人教版立体几何线面平行
更新时间:2023-08-29 21:56:01 阅读量: 教育文库 文档下载
第1题. 已知 a, m, b,且m// ,求证:a//b.
答案:证明:
答案:证明:连结AF并延长交BC于M.连结PM,
m
m// m//a a//b.
a 同理 m//b
BFMFPEBFPEMF
,又由已知,∴.
FDFAEAFDEAFA
由平面几何知识可得EF//PM,又EF PBC,PM 平面PBC, ∴EF//平面PBC.
∵AD//BC,∴
第4题. 如图,长方体ABCD A1B1C1D1中,E1F1是平面A1C1上的线段,求证:E1F1//平面AC.
答案:证明:如图,分别在AB和上截取AE A1E1,DF D1F1,连接EE1,FF1,EF.
第2题. 已知: b,a// ,a// ,则a与b的位置关系是(
A.a//b B.a b C.a,b相交但不垂直 D.a,b异面
答案:A.
第3题. 如图,已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点,E,F分别是PA,BD上的点且
∴A1E1平行且等于AE,D1F1平行且等于DF,
故四边形AEE1A1,DFF1D1为平行四边形.
∴EE1平行且等于AA1,FF1平行且等于DD1. ∵AA1平行且等于DD1,∴EE1平行且等于FF1,
四边形EFF1E1为平行四边形,E1F1//EF.
PE∶EA BF∶FD,求证:EF//平面PBC.
∵EF 平面ABCD,E1F1 平面ABCD, ∴E1F1//平面ABCD.
共9页 第1页
(1) 答案:证明:连接AN并延长交BC于E,连接PE,
的圆心是A,第5题. 如图,在正方形ABCD中,BD半径为AB,BD是正方形ABCD的对角线,正方形以AB
所在直线为轴旋转一周.则图中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ三部分旋转所得几何体的体积之比为 .
答案:1∶1∶1
BNNE
.
NDAN
BNPMNEPM
,∴. ∵
NDMAANMA
∴MN//PE,又PE 平面PBC,MN 平面PBC, ∴MN//平面PBC.
(2) 解:由PB BC PC 13,得 PBC 60þ; BEBN5565由, ,知BE 13 ADND888
918
由余弦定理可得PE ,∴MN PE 7.
813
则由AD//BC,得
第7题. 如图,已知P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M为PB的中点, 求证:PD//平面MAC.
第6题. 如图,正方形ABCD的边长为13,平面ABCD外一点P到正方形各顶点的距离都是13,M,N分别是PA,DB上的点,且PM∶MA BN∶ND 5∶8. (1) 求证:直线MN//平面PBC; (2) 求线段MN的长.
答案:证明:连接AC、BD交点为O,连接MO,则MO为△BDP的中位线,∴PD//MO. ∵PD 平面MAC,MO 平面MAC,∴PD//平面MAC.
共9页 第2页
第8题. 如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,C1D1的中点,求证:EF//平面BB1D1D.
第9题. 如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,试作出过AC且与直线D1B平行的截面,并说明理由.
M,连接MA,MC,则截面MAC即为所求作的截面.
答案:证明:如图,取D1B1的中点O,连接OF,OB,
11
∵OF 平行且等于B1C1,BE平行且等于B1C1,
22
∴OF 平行且等于BE,则OFEB为平行四边形, ∴EF//BO.
∵EF 平面BB1D1D,BO 平面BB1D1D, ∴EF//平面BB1D1D.
∵MO为△D1DB的中位线,∴D1B//MO.
∵D1B 平面MAC,MO 平面MAC
,
∴D1B//平面MAC,则截面MAC为过AC且与直线D1B平行的截面.
共9页 第3页
第12题. 如图,M、N、P分别为空间四边形ABCD的边AB,BC,CD上的点,且
第10题. 设a,b是异面直线,a 平面 ,则过b与 平行的平面( ) A.不存在 B.有1个 C.可能不存在也可能有1个 D.有2个以上
答案:C.
第11题. 如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,求证:平面A1BD//平面CD1B1.
答案:证明: B1B ∥A 1A B1B ∥ D A1
A D1D1 四边形BB1D1D是平行四边形
D1B1//DB
DB 平面A1BD
D1B1 平面A1BD
D1B1//平面A1
BD
同理B1C//平面A1BD D1B1
B1C B
1 平面B1CD1//平面A1BD.
AM∶MB C∶NN B∶CP. P求证:(1)AC//平面MNP,BD//平面MNP;
(2)平面MNP与平面ACD的交线//AC.
答案:证明:(1)
//
平面MNP.
MN 平面MNP
CNNB CP
PD
PN//BD BD 平面MNP
BD//平面MNP.
PN 平面MNP
(2)
设平面MNP 平面ACD PE
AC 平面ACD
PE//AC,
AC//平面MNP
即平面MNP与平面ACD的交线//AC.
第13题. 如图,线段AB,CD所在直线是异面直
共9页 第4页
线,E,F,G,
H分别是线段AC,CB,BD,DA的中点.
(1) 求证:EFGH共面且AB∥面EFGH,CD∥面EFGH;
(2) 设P,Q分别是AB和CD上任意一点,求证:PQ被平面EFGH平分.
答案:证明:(1)∵E,F,G,H分别是AC,CB,BD,DA的中点.,
第16题. 若空间四边形ABCD的两条对角线AC,BD的长分别是8,12,过AB的中点E且平行于BD、AC的截面四边形的周长为 . 答案:20.
第17题. 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA上的一点,且EFGH为菱形,若AC//平面EFGH,BD//平面EFGH,AC m,BD n,则AE:BE .
答案:m∶n.
第18题. 如图,空间四边形ABCD的对棱AD、BC成60þ的角,且AD BC a,平行于AD与BC的截面分别交AB、AC、CD、BD于E、F、G、H. (1)求证:四边形EGFH为平行四边形;
(2)E在AB的何处时截面EGFH的面积最大?最大面积是多少?
∴EH//CD,FG//CD,∴EH//FG.因此,E,F,G,H共面. ∵CD//EH,CD 平面EFGH,EH 平面EFGH, ∴CD//平面EFGH.同理AB//平面EFGH.
(2)设PQ 平面EFGH=N,连接PC,设PC EF M.
△PCQ所在平面 平面EFGH=MN,
∵CQ//平面EFGH,CQ 平面PCQ,∴CQ//MN.
∵EF 是△ABC是的中位线,
∴M是PC的中点,则N是PQ的中点,即PQ被平面EFGH平分.
第14题. 过平面 外的直线l,作一组平面与 ab系为( ) A.都平行
B.都相交且一定交于同一点 C.都相交但不一定交于同一点 D.都平行或都交于同一点
答案:D.
第15题. a,b是两条异面直线,A是不在a,b上的点,则下列结论成立的是( ) A.过A且平行于a和b的平面可能不存在 B.过A有且只有一个平面平行于a和b C.过A至少有一个平面平行于a和b D.过A有无数个平面平行于a和b
答案:A.
答案:(1)证明:∵BC//平面EFGH,BC 平面ABC, 平面ABC 平面EFGH EF,
∴BC//EF.同理BC//GH, ∴EF//GH,同理EH//FG, ∴四边形EGFH为平行四边形. (2)解:∵AD与BC成60þ角,
þ或120þ,设AE:AB x,∵∴ HGF 60
BC a,∴EF ax,由
得EH a(1 x).
EFAE
x, BCAB
EHBE
1 x, ADAB
共9页 第5页
þ
∴S四边形EFGH EF EH sin60
可证明NE//平面PAD,ME//平面PAD.
又NE ME E,
ax a(1 x)
∴平面MNE//平面PAD,
又MN 平面MNE,∴MN//平面PAD.
2 11 2
a (x )2 . (
x2 x) 224
当x
21
时,S最大值 a,
82
2
a. 8
即当E为AB
的中点时,截面的面积最大,最大面积为
第19题. P为△ABC所在平面外一点,平面 //平面ABC, 交线段PA,PB,PC于ABC''',
PA'∶AA' 2∶3,则S△AB''C'∶S△ABC .
答案:4∶25
第20题. 如图,在四棱锥P ABCD中,ABCD是平行四边形,M,N分别是AB,PC的中点. 求证:MN//平面PAD.
答案:证明:如图,取CD的中点E,连接NE,ME ∵M,N分别是AB,PC的中点,
第21题. //平面
,,CD是夹在两平行平面间的两条线段,A,C在 内,B,C在 内,
,∶EB CF∶FD m∶n. EF .
答案:证明:分AB,CD是异面、共面两种情况讨论. (1) 当AB,CD共面时,如图(a)
∵ // ,∴AC//BD,连接E,F.
∵AE∶EB CF∶FD,∴EF//AC//BD且EF ,AC ,∴EF//平面 .
∴NE//PD,ME//AD, 共9页 第6页
(2) 当AB,CD异面时,如图(b),过点A作AH//CD 交 于点H.
在H上取点G,使AG∶GH m得∶n,连接EF,由(1)证明可得GF//HD,又AG∶GH AE∶EB
第23题. 三棱锥A BCD中,截面MNPQ与AB、则截面MNPQ的周长是( ). AB CD a,CD都平行,A.4a C.
B.2a
D.周长与截面的位置有关
3a
2
答案:B.
第24题. 已知: b,a// ,a// ,则a与b的位置关系是( ).
A.a//b B.a b C.a、b相交但不垂直 D.a、b异面
答案:A.
第25题. 如图,已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点,E、F分别是PA、BD上的点且
EG//BH.∴平面EFG//平面 //平面 .
又EF 面EFG,∴EF//平面 .
第22题. 已知 a, m, b,且m// ,求证:ab.
答案:证明:
PE
BF
m
m// m//a a//b.
a 同理 m//b
答案:证明:连结AF并延长交BC于M. 连结PM,
BFMF
,
FDFA
PEBFPEMF
又由已知,∴.
EAFDEAFA
由平面几何知识可得EF//PM, 又EF PBC,PM 平面PBC, ∴EF//平面PBC.
∵AD//BC,∴
共9页 第7页
第26题. 如图,长方体ABCD A1B1C1D1中,
是平面上的线段,求证:平面ABCD.
答案:证明:如图,分别在AB和CD上截得,EF. ∵长方体AC1的各个面为矩形,
∴EE1平行且等于AA1,FF1平行且等于DD
1. ∵AA1平行且等于DD1,∴EE1平行且等于FF1,
四边形EFF1E1为平行四边形,
E1F1//EF.
∵EF 平面ABCD,E1F1 平面ABCD, ∴E1F1//
平面ABCD.
第27题. 已知正方体ABCD A1B1C1D1, 求证:平面
AB1D1//平面C1BD.
答案:证明:因为ABCD A1B1C1D1为正方体, 所以D1C1//A1B1,D1C1 A1B1. 又AB//A1B1,AB A1B1, 所以D1C1//AB,D1C1 AB, 所以D1C1BA为平行四边形.
所以D1A//C1
11
同理D1B1//平面C1BD,又D1A D1B1 D1,
所以,平面AB1D1//平面C1BD.
第28题. 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,求证:另一条也平行于这个平面.如图,已知直线a,b平面 ,且a//b,a// ,a,b都在 外. 求证:b// .
共9页 第8页
答案:证明:过a作平面 ,使它与平面 相交,交线为c. 因为a// ,a , c, 所以a//c. 因为a//b, 所以b//c.
又因为c ,b , 所以b// .
第29题. 如图,直线AA',BB',CC'相交于O,AO AO',BO BO',CO C'O. 求证:ABC//平面ABC'''.
答案:提示:容易证明AB//AB
'',AC//AC''. 进而可证平面ABC//平面ABC'''.
第30题. 直线a与平面 平行的充要条件是( ) A.直线a与平面 内的一条直线平行 B.直线a与平面 内两条直线不相交
C.直线a与平面 内的任一条直线都不相交 D.直线a与平面 内的无数条直线平行
答案:C.
共9页 第9页
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