积分变换试题2010-2011-1（答案）

学 院 -------------------------------专密封业线 班 学----------------------------------------号密 封 线 姓---------------------------------------- 名密 封线---------------------------------------

天津工业大学（2010—2011学年第一学期）

《积分变换》试卷(2010 .12 理学院)

一. 满分 12

得分 选择题(每小题3分)

1. 设 f(t)?u(t)，则 F [f(t)]= ( A )

A

1j(w)???(w) B ? C ejwt0 D 1 2. 已知F [f(t)]=F(w)，则 F [tf(t?t0)]= ( D ) A ?jF?(w) B ?t?jwt0e0F(w)

C ejwt0(t0?jF?(w)) D t0e?jwt0F(w)?je?jwt0F?(w)

3. 积分

???0?(t)e?3tdt= ( B )A 0 B 1 C

110 D e?3 4. 设?[f(t)]?F(s)，则下列公式中，不正确的是 ( C ) A f'(t)??-1

[sF(s)?f(0)] B

?t0f(t)dt??-1[F(s)s] C f(t)eat? ?-1

[F(s?a)] D f(t)?(?1)n-1(n)tn?[F(s)]

二. 满分 30 填空题(每空3分) 得分

《积分变换》第 1 页 共 6 页

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1. F-1 ???w?w0??=

1jw0t1e， F e?j?0tu(t)= ???(w?w0)； 2?j(w?w0)??2. F [cos2t]=

11?(?(w?2)??(w?2))???(w)， L [u(t)]=; 2s-1

s?21t23. F [?(t)]= 1 ，L [3]= , L-1 [2]=cost?2sint;

ss?12?1?e?t,t?0?0,t?04. 设f(t)???t则u(t)*f(t)? ?;

e,t?0??0,t?05. 若f(t)???1,t?1?0,其它 的Fourier积分表达式为

2????0??sinwcosw?sinwcoswtdw，则积分?dw?;

0ww41?e?2s6. 设F(s)?，则f(t)=t?(t?2)u(t?2)。 2s 满分 30 三. 计算下列各题(每小题6分)

得分 s2?11. 计算?-1[lns2];

1s2?1s2?1?。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2?解：?-1[lns2]=?t?-1[(lns2)]

12?-1[(ln(s?1)?2lns)?] =t?12s2。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2???]。-1[ =t?s2?1s

2。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2??(cht?1)。

=t

《积分变换》第 2 页 共 6 页

2．已知 f(t)?u(t)e?tsint ，求F [f(t)]； 解（一）：F [u(t)esint]= =

?t?0????。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3? e?tsintu(t)e?jwtdt。

???。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1? sinte?(1?jw)tdt。

e(1?jw)t[?(1?jw)sint?cost]??。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1? =

0(1?jw)2?1 =

1。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1? 2(1?jw)?1?t?jwt解（二）：F [u(t)e]=

?t?????eu(t)edt==?e?(1?jw)tdt=

0??1。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1?

1?jw1? 2?

F [sint]=?j[?(w?1)??(w?1)]。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

F [u(t)e?tsint] = F [u(t)e?t]?F [sint]

=

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

1??j[?(w?1)??(w?1)]

1?jw11。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1? ??j?(w?1)-??j?(w?1)。1?jw1?jw =

=

3. 已知f(t)??j1?j(w?1)1?j(w?1)t??j=

1。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1?

(1?jw)2?1?te0?2tsin2tdt，求L[f(t)];

1sin2tdt]=L[te?2tsin2t]……………………….1

sL[f(t)]= L[te0?t?2t1?2tL[esin2t]?…………………………………………2 s???12?=-?……………………………………….2 2??s?(s?2)?4?=-《积分变换》第 3 页 共 6 页

=

4(s?2)………………………………………….1 22s[(s?2)?4]4. 已知F(s)?1，求F(s)的拉氏逆变换。

(s?1)2s解法一：因为s1?1是F(s)的二级极点，s2?0是F(s)的单极点：………1 所以：

??1est2st?(s?1)e??f(t)=lim?22s?1?(s?1)s?((s?1)s)?tts?0………………………….4

=te?e?1…………………………………………………………...1 解法二：因为：F(s)??1111=………………………….3 ??22(s?1)ss?1(s?1)stt 所以：f(t)=te?e?1…………………………………………………..3 解法三：因为：F(s)?111.=……………………………..............1

(s?1)2s(s?1)2st所以：f(t)=te?1…………………………………………………………2 =

5. 求?[tt?te?e?1…………………………………………3 =?ed??t0sint?0tdt];

tt1sintsintdt][]……………………………………2 =??0tst1?1ds…………………………………………………….2 =?2sss?1解： ?[ =

?1arctans………………………………………………………1 ss1?1（?arctans）=arccots…………………………………1 s2s =

满分 12 按要求计算(每小题6分) 四. 《积分变换》第 4 页 共 6 页

得分

1. 求微分方程y???2y??y?te?t, 满足y(0)?1和y?(0)??2的解; 解：设L[y(t)]=Y(s)，对方程两端同时取拉氏变换有：

(s2Y(s)?s?2)?2(sY(s)?1)?Y(s)?1?s 2(s?1)1…………………………..2

(s?1)2(s2?2s?1)Y(s)?所以：Y(s)?1s111……………………..2 ????(s?1)4(s?1)2(s?1)4s?1(s?1)2从而：y(t)?2.求

t13?t1te?e?t?te?t=e?t(t3?t?1)…………………………………...2 3!6?cos(t??)y(?)d??tcost的解

0解：原方程为：cost?f(t)?tcost………………………………………………….1 设L[y(t)]=Y(s)，两边同时取拉氏变换由卷积定理可得：

ss2?1..............................................…...3 .Y(s)?222s?1(s?1)s2?12s1所以：Y(s)?…………………………..1 ??22s(s?1)s?1s即：y(t)?2cost?1…………………..…………………..1

满分 12 五. 应用题(每小题6分)

得分 1.求下图所示函数fT(t)的Laplace变换。

《积分变换》第 5 页 共 6 页

?0,t?02. 求函数f(t)????t的频谱函数及其频谱。

e,t?0?解：频谱函数为：

F(w)??=

??????f(t)e?jwtdt…………………………………………….2 e??te?jwtdt=?e?(??jw)tdt…………………………...1

0???0e?(??jw)t?? =?……………………………………………….1

??jw0 =

1??jw…………………………………………..1 ?2??jw??w2?2?w2??jw?2频谱为：F(w)?2………………………………………… 1

??w2??w2

满分 4 六. 得分

证明： f1(t?t1)?f2(t?t2)?f1(t?t1?t2)*f2(t?t1?t2)，其中，f(t) 的定义域为整个实数轴。

证明：f1(t?t1)?f2(t?t2)=L-1[F1(w)e?jwt1.F2(w)e?jwt2]……………………….1

= L-1[F1(w)F2(w)e?jw(t1?t2) ]……………………………1

=f1(t?t1?t2)*f2(t?t1?t2)…………………………2

《积分变换》第 6 页 共 6 页

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