不等式的证明导学案

选修4-5 不等式证明导学案 编写：李佳 审核：张秀

比较法证明不等式

一 比较法导学案

例2 若a,b是任意实数,且a>b,则 ( )

【学习目标】

1． 理解掌握不等式的性质；

2． 熟练掌握用比较法证明不等式的方法和步骤 例3 【重点难点】

注意不等式性质成立的条件；掌握作差比较法证明不等式的步骤：作差——变形——定号。其中的“变形”是最关键的一步，通常将差变形为几个因式和或差的形式，或变形为几个完全平方式的和的形式。 【课前预习】

1.已知下列命题：① 若a?b，则ac2?bc2；② 若ac2?bc2，则a?b ③若a?b，

则1a?1b；④ 若a?b,c?d则ac?bd； ⑤ 若a?b?0，则a2?ab?b2； ⑥ a,b,m都是正数，且a?b，则ab?a?mb?m. 其中正确的命题是 .

2 . 若a?b，1a?1b，则 （ ）

A．a?b?0 B. b?a?0 C. ab?0 D. ab?0 例4 3.“a+b＞2，ab＞1”是“a＞1且b＞1”的________ _条件。

4.如果-? 2≤a＜β≤?2,则???2的范围是____ _____. 【典型例题】 例1、 对于实数a、b、c,判断下列命题的真假。

22

（1）若a>b，则ac>bc；（2）若a>b，则ac?bc； （3）若a?b?0,则a2?ab?b2;（4）若a?b?0,则1 a?1b （5）若a?b?0,则

b a?ab

- 1 -

A a2?b2 B

ba?1 C lg(a?b)?0 D (112)a?(2)b

(1)若x

2）已知a,b?R2?,a?b，求证：a3?b3?a2b?ab； 3）已知a,b,m?R?且b?a，求证：

a?mb?m?ab (4)设a>0,b>0,且a?b,试比较aabb与abba的大小.

设f(x)?ax2?bx,且1?f(?1)?2,2?f(1)?4,求f(?2)的取值范围. （（选修4-5 不等式证明导学案 编写：李佳 审核：张秀

【课堂练习】

1.已知a,b,c满足c0

112.若1??,则下列结论中不正确的是 ( )

ab二 综合法和分析法导学案

【学习目标】

1. 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的分析法； 2. 会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.

3. 根据问题的特点，结合综合法、分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 【学习重点】

分析法的思维过程及特点 【学习难点】分析法的应用 【学习内容及程序】 一、课前准备

（预习教材P23~P25，找出疑惑之处）

A logab?logba B logab?logba?2

C (logba)2?1 D logab?logba?logab?logba 3.对任意实数a,b,c在下列命题中,真命题是 ( )

A ac>bc是a>b的必要条件 B ac=bc是a=b的必要条件 C ac>bc是a>b的充分条件 D ac=bc是a=b的充分条件

abb?ma?n,4.a>b>0,m>0,n>0,则,,中由大到小的顺序是______________

baa?mb?n二、新课导学 新知识点：

1.解析分析法 2.分析法的解题格式是怎样

【典型例题】

5.已知a?b,求证：a3?b3?ab(a?b)

6.已知ad?bc,求证：(a2?b2)(c2?d2?(ac?bd)2 7.已知a?b,求证：a4?6a2b2?b4?4ab(a2?b2)

5.已知a>b>c且a+b+c=0, 证明方程ax2?2bx?c?0的两实根x1,x2满足

例1求证3?5?2?6

变式1 求证:3?7?25

变式2 求证：a?a?1?a?2?a?3(a?3)

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3?x1?x2?23

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a2b2?b2c2?c2a2?abc 例2 已知a?0,b?0,c?0.，求证：

a?b?c

【课后自主检测】

1. 求证：a?b?5?2(2a?b)

2. a,b,c?R?用综合法证明：

2（1） (ab?a?b?1)(ab?ac?bc?c)?16abc

【总结提升】

用题设不易切入,要注意用分析法来解决问题,由于分析法解题格式较为繁,因此寻找解题思路时用分析法,解过程用综合法. 【学习评价】

1. 要证明3?7?2?6可选择的方法有以下几种,其中最合理的是 A.综合法 B.分析法 C.反证法 D. 归纳法

ba2.不等式①x?3?3x;②??2,其中恒成立的（ ）

ab222（2）2(a3?b3?c3)?a2(b?c)?b2(a?c)?c2(a?b)

3.已知f(x)?1?x2,a?b.求证：|f(a)?f(b)|?|a?b|

A.① B.② C.①② D.都不正确 3.已知y?x?0,且x?y?1,那么 A.x?x?yx?y?y?2xy B.2xy?x??y 22x?yx?yC.x??2xy?y D.x?2xy??y

224.若a,b,c?R,则a2?b2?c2 ab?bc?ac.

5.将a千克的白糖加水配制成b千克的糖水(b?a?0),则其浓度为 ;若再加入m千克的白糖(m?0),糖水更甜了,根据这一生活常识提炼出一个常见的不等式: .

6. 求证:当一个圆和一个正方形的周长相等时,圆的面积比正方形的面积大.

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4.已知0?x?1,a?0,a?1，比较：|loga(1?x)|与|loga(1?x)|的大小；

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5.已知|a|?1，|b|?1，求证：|1?ab|?|a?b|

6.已知n?0，求证：n?4n2?3

(a?b)2a?b(a?b)27.已知a?b?0,求证:8a?2?ab?8b.

三 不等式的证明—反证法与放缩法导学案

【学习目标】： 1. 理解并掌握反证法、换元法与放缩法;

2. 会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式 【复习引入】

1. 不等式证明的基本方法：10

. 比差法与比商法(两正数时)． 20. 综合法和分析法．

30. 反证法、换元法、放缩法

2. 综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,

通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由 导 法.

用综合法证明不等式的逻辑关系：A?B1?B2??Bn?B

3.

分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,

直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等), 从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法.

【合作、探究、展示】

1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有哪几个步骤？ 例1、（1）已知x,y?0,且x?y?2,试证：1+xy,1?yx中至少有一个小于2 （2）已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0 .

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① 绝 绝对值不等式：a?b≤a?b≤a?b； 2.换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性. 常用的换元有三角换元有：

22② 利用 常用用结论：如：1???2?k?1?k??k?N,k?1?，

*10

．已知x2?y2?a2，可设 ， ；

20

．已知x2?y2?1，可设 ， (0?r?1)；

0

x2．已知y23a2?b2?1，可设 ， .

例2 设实数x,y满足x2?(y?1)2?1，当x?y?c?0时，c的取值范围是（ ） A.[2?1,??) B.(??,2?1] C.[2?1,??) D.(??,2?1] 例3 已知x2?y2?1，求证：?1?a2?y?ax?1?a2

3. 放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小 由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度.

常用的方法是：

添加或舍去一些项，如：a2?1?a，n(n?1)?n， 将分子或分母放大（或缩小）如：

111 n(n?1)?n2?n(n?1) 应用“糖水不等式”：“若0?a?b，m?0，则aa?mb?b?m” 基本不等式，如：lg3?lg5?()2???lg4；

利用函数的有界性：如：sinx≤1?x?R?；

kk?kk?k?1 1?2*kk?k?2k?k?1?2?k?k?1??k?N,k?1?

例4.当 n > 2 时，求证：logn(n?1)?log(n?1)n

例5 求证：1?11?11?2?11?2?3???11?2?3???n?3.

例6 若a, b, c, d?R+

，求证：1?aa?b?d?bb?c?a?cc?d?b?dd?a?c?2

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三、课后练习

1、设二次函数f(x)?x2?px?q，求证：f(1),f(2),f(3)中至少有一个不小于12.

2、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于

14

3、已知 1≤x2?y2≤2，求证：12≤x2?xy?y2≤3

4、设f(x)?x2?x?13，x?a?1，求证：f(x)?f(a)?2?a?1?；

5、求证 a?b1?a?b?a1?a?b1?b.

6、设n为大于1的自然数，求证

1111n?1?n?2?n?3???2n?12.

7、求证：（1）312?n?1?1?11122?????n2?2?n(n

≥2) （2）2n?1?2?1?1112?3?????n?2n?n?N*?

8.设a,b?R?,且a?b,求证:a3?b3?a2b?ab2.

9. 设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：c2?a2?b2?4ab?43S

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四 不等式的证明练习案

【练习目标】1.进一步灵活掌握使用不等式证明的方法；2.培养解决问题的能力。

1、若a?b?0,下列不等式成立的是 ( )

A 1 B

112 C D 2429、下列不等式的证明过程正确的是 ( )

b11A a?b Ba?ab C?1 D?

aab2、若x?y,m?n,下列不等式正确的是 ( )

222A 若a,b?R,则

baba??2??2 B 若x,y?R?,则lgx?lgy?2lgxlgy ababAx?m?y?n Bxm?yn Cxn?ym Dm?y?n?x3、设a?0,?1?b?0,那么下列各式中正确的是 ( )

Aa?ab?ab2 Bab2?ab?a Cab?a?ab2 Dab?ab2?a

4、若角?,?满足??2??????2,则???的取值范围是 ( )

A(??,0) B(??,?) C(?3?2,?2) D(0,?) 5、不等式2x?3?x2?0的解集是 A{x|-1＜x＜3} B{x|x＞3或x＜-1} C{x|-3＜x＜1} D{x|x>1或x＜-3}

6、二次不等式ax2?bx?c?0的解集是全体实数的条件是 A ?

?a?0?a?0??0 B? C????0?a?0 D????0?a?0

????0

7、设x?y?0,则下列各式中正确的是 ( )

Ax?x?y2?xy?y By?x?y2?xy?x Cx?x?y2?y?xy Dy?x?y2?xy?x

8、已知x,y?R?,2x?y?2,c?xy,那么c的最大值为 ( )

（ ）

）

C 若x?R?,则x?4??2x?4??4 D 若x?R?xx,则2x?2?x?22x?2?x?2 10、设a,b为实数且a?b?3,则2a?2b的最小值是 ( )

A 6 B 42 C 22 D 26

11、不等式x-2y+6＞0表示的平面区域在直线x-2y+6=0的 ( ) A.右上方

B.右下方

C.左上方 D.左下方

12、在直角坐标系内，满足不等式x2

-y2

≥0的点(x,y)的集合(用阴影表示)是（ ）

13、不等式x2?x?3?0的解集是_________。

?x?4y14、数x,y满足???3?3x?5y?25，则z?2x?y的最大值是 ，最小值是 。

??x?115、三角形三边所在直线方程分别为3x?4y?3?0,y?3,12x?5y?33?0,用不等式组表示三角形内部区域（包含边界）为 .

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16、不等式2x2?5x?5?12的解集是 . 17、关于x的一元二次不等式ax2?ax?a?1?0的解集为R，求a的取值范围。(8分)

18、若不等式x2?ax?b?0的解是2＜x＜3，求不等式bx2?ax?1?0的解集。（10分）

19、当x?1时,求y?2x2?2x?1x?1的最小值. （10分）

20、已知1?a?b?5,?1?a?b?3，求3a?2b的取值范围。（10分）

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