2.1 逻辑代数的基本知识

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第 2章逻辑函数与门网络2.1逻辑代数的基本知识逻辑代数又称布尔代数，开关代数。是一个由逻辑变量“真”、“假”(或取值 0,1),以及“与”、“或”、“非”3种基本运算构成的代数系统。逻辑代数(布尔代数),是处理命题之间的逻辑关系的代数系统。

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二值逻辑：任何逻辑命题只有真(True)和假(False)两个可能。逻辑变量：是一种二值变量。仅取0、1(或者真、假)两种逻辑值。逻辑变量的真和假称为逻辑真值，用数码1和0表示，1代表逻辑真，而0表示逻辑假。逻辑代数中的1和0是逻辑常量，它们不具备数的性质，无大、小和正、负之分，仅仅表示真、假两个相反的逻辑状态。

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2.1.1逻辑代数的基本运算三种基本运算：非(NOT)、与(AND)、或(OR) 2.1.1.1非逻辑和非运算如果某一事件的发生取决于条件的否定，则这种因果关系称为“非”逻辑。“非”逻辑用“非”运算描述。“非”运算又称求反运算，运算符为“-”。"非"运算可表示为 F= A读作"F等于A非",意思是若A=0,则F为1;反之，若A=1,则 F为0。非逻辑真值表A 0 1 A 1 0东南大学信息科学与工程学院3

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实现非逻辑的电路称为非门或反相器

“非”逻辑电路图示意 Y=A

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2.1.1.2与逻辑和与运算如果决定某一事件为真的多个条件必须同时具备，事件才是真的，这种因果关系称为“与”逻辑。逻辑代数中“与”逻辑关系用“与”运算来描述。“与”运算又称逻辑乘，其运算符跟普通代数相同。两变量的“与”运算式可写为 F=A B;F=AB; F=A× B意思是若A、 B均为真(1),则F为真(1);否则F为假(0)。

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与逻辑真值表A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A×B 0 0 0 1

逻辑常量与运算规则 0×0=0 0×1=1×0=0 1×1=1

变量与常量相乘及变量与变量相乘规则 A×0=0 A×1=A A×A=A A×A=0 A×A×A···=A

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实现与逻辑的电路称为与门

A

B

“与”逻辑电路图示意 Y= A×B

Y

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2.1.1.3或逻辑和或运算如果决定某一事件发生的多个条件，只要有一个或一个以上的条件成立，事件便可发生，这种因果关系称之为“或”逻辑。在逻辑代数中，“或”逻辑关系用“或”运算描述。“或”运算又称逻辑加，其运算符为“+”,两个变量的"或"运算可表示为:F=A+B或逻辑真值表 A B A+B 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1逻辑常量与运算规则变量与常量相乘及变量与变量相乘规则

0+0=0 0+1=1+0=0 1+1=1

A+0=A A+1=1 A+A=1 A+A=A A+A+A···=A8

东

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实现或逻辑的电路称为或门

“或”逻辑电路图示意 Y= A+B

与、非、或三种运算的优先顺序为非、与、或。东南大学信息科学与工程学院9

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复合逻辑运算与非：Y=ABA B&

Y

或非：Y=A+B

A B

>=1

Y

与或非：Y=AB+CD

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异或：当A,B不同时，输出为1;A,B相同时，输出为0 Y=A B=AB+ AB

同或：当A,B相同时，输出为1;A,B不同时，输出为0 Y=A⊙B=AB+ A BA B=

Y

A⊙B=A

B东南大学信息科学与工程学院11

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2.1.2逻辑代数的基本定律

+

常量之间的关系

变量与常量之间的关系变量自身的关系摩根定律东南大学信息科学与工程学院12

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2.1.3逻辑代数的基本规则逻辑函数的定义设某一电路的输入逻辑变量为A1, A2,…, An,输出逻辑变量为 F。如果当A1, A2,…, An的值确定后，F的值就唯一地被定下来，则F称为A1, A2,…, An,的逻辑函数，记为 F=f (A1, A2,…, An)逻辑电路的功能可由相应的逻辑函数完全描述 2.1.3.1置换规则置换规则表明，对于逻辑等式中的任一变量X,若将所有出现它的地方都用逻辑函数G置换，等式仍然成立。但须注意，必须对等式中所有的变量X都施行置换。东南大学信息科学与工程学院

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例：用置换定理证明摩根定理适用于多变量的情况： A+B=A·B A·B=A+B证明： (B+C)→B证明： BC→B

注：运算顺序括号→非→与→或括号→非→异或(同或)→与→或

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2.1.3.2对偶(Dual)规则对偶规则表明，对于任一逻辑函数F=f(X1,X2, Xn),只要对它的表达式中所有的逻辑常量和逻辑符号分别作1与0、+与 的对换，得到的新函数就是原函数F的对偶函数F’。 Y:·→+,+→·, 0→1, 1→0,得对偶式Y’原函数所具有的一切性质，其对偶函数同样具备。应用对偶规则时应该注意以下几点： (1)上述变换必须对所有的逻辑常量、逻辑符号施行，不能遗漏； (2)必须保持原函数变量之间的运算顺序不变。若两逻辑式相等，则其对偶式也相等

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例Y1=A(B+C) Y2=AB+CD Y3=AB+C+D Y1’=A+BC Y2’=(A+B)(C+D) Y3’=(A+B)CD

为了证明两个逻辑式相等，可以通过证明它们的对偶式相等来完成。

例：证明 A+BC=(A+B)(A+C)分配律左边的对偶式为：A(B+C)右边的对偶式为：AB+AC因：对偶式相等，所以原式相等。

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2.1.3.3反演(Invert)规则反演规则表明，对何逻辑函数F=f(X1,X2, Xn),只要将它的表达式中所有的逻辑常量、逻辑符号和逻辑变量分别作1与0、+与 ,Xi与Xi的对换，得到的新逻辑表达式就是原函数F的反函数F。在应用反演

规则时应注意： (1)上述变换必须对所有的逻辑常量、逻辑符号和逻辑变量施行，不能遗漏； (2)必须保持原函数变量之间的运算顺序不变，必要时可添加括号； (3) Xi与Xi之间的互换只对逻辑变量有效。反演定理：对任一逻辑式Y:·→+,+→·, 0→1, 1→0,原变量→反变量，反变量→原变量则：Y→ Y东南大学信息科学与工程学院17

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例：Y=A(B+C)+CD则： Y=(A+BC)(C+D)=AC+BC+AD

例： Y=AB+C+D+C Y=(A+B)·C·D·C

F’对偶规则和F反演规则是两个完全不同的概念，除了各自的演化规则不同之外：反函数F是原函数F的补，它们是同一逻辑问题的两个表现形式，符合互补律F+F=1;而F和对偶函数F’是两个互相独立的函数，只是形式上对偶。东南大学信息科学与工程学院

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2.1.4逻辑代数的常用公式1.并项公式 2.消冗余因子公式 3.消冗余项公式推论 AB+AB=B A+AB=A+B AB+AC+BC=AB+AC AB+AC+BCD=AB+AC

2.1.5逻辑运算的完备集一个代数系统，如果仅用它所定义的运算中的某一组就能实现所有的运算，则这一组运算是完备的，称为完备集。

在逻辑代数系统中 (1){与、或、非}是完备集 (2){与、非}和{或、非}也是完备集 (3){与、或}不是完备集东南大学信息科学与工程学院19

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