-f(x1)<即f(x2)-ex2ex1 …………………………………6分

即证?x1?x2,h(x2)?h(x1),即h(x)在?3,4??

h'(x)=1-ex<0在[3,4]恒成立

即h(x)在?3,4??，即所证不等式成立 ……………………………………9分

(3）由(1）得g(x)在?0,1???1,e??,g(x)max?g(1)?1所以，

g(x)??0,1?

'又f(x)?m?2,当m?0时，f'(x)?0,f(x)在?0，e??不符合题意 x当m?0时，要?t1,t2使得f(t1)?f(t2)，

那么由题意知f(x)的极值点必在区间?0,e?内，即0?得m?2?e m2?2??2?，且函数f(x)在?0,??,?,e?? e?m??m?由题意得g(x)在?0,e?上的值域包含于f(x)在?0,??2??2??和?,e?上的值域 m??m??23?f()?0?2??m? ??,e?内，?me?1m????f(e)?1下面证t??0,

??22??mm?me?,即证2e?m?0 t?e时，，取，先证f(t)?1?mm?12

令w(x)?2ex?x,?w'(x)?2ex?1?0,在??3?,???内恒成立 ?e?1??w(x)?,?w(x)?w(3)?0,?2em?m?0 e?133?1,?m? e?1e?1………………… 14分

?m?m?m再证f(e)?1,?f(e)?me?m?m?

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