投资学习题

风险资产与无风险资产

1可选择的证券包括两种风险股票基金：A、B和短期国库券，所有数据如下： 股票基金A 股票基金B 短期国库券 期望收益% 10 30 5 标准差% 20 60 0 基金A和基金B的相关系数为-0.2。

（1） 画出基金A和基金B的可行集(5个点)。

（2） 找出最优风险投资组合P及其期望收益与标准差。

（3） 找出由短期国库券与投资组合P支持的资本配置线的斜率。

（4） 当一个投资者的风险厌恶程度A=5时，应在股票基金A、B和短期国库券中各投资

多少？

解：(1)

基金之间的协方差为cov(rA,rB)????A??B=(?0.2?20?60)??240

wa 0.0 0.2 0.4 0.8 1.0 (2)最优风险组合的权重为 wb 1.0 0.8 0.6 0.2 0.0 E（r）% 30 26 22 14 10 Sigma% 60 47.36243 35.28172 17.97776 20 wa?0.6818，wb?1?0.6818=0.3182

期望收益和标准差

E(rp)?(0.6818?10)?(0.3182?30)?16.36%

?P?{(0.68182?202)?(0.31822?602)?2?0.6818?0.3182(?240)}1/2?21.13%

（3）资本配置线是无风险收益点与最优风险组合的连线，它代表了短期国库券与最优风险投资组合之间的所有有效组合，资本配置线的斜率为

S?E(rp)?rf?pE(rp)?rf20.01A?P?16.36%?5%?0.5376

21.13%（4） 在给定的风险厌恶系数A的条件下投资者愿意投资到最优风险投资组合的比例为

y??16.36?5?0.5089 20.01*5*21.13这意味着A=5时的投资者愿意在这个最优风险资产组合中投入50.89%的财产，由于A、B两种股票在投资组合的比例分别为68.18%和31.82%，这个投资者分别投资于这两种股票的比例为：

股票A：0.5089*68.18%=34.70% 股票B：0.5089*31.82%=16.19%

总额：50.89%

2假定一个风险证券投资组合中包含大量的股票，它们有相同的分布，

E(r)?15%,??60%，相关系数??0.5

（1）含有25种股票的等权重投资组合期望收益和标准差是多少？

（2）构造一个标准差小于或等于43%的有效投资组合所需要最少的股票数量为多少？ （3）这一投资组合的系统风险为多少？

（4）如果国库券的收益率为10%，资本配置的斜率为多少？ 解：（1）E(rp)?15%,?p?[?2/n???2(n?1)/n]1/2?43.72% （2）?/n???(n?1)/n?43%^2

即3600?1800n?1800?1849n,n?1800/49?36.73

所以至少要37只股票组合才能达到目标。

（3）当n变得非常大时，等权重有效投资组合的方差将消失，剩下的方差来自股票间的协方差：

22?p????2?0.5?60%?42.23%

因此，投资组合的系统风险为43%。

（4）如果无风险利率为10%，那么不论投资组合的规模多大，风险溢价为15%-10%=5%，充分分散的投资组合的标准差为42.43%，资本配置线的斜率为S=5/42.43=0.1178。

3（1）一个投资组合的预期收益率是14%，标准差是25%，无风险利率是4%。一个投资者的效用函数是U?E(r)?0.5A?。A值为多少时，投资者会对风险投资组合和无风险资产感到无差异？

利用下表数据回答1，2，3问题 表

投资 A B C D 预期收益率 0.12 0.15 0.24 0.29 标准差 0.29 0.35 0.38 0.44 2U?E(r)?0.5A?2 其中A=3.

（2）根据上面的效用函数，你会选择哪一项投资？

（3）根据上面资料，如果你是一个风险中性的投资者，你会如何投资？ （4）如果对一个投资者来说，上述的公式中A=-2，那么这个人会选择哪一项投资？为什么？ （1）A=3.2 （2）投资C （3）D （4）D

因为风险爱好者风险厌恶系数是负的，为了获得更高的收益，他们更喜欢冒险。

优化投资组合

利用下面的数据，回答如下问题

短期国库券的收益现在是4.90%，你已经建立了一个最优风险资产投资组合，投资组合P，即你把23%的资金投资到共同基金A，把77%的资金投资到共同基金B。前者的收益率是8%，后者的收益率是19%。

（1） 投资组合P的预期收益率是多少？

（2） 假定你设计了一个投资组合C，其中34%的资金投资到无风险资产，其余的投资到

组合P中，那么这个新的投资组合的预期收益是多少？

（3） 如果投资组合P的标准差是21%，这个新组合的标准差是多少？确定在新的投资组

合中无风险资产、共同基金A和共同基金B的权重。 答：（1）E(rP)?0.23?8%?0.77?19%?16.47% （2）E(rC)?0.34?4.9%?(1?0.34)?16.47%?12.54% （3）?C?(1?0.34)?21%?13.86%

同基金A（0.23*66%=15.18%）和共同基金B（0.77*66%=50.82%）无风险资产34%

指数模型

3以下数据描绘了一个由三只股票组成的金融市场，而且该市场满足单指数模型。 股票 A B C 资本化（元） 3000 1940 1360 ? 1.0 0.2 1.7 平均超额收益率% 10 2 17 标准差% 40 30 50 市场指数组合的标准差为25%，请问： （1） 市场指数投资组合的平均超额收益率为多少？ （2） 股票A与股票B之间的协方差为多大？ （3） 股票B与指数之间的协方差为多大？

（4） 将股票B的方差分解为市场和公司特有两部分。 解：（1）总市场资本为3000+1940+1360=6300 市场指数投资组合的平均超额收益率为

3000/6300*10+1940/6300*2+1360/6300=17=9.05% （2）股票A与股票B的协方差等于

2cov(rA,rB)??A?B?M?1.0*0.2*25%2?0.0125

（3）股票B与指数之间的协方差为

22cov(rB,rM)??M?B?M??B?M?0.2*25%2?0.0125

（5） 股票B的方差?B?Var(?BrM?eB)??B?M??(eB) 系统风险：?B?M=0.2^2*25%^2=0.0025

B特有方差等于?(eB)??B??B?M?30%^2?0.0025??0.0875

2222222222

4假设用指数模型估计的股票A和股票B的超额收益的结果如下：

RA?1.0%?0.9RM?eA RA??2.0%?1.1RM?eB

?M?20%,?(eA)?30%,?(eB)?10%

计算每只股票的标准差和它们之间的协方差。 解：各种股票的方差为：??M??(e)

对于股票A，有：?A?0.90?0.2^2?0.3^2?0.1224，?A?35% 对于股票B，有：?B?1.10?0.2^2?0.1^2?0.0584，?B?24% 协方差为：?A?B?M?0.9*1.1*0.2^2?0.0396 对股票A和股票B分析估计的指数模型结果如下：

222222RA?0.12?0.6RM?eA RB?0.04?1.4RM?eB

?M?0.26 ?(eA)?0.20 ?(eB)?0.10

（1） （2） （3） （4） （5）

股票A和股票B收益之间的协方差是多少？ 每只股票的方差是多少？

将每只股票的方差分类到系统风险和公司特有风险中 每只股票和市场指数的协方差是多少？ 两只股票的相关系数是多少？

2答：（1）cov(rA,rB)??A?B?M?0.6*1.4*0.26^2?0.2417 （2）?A?M??(eA)?0.6^2*0.26^2?0.20^2?0.064336

22?B?M??2(eB)?1.4^2*0.26^2?0.10^2?0.142496

222(3)系统性风险?A?M=0.6^2*0.26^2=0.0243，公司风险?(eA)=0.2^2=0.04 系统性风险?B?M=1.2^2*0.26^2=0.1325，公司风险?(eB)=0.1^2=0.01 (4)?A?M?0.6*0.26^2?0.0406

2?B?M?1.4*0.26^2?0.0946

2222222(5)?A?B?M/(?A?B)=0.5931

2

CAPM

你预计无风险利率是6.1%，市场投资组合的预期收益是14.6%。

（1） 利用CAPM，根据下表所提供的数据，计算股票4的预期收益 （2） 画出证券市场线

（3） 在证券市场线上，找出每样资产对应的点

（4） 确定每样资产是被低估、被高估还是定价准确，计算其? 股票1 -0.1 6.29% 股票2 0.67 9.08% 股票3 1.95 27.24% 股票4 2.2 24.80% ? CAPM的E(r) 实际的E(r) 定价准确吗？ ? 答：

股票1 -0.1 5.25% 6.29% 被低估 2.23% （6.29-5.25）% 股票2 0.67 11.80% 9.08% 被高估 -1.61% （9.08-11.80）% 股票3 1.95 22.68% 27.24% 被低估 8.63% （27.24-22.68）% 股票4 2.2 24.80% 24.80% 合理定价 0.00% 0.00% ? CAPM的E(r) 实际的E(r) 定价准确吗？ ?错 ? 证券市场线是如何估计出来的？ 答：做回归，形式是：

ri?rf??0??1bi，如果CAPM是有效的，?0?0,?1?ri?rf

5（股票定价）：公司i在时期1将发行100股股票，公司在时期2的价值为随机变量V2。公司的资金都是通过发行这些股票而筹措的，以至股票的持有者有资格获得完全的收益现金流。最后，给出有关测算数据如下：

1000$之概率p=1/2，

V2=

800$之概率p=1/2，

cov(ri,rM)?0.045,var(rM)?0.30,rf?0.10,E(rM)?0.20.

试确定每股的合理价值。 解：应用证券市场线方程

E(ri)?rf?E(rM)?rcov(ri,rM)

?2(rM)

22该公司只有6个基金，集中与少数几种证券对整个基金的影响是很小的因此让该公司做选股可能更有利。

26. 艾比盖尔·格蕾丝有90万美元完全分散化的证券组合投资。随后，她继承了价值10万美元的ABC公司普通股。她的财务顾问提供了如下预测信息：

期望月收益率 月收益标准差

原始证券组合 0.67% 2.37% ABC公司 1.25% 2.95% ABC股票与原始证券组合的收益相关系数为0.40。

a. 遗产继承改变了格蕾丝的全部证券组合，她正在考虑是否要继承持有ABC股票。假定

格蕾丝继续持有ABC股票，请计算： i. ii. iii.

包括ABC股票在内的她的新证券组合的期望收益。 包括ABC股票在内的原组合收益的协方差。 包括ABC股票在内的新组合的标准差。

b. 如果格蕾丝卖掉ABC股票，她将投资于无风险的月收益率为0.42%的政府证券。 i. ii. iii.

包括政府证券在内的她的新组合的期望收益。 政府证券收益与原证券收益组合的协方差。 包括政府证券在内的新组合的标准差。

c. 包括政府证券在内的新证券组合与原证券组合的β系数，二者谁高谁低。

d. 格蕾丝经过与丈夫商量后，考虑要卖出10万美元的ABC公司股票，买入10万美元的

XYZ公司普通股。这两种股票的期望收益和标准差都相等。她丈夫说，是否用XYZ公司股票替代ABC公司股票并无区别。判断她丈夫的说法是否正确，并说明理由。 e. 格蕾丝在最近和她的财务顾问交谈中说：“如果我的证券投资不亏本，我就满足了。我

虽然希望得到更高的收益，但我更害怕亏本。” i. ii.

用收益标准差作为风险衡量的标准，指出格蕾丝的一个不合理之处。 给出当前情况下一种更合适的风险衡量方法。

答：a. 用OP表示原始组合，ABC表示新继承的股票，NP表示新的组合。 i. E(rNP)??OPE(rOP)??ABCE(rABC)?0.9?0.67%?0.1?1.25%?0.728%。

ii. Cov????OP??GS?0.4?2.37?2.95?2.8

222?NP?[?OP?OP??ABC??ABC?2?OP?ABC(CovOP,ABC)]1/2iii.

?(0.92?2.372?0.12?2.952?2?0.9?0.1?2.80)1/2 ?2.2673%?2.27%b. 用GS表示政府债券，有：

i. E(rNP)??OPE(rOP)??GS(rGS)?0.9?0.67%?0.1?0.42%?0.645% ii. Cov?r??OP??GS?0?2.37?0?0 iii

2222?NP?[?OP?OP??GS?GS?2?OP?GS(CovOP,GS)]1/2?(0.92?2.372?0.12?0?2?0.9?0.1?0)1/2 ?2.133%?2.13%c. 加入无风险的政府债券会导致新组合的贝塔值更低。新组合的贝塔值将是组合内单笔证券的贝塔值的加权平均；无风险证券的加入将降低加权平均值。

d. 这个评论不正确。虽然两种证券的标准差和期望收益率相等，但每种证券原始组合之间的协方差是不知道的，因此，很难得到所说的评论。比如，如果协方差不同，选择某种证券可能会导致组合更低的标准差。如果是这样，假设所有其他的因素不变，这个证券将是更好的投资选择。

e. i. 格蕾丝清楚的表示，损失的风险对于她而言比获得收益的机会更为重要。利用方差（或标准差）作为风险的度量在这个例子中有严重的缺陷，因为标准差并不能区分正向和逆向的价格变动。

ii. 可以用来代替方差的两个风险衡量因子是：收益的范围，这考虑到了在未来一段时间内的最高和最低期望收益，范围大表示波动性更大，因而风险更大。半方差，这可以用来衡量收益低于均值或者其他基准（比如0）的预期偏差。这些对于格蕾丝而言将是更好的风险衡量因子：收益的范围将有助于显示她所能承受风险的范围，特别是她所特别担心的向下变动的范围；半方差同样有效，因为它隐含地假设，投资者希望收益低于某些目标收益的可能性最小；在格蕾丝的例子中，某目标收益率是0（以保护负收益）。 30. A、B、C三种股票的统计数据如下表：

收益标准差

股 票 A B C

收益标准差/% 40 20 40

收益相关系数

股 票 A B C A 1.00 0.90 0.50 B 1.00 0.10 C 1.00 仅从表中信息出发，在等量A和B的资产组合和等量B和C的资产组合中做出选择，并给出理由。

答：假定组合收益率相同，由于股票A和C有相等的收益标准差，但是股票B和C的协方差比股票A和B的协方差小。其它情况相同时，协方差越小，两种资产组合的风险就越小。因此由股票B和C组成的资产组合的风险要小于由股票A和B组成的资产组合。

第8章 指数模型

5. 考虑股票A、B的两个(超额收益)指数模型回归结果：

RA?1%?1.2RM

R2?0.576

标准方差的残值=10.3%

RB??2%?0.8RM

R2?0.436

标准方差的残值=9.1%

a. 哪种股票的企业特有风险较高？A b. 哪种股票的市场风险较高？A

c. 对哪种股票而言，市场的变动更能解释其收益的波动性？A

d. 如果rf恒为6%，且回归以总量计而非超额收益计，股票A的回归的截距是多少？ 答：a. 非系统风险由标准方差的残值度量，因此，股票A具有更高的非系统风险（10.3%>9.1%）。

b. 市场风险由贝塔值度量，即回归的斜率系数。股票A具有更大的贝塔系数（1.2>0.8）。

c. 市场变动解释收益波动性的大小由R2度量，股票A具有更大的R2?0.576?0.436?，因此市场的变动更能解释其收益的波动性。

d. 用总收益代替超额收益变形SCL公式：rA?ff????rM?rf，代入rf=6%，得出其截距为：1%?1.2%??0.2%。

6. 某资产组合管理机构分析了6 0种股票，并以这6 0种股票建立了一个均方差有效资产组合。

a. 为优化资产组合，需要估计的期望收益、方差与协方差的值有多少？

b. 如果可以认为股票市场的收益十分吻合一种单指数结构，那么需要多少估计值？ 答：

a.为了优化资产组合，需要估计的数值有：n=60个期望收益估计值，n=60个方差估计值，

??n2?3n?1890个估计值。 个协方差的估计值。所以，总共需要

2b.单一指数模型：ri?rf??i??irM?rf?ei或者用超额收益表示：Ri??i??iRM?ei 每种股票的收益率的方差可分为一下两部分表示：

22①由正常市场因素产生的方差：?i?M

??②由企业不可预测的特殊事件产生的方差：?在此模型中：Covri,rj??i?j?M

2?ei?

??2估计的参数数量为：n=60个期望收益估计值E?ri?,n?60个敏感性系数估计值?i,n?60个企业特有方差估计值?22一个市场期望收益估计值E?rM?，1个市场方差估计值?M,?ei?，

合计为182个估计值。

所以，单一指数模型需要估计的参数值大大减少了。 7. 下面是第6题的两种股票的估计值：

股 票 期望收益 贝塔值 公司特有标准差 A 13 0.8 30 B 18 1.2 40 市场指数的标准差为22%，无风险收益率为8%。 a. 股票A、B的标准差是多少？

b. 假设按比例建立一个资产组合： 股票A 0.30 股票B 0.45 国库券 0.25

计算此资产组合的期望收益、标准差、贝塔值及非系统标准差。 答：a.每单一股票的标准差为：?i????i?M??222?ei???12

由?A?0.8,?B?1.2,??eA??30%，??eB??40%，?M?22%可得：

?A??0.82?0.222?0.302?2?34.78% ?B??1.22?0.22?0.40221?12?47.93%

b.资产组合的期望收益率由单一证券的期望收益率加权平均得出：

E?rP??wAE?rA??wBE?rB??wfrf

其中wA,wB,wf分别是股票A、B和国库券在资产组合中所占的权重，将数据代入上式可得：

E?rP??0.30?13%?0.45?18%?0.25?8%?14%

资产组合的贝塔值同样是单个证券贝塔值的加权平均：?P?wA?A?wB?B?wf?f，国库券的贝塔值?f为0，因此资产组合的贝塔值为：?P?0.30?0.8?0.45?1.2?0=0.78

这一资产组合的方差为：?P??P22?M2??2?eP?

222其中 ?P?M是系统因素，??eP?是非系统因素，由于残差（ei）是不相关的，非

系统方差为：?2?eP?=wA2?2?eA?+wB2?2?eB??wf2?2?ef??

0.302?0.302?0.452?0.402?0.252?02=4.05%

其中?2?2?ef?是国库券的非系统方差，?2?eB?是股票A和B的非系统方差，?eA?，

1值为零。因此，资产组合的标准残差为：??eP???4.05%?2?20.12%

整个资产组合的方差为：?P=0.78?0.22

2?22??4.05%?6.99%，标准差为：26.45%

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