2022届海南省八校联盟高二上学期期末联考数学试题(解析版)

第 1 页 共 16 页 海南省八校联盟高二上学期期末联考数学试题

一、单选题

1．设命题:p x R ?∈，||x x >，则p ?为（ ）

A ．0x R ?∈，00||x x <

B ．x R ?∈，||x x <

C ．x R ?∈，||x x …

D ．0x R ?∈，00||x x …

【答案】D

【解析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．

【详解】

解：全称命题的否定是特称命题，所以，命题:p x R ?∈，||x x >，则p ?为：0x R ?∈，00||x x …． 故选：D ．

【点睛】

本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．

2．某学校的老师配置及比例如图所示，为了调查各类老师的薪资状况，现采用分层抽样的方法抽取部分老师进行调查，在抽取的样本中，青年老师有30人，则该样本中的老年教师人数为（ ）

A ．10

B ．12

C ．18

D ．20

【答案】B 【解析】由分层抽样的特点，运用比例关系求出结果

【详解】

设样本中的老年教师人数为x 人，由分层抽样的特点得：

3050%20%x =，所以12x =，故选B

【点睛】

本题考查了分层抽样的计算，由分层抽样的特点结合比例关系求出结果，较为基础

第 2 页 共 16 页 3．设直线l 的方向向量为a r ，平面α的法向量为n r ，l α?，则使//l α成立的是（ ）

A ．()1,1,2a =-r ，()1,1,2n =--r

B ．()2,1,3a =-r ，()1,1,1n =-r

C ．()1,1,0a =r ，()2,1,0n =-r

D ．()1,2,1a =-r ，()1,1,2n =r

【答案】B

4．在8件同类产品中，有6件是正品，2件次品，从这8件产品中任意抽取2件产品，则下列说法正确的是

A ．事件“至少有一件是正品”是必然事件

B ．事件“都是次品”是不可能事件

C ．事件“都是正品”和“至少一个正品”是互斥事件

D ．事件“至少一个次品”和“都是正品”是对立事件

【答案】D

【解析】本题首先可以根据题意得出所有的可能种类，然后通过必然事件以及不可能事件的性质判断出A 、B 错误，再然后通过互斥事件与对立事件的性质判断出C 错误以及D 正确，即可得出答案。

【详解】

因为抽取的两件产品有可能都是次品，所以A 、B 错；

因为事件“至少一个正品”包含事件“都是正品”，所以C 错；

因为事件“至少一个次品”和事件“都是正品”包含了所有可能的事件，故互为对立事件，所以D 正确，综上所述，故选D 。

【点睛】

本题考查了事件的关系，主要考查了必然事件、不可能事件、互斥事件、对立事件的相关性质，提高了学生对于事件的关系的判断能力，体现了基础性，是简单题。

5．若焦点在x 轴上的椭圆 22116x y m +=+

的离心率为2，则m =（ ） A ．31

B ．28

C ．25

D ．23

【答案】D 【解析】根据椭圆定义，用m 表示出2a 和2c ，再根据离心率求得m 的值。

【详解】

焦点在x 轴上，所以22

1,6a m b =+=

所以2165c m m =+-=-

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离心率2

e = ，所以22

25314c m e a m -===+

解方程得m=23 所以选D 【点睛】

本题考查了椭圆定义及离心率，属于基础题。 6．篮球运动员甲在某赛季前15场比赛的得分如表：

则这15场得分的中位数和众数分别为（ ） A ．22，18 B ．18，18

C ．22，22

D ．20，18

【答案】B

7．下列说法：①若线性回归方程为$35y x =-，则当变量x 增加一个单位时，y 一定增加3个单位；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不会改变；③线性回归直线方程y bx a =+$$$必过点()

,x y ；④抽签法属于简单随机抽样；其中错误的说法是（ ） A ．①③ B ．②③④

C ．①

D ．①②④

【答案】C

8．在三棱柱111ABC A B C -中，若1,,AB a AC b AA c

===r r r u u u r u u u r u u u r ，则1C B =u u u r

（ ）. A ．a b c +-r r r

B ．a b c --+r r r

C ．a b c -+-r r r

D ．a b c --r r r

【答案】D

【解析】可先画出三棱柱，结合向量的加法及减法公式将1C B u u u r 用1,AB AC AA uu u r uuu r uuu r

，

进行代换即可 【详解】

如图所示：根据向量线性运算的加法法则有1111C A A C A AB b c a B =++=--+u u u r u u u u r u u u r u u u r r r r

， 整理顺序得：1a C B b c --=u u u r r r r

第 4 页 共 16 页

故选：D

【点睛】

本题考查空间向量线性运算的加法及减法运算，属于基础题

9．已知双曲线22

:11648

x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上一点，1FQ QP =u u u r u u u r ，O 为坐标原点，若1|10|PF =，则||OQ =（ ）

A ．10

B ．1或9

C ．1

D ．9

【答案】D 10．“方程22

162

x y m m +=--表示的曲线为椭圆”是“26m <<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不

必要条件

【答案】A 【解析】先求出方程22

162

x y m m +=--为椭圆时m 的范围，然后根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可。

【详解】 若方程22

162

x y m m +=--表示的曲线为椭圆， 则602062m m m m ->??->??-≠-?

，解得26m <<且4m ≠， 则“方程22

162

x y m m +=--表示的曲线为椭圆”是“26m <<”的充分不必要条件。 【点睛】

方程

22

1 x y

m

n

+=，若0

m n

=>，则方程表示的曲线为圆；若0

m>，0

n>，且m n

≠，则方程表示的曲线为椭圆；若0

mn<，则方程表示的曲线为双曲线。

11．过焦点为F的抛物线y2＝12x上一点M向其准线作垂线，垂足为N，若直线NF的斜率为

3

-，则|MF|＝（）

A．2 B．23C．4 D．43

【答案】C

【解析】利用抛物线的方程求出焦点坐标，利用已知条件转化求解||

MF即可．

【详解】

解：抛物线212

y x

=的焦点坐标()

3,0，则6

DF=，

直线NF的斜率为

3

-，可得23

DN=，

则抛物线212

y x

=可得：1212x

=，解得1

x=，所以()

1,23

M，

||314

MF=+=．

故选：C．

【点睛】

本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．12．如图，椭圆

22

22

1

x y

a b

+=（0

a b

>>）的两焦点为1F，2F，长轴为12

A A，短轴为

12

B B，若以

12

F F为直径的圆内切于菱形

1221

A B A B，切点分别为A，B，C，D，则菱

形

1221

A B A B的面积

1

S与矩形ABCD的面积

2

S的比值为（）

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第 6 页 共 16 页

A 353-

B 51-

C ．353+

D ．51【答案】D

【解析】菱形1221A B A B 的面积12S ab =，求出矩形ABCD 的长和宽，从而求出面积

22224abc S a b =+，进而得到2122

12S a S c =-，然后利用圆内切于菱形，可以求出a c ，的比值，即可求出12

S S . 【详解】

由题意知，菱形1221A B A B 的面积12S ab =，

设矩形ABCD 中，2BC n =，2AB m =，连结DO （如下图）， 则易知11AOB n 和1

DFO n 相似，则a m b n =， 又因为2222OD c m n ==+，可得22m a b =+，22n a b =+，

则矩形ABCD 的面积2

222

44abc S mn a b ==+， 所以222222122221222

S a b a a c a S c c c ++-===-， 因为11DO A B ⊥，可得22ab c a b =+

两端同时平方得22222a b c a b =+（）

， 由于222b a c =-，则2222222a a c c a c -=-，

即422430a a c c -+=，

则解得

2

2

35

2 a

c

+

=

或者

2

2

35

2

a

c

-

=，

由于a c

>，故2

2

35

a

c

-

=舍去，即

2

2

35

a

c

+

=.

所以

2

1

2

2

13515

1

22

S a

S c

+

=-=-=+.

故选D.

【点睛】

本题考查了圆与椭圆的综合，椭圆的性质，及面积的计算，属于难题。

二、填空题

13．若焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y

3

2

=±x，虚轴长为6，则实轴长为_____．【答案】4

14．已知点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，点A（2，y1），B（

1

2

，y2）分别是抛物线上位于第一、四象限的点，若|AF|＝10，则|y1﹣y2|＝_____．

【答案】12

【解析】由已知根据焦半径公式求得p，得到抛物线方程，进一步求得B、A的坐标，即可求出．

【详解】

解：||210

2

p

AF=+=

Q，16

p

∴=，

则抛物线的方程为232

y x

=，

把

1

2

x=代入方程，得4

y=-(4

y=舍去），即

1

,4

2

B

??

-

?

??

，

把2

x=代入方程，得8

y=(8

y=-舍去），即()

2,8

A，

第 7 页共 16 页

则(

)

128412

y y

-=--=，

故答案为：12．

【点睛】

本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题．

15．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染.某环保人士从当地某年的AQI记录数据中，随机抽取了15天的AQI数据，用如图所示的茎叶图记录.根据该统计数据，估计此地该年空气质量为优或良的天数约为__________．（该年为366天）

【答案】244

16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AD，C1D1的中点，O为侧面BCC1B1的中心，则异面直线MN与OD1所成角的余弦值为_____．

【答案】1 6

三、解答题

17．为了解某校高一1000名学生的物理成绩，随机抽查了部分学生的期中考试成绩，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．

（1）估计该校高一学生物理成绩不低于80分的人数；

（2）若在本次考试中，规定物理成绩在m分以上（包括m分）的为优秀，该校学生物理成绩的优秀率大约为18%，求m的值．

【答案】（1）540人；（2）92.5．

【解析】（1）由频率分布直方图求出该校高一学生物理成绩不低于80分的频率，由此能求出该校高一学生物理成绩不低于80分的人数．

第 8 页共 16 页

第 9 页 共 16 页 （2）由0.240.18>，得90100m <<，由此列方程能求出m 的值．

【详解】

解：（1）由频率分布直方图得：

该校高一学生物理成绩不低于80分的频率为：

(0.030.024)100.54+?=，

∴该校高一学生物理成绩不低于80分的人数为：10000.54540?=人．

（2）0.240.18>Q ，90100m ∴<<， ∴0.240.18900.2410

m --=， 解得92.5m =．

【点睛】

本题考查频数的求法，考查实数值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

18．一个袋中装有6个大小形状完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6．

（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和为6的概率；

（2）先后有放回地随机抽取两个球，两次取的球的编号分别记为a 和b ，求5a b +>的概率．

【答案】（1）215

；（2）1318. 【解析】（1） 从袋中随机取两个球， 利用列举法求出所有的基本事件个数， 再用列举法求出取出的编号之和为6 包含的基本事件有个数， 由此能求出取出的球的编号之和为6概率 ．

（2） 基本事件总数，再用列举法求出5a b +>包含的基本事件(),a b 的个数， 由此能求出5a b +>的概率 ．

【详解】

解：（1）从袋中随机抽取两个球共有15种取法，

取出球的编号之和为6的有()1,5，()2,4，共2种取法， 故所求概率215

m P n ==. （2）先后有放回地随机抽取两个球共有36种取法，

两次取的球的编号之和大于5的有()1,5，()1,6，()2,4，()2,5，()2,6，()3,3，()3,4，()3,5，()3,6，()4,2，()4,3，()4,4，()4,5，()4,6，()5,1，()5,2，()5,3，()5,4，

第 10 页 共 16 页 ()5,5，()5,6，()6,1，()6,2，()6,3，()6,4，()6,5，()6,6，共26种取法， 故所求概率26133618P =

=. 【点睛】

本题考查古典概型概率的求法， 是基础题， 解题时要认真审题， 注意列举法的合理运用 ．

19．求满足下列条件的椭圆或双曲线的标准方程：

（1）椭圆的焦点在y 轴上，焦距为4，且经过点A （3，2）；

（2）双曲线的焦点在x 轴上，右焦点为F ，过F 作重直于x 轴的直线交双曲线于A ，B 两点，且|AB |=3

【答案】（1）2211612y x +=（2）22

1369

x y -= 【解析】（1）设出椭圆的标准方程，根据下焦点即可得知上焦点坐标，由椭圆定义即可求得a ，结合焦距即可求得b ，进而得到椭圆的标准方程。

（2）因为过右焦点F 作垂直，即可表示出A 、B 两点的坐标及长度，进而根据3AB =求得a 、b 的关系，结合双曲线中a 、b 、c 的关系即可求得a 、b 的值，进而求得双曲线的标准方程。

【详解】

解：（1）设椭圆的标准方程为22

221(0)y x a b a b

+=>>， 上焦点为1(0,2)F ，下焦点为2(0,2)F -，

根据椭圆的定义知，12238a AF AF =+==，即4a =， 所以22216412b a c =-=-=， 因此，椭圆的标准方程为22

11612

y x += （2）设双曲线的标准方程为22

221(0,0)x y a b a b

-=>>， 把x c =带入双曲线方程，得2b y a =±，所以223b a

=.

由

2

2

2

5 1

4

b

e

a

=+=，得2

a b

=.

所以6,3

a b

==，

所以双曲线的标准方程为

22

1

369

x y

-=.

【点睛】

本题考查了椭圆与双曲线的定义及标准方程的求法，属于基础题。

20．如图，菱形ABCD的边长为4，60

DAB

∠=?，矩形BDFE的面积为8，且平面BDFE⊥平面ABCD.

(1)证明：AC BE

⊥；

(2)求二面角E AF D

--的正弦值.

【答案】（1）见解析；（2）

15

4

【解析】(1) 因为四边形BDFE是矩形，所以BE BD

⊥,再由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直；（2）建立坐标系得到各个面的法向量，进而得到夹角的余弦值，再求正弦值.

【详解】

(1)证明：因为四边形BDFE是矩形，所以BE BD

⊥.

因为平面BDFE⊥平面ABCD，且平面BDFE?平面ABCD BD

=，

所以BE⊥平面ABCD.

又AC?平面ABCD，所以AC BE

⊥.

(2)解：设AC与BD的交点为O，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz

-.

因为菱形ABCD的边长为4，且60

DAB

∠=?，所以4

BD=.

因为矩形BDFE的面积为8，所以2

BE=.

则()

23,0,0

A-，()

0,2,0

D，()

0,2,2

E-，()

0,2,2

F，

第 11 页共 16 页

第 12 页 共 16 页 所以()0,4,0EF =u u u v ，()23,2,2AF =u u u v ，(

)23,2,0AD =u u u v . 设平面AEF 的法向量为()1111,,n x y z =u v ，

则{1111114023220

EF n y AF n x y z ?==?=++=u u u v u v u u u v u v ， 令11x =，则10y =，13z =-，所以()

11,0,3n =-u v . 设平面ADF 的法向量为()2222,,n x y z =u u v ，

则2222222232202320

AF n x y z AD n x y ??=++=???=+=??u u u v u u v u u u v u u v ， 令21x =，则23y =-，20z =，所以()

21,3,0n =-u u v . 所以12121211cos ,224n n n n n n ?===?u v u u v u v u u v u v u u v ，所以1215sin ,n n =u v u u v . 所以二面角E AF D --的正弦值为

15. 【点睛】

这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角。求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。面面角一般是要么定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，或者建系来做。

21．在如图所示的几何体中，四边形CDEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，22AB BC CD ==，DC FB ⊥，CF ⊥平面ABCD ．

()1求BE 与平面EAC 所成角的正弦值；

第 13 页 共 16 页 ()2线段BE 上是否存在点M ，使平面EAC ⊥平面DFM ？若存在，求BM

BE 的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）23

；（2）见解析 【解析】()1以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，CF 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面EAC 的法向量，利用向量法能求出BE 与平面EAC 所成角的正弦值． ()2设线段BE 上存在点(,M a b ，)c ，BM BE λ=u u u u r u u u r

，01λ≤≤，使平面EAC ⊥平面DFM ，求出平面DMF 的法向量和平面EAC 的法向量，利用向量法求出线段BE 上不存在点M ，使平面EAC ⊥平面DFM ．

【详解】 () 1Q 四边形CDEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，DC FB ⊥，CF ⊥平面ABCD ．

∴以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，

CF 为z 轴，建立空间直角坐标系，

设222AB BC CD ===，则(0,B 1，0)，

(1,E 0，1)，(2,A 1，0)，

(0,C 0，0)，(0,F 0，1)，

()1,1,1BE =-u u u r ，(2,CA u u u r =1，0)，

(1,CE =u u u r 0，1)，

设平面EAC 的法向量(,n x =r y ，)z ，

则200

n CA x y n CE x z ??=+=???=+=??u u u r r u u u r r ，取1x =， 得()1,2,1n =--r ，

设BE与平面EAC所成角为θ，

则sin

BE n

BE n

u u u r r

u u u r r

θ

?

===

?

．

BE

∴与平面EAC

．

()2线段BE上不存在点M，使平面EAC⊥平面DFM．

理由如下：

设线段BE上存在点(,

M a b，)c，BM BE

λ

=

u u u u r u u u r

，01

λ

≤≤，使平面EAC⊥平面DFM，则()()

,1,,,

a b cλλλ

-=-，()

,1,

Mλλλ

∴-，()

,1,

DMλλλ

=-

u u u u r

，(0,

DF=

u u u r

0，1)，设平面DMF的法向量(,

m x

=

r

y，)z，

则

()

10

m DM x y z

m DF z

λλλ

??=+-+=

?

?

?==

??

u u u u r

r

u u u r

r，取1

x=，得1,,0

1

m

rλ

λ

??

= ?

-

??

，

Q平面EAC⊥平面DFM，平面EAC的法向量()

1,2,1

n=--

r

，

2

10

1

m n

λ

λ

∴?=-=

-

r r

，解得[]

10,1

λ=-?，

∴线段BE上不存在点M，使平面EAC⊥平面DFM．

【点睛】

本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足面面垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

22．已知椭圆C：

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>

，长半轴长为短轴长的b倍，A，B分别为椭圆C的上、下顶点，点()()

,20

M t t≠．

()1求椭圆C的方程；

()2若直线MA，MB与椭圆C的另一交点分别为P，Q，证明：直线PQ过定点．

【答案】（1）

2

21

4

x

y

+=；（2）见解析

第 14 页共 16 页

第 15 页 共 16 页 【解析】()1

由题意知2222

2c a a b a b c ?=???=??=+???

，解出a 、b 即可．

()2点易知()0,1A ，()0,1B -，则直线MA 的方程为11y x t

=+，直线MB 的方程为3 1.y x t

=-分别与椭圆联立方程组，解得P x ，Q x ，可得P y ，,Q y P ，Q 坐标.结合对称性可知定点在y 轴上，设为N ，令直线PN ，QN 的斜率相等，即可得到定点．

【详解】

()1

由题意知22222c a a b a b c ?=???=??=+???

，解得21a b c ?=?=??=?， 所以椭圆C 的方程为2

214

x y +=． ()2易知()0,1A ，()0,1B -，

则直线MA 的方程为11y x t =+，直线MB 的方程为31y x t

=-． 联立221114

y x t x y ?=+????+=??，得224810x x t t ??++= ???， 于是284p t x t -=+，2244

p t y t -=+， 同理可得22436Q t x t =+，2

23636

Q t y t -=+，又由点()(),20M t t ≠及椭圆的对称性可知定点在y 轴上，设为N （0，n ）

则直线PN 的斜率22124n 484t t k t t --+=-+，直线QN 的斜率2

22236n 362436

t t k t

t --+=+， 令12k k =，则22

2222436n n 436824436

t t t t t t

t t ----++=-++，化简得

第 16 页 共 16 页 22224n 436n 36824t t t t t t

--+--+=-（）（），解得n=12， 所以直线PQ 过定点10,

.2?? ???

【点睛】

本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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